CHAPITRE II

Dans ce chapitre, nous allons chercher et démontrer, en nous servant des méthodes de la géométrie descriptive , les diverses propriétés dont jouissent les trois spirales :

i • Spirale logarithmique ; 2* Spirale hyperholique ; 3« Spirale d'Archimède (*).

i"" DE LÀ SPIRALE LOGARITHMIQUE.

Les géomètres ont donné le nom de spirale logarithmique à la courbe qui a pour équation :p=a'-*(pdésignant legrayon vecteur et ot> Tangle qu'un rayon vecteur fait avec un axe fixe ).

Au moyen de l'analyse, ils ont démontré les principales propriétés gépmétriques de cette courbe, parmi lesquelles la plus curieuse est celle de couper sous un angle constant ses rayons vecteurs.

Au moyen de [analyse^ on a trouvé l'équation de la tangente et on a déduit une construction géométrique de la tangente en un point de la courbe; oaa calculé le rayon de courbure, on adonné Téq nation de la développée, et on a reconnu que cette développée était une spirale logarithmique identique à la spirale développante, mais que la développée était plaeée en une autre position que la courbe développante, la développée n'étant autre chose que la développante supposée avoir tourné d'un certain angle autour de l'origine.

Je me propose de reconnaître e( de démontrer toutes les propriétés géométriques dont jouit la spirale logarithmique en ne me servant que des méthodes de la géométrie descriptive.

(*] J^ai publié, dans le Bulletin de la Société philomatiqné de Paris, le résumé de mes recfierches sur les trois spirales. Voyez les séances des 17 novembre 1832 et 12 janTÎer IS^.

La première chose à reconnaître est celle-<îi :

Existe-t'il une courbe polaire qui coupe sous un angle constant chacun de ses rayons vecteurs ?

Je désigne par a la courbe qui doit satisfaire à la propriété énoncée; il est évident que si j'enroule le plan sur lequel la courbe a est tracée, sur un cône B de révolution, en plaçant l'origine ou pôle ode la courbe a au sommet s du cône B , la courbe a se transformera en une courbe à double courbure A, laquelle jouira de la propriété de couper sous un angle constant chacune des génératrices G du cône B; et, de plus, il est évident que l'angle sous lequel la courbe A coupera chaque génératrice G sera le même que l'angle sous lequel la courbe a coupe chacun de ses rayons vecteurs.

Gela posé :

Si Von projette la courbe A mr un plan P perpendknlaire à l'axe Y du cône B, on aura une courbe A^ qui coupera sous un angle constant chacun des rayons du cercle C, suivtmt lequel le cône B est coupé par le plan W

Et en effet :

Si l'on considère le point m, en lequel la courbe A coupe une génératrice G du cône de révolution B, la tangente 6 en m à la courbe A sera située dans le plan T tangent au cône B tout le long de la droite G. Si par le point m on mène une droite Z parallèle à l'axe Y dii cône B, on aura trois droites G , Z et 9 , se croisant au point tu.

Pour un autre point m' de la courbe A , on aura de même trois droites homologues G', Z' et B\ se croisant au point m\

Or, l"" les droites Z' et G^ feront entre elles un angle égal à celui que les droites Z et G font entre elles, puisque le cône B est de révolution ;

2"* Les droites G' et B' font entre elles, par hypothèse, le même angle que font entre elles les droites G et 9 ;

3"* les droites Z' et 9' feront entre elles le même angle que font entre elles les droites Z et 6 , parce que , l"" la droite Z fait avec le plan tangent T un angle égal à celui que la droite Z' fait avec le plan tangent T', le cône B étant de révolution; parce que, 2'' la droite Z' se projette sur le plan T suivant la droite G', tout comme la droite Z se projette sur le plan T suivant la droite G , le cône B étant de révolution ; et parce que, 3* la droite 9' menée par le point m' dans le plan T'est supposée faire avec la droite G' située dans ce même plan T' un angle égal à celui que

la droite 9, menée par le point m dans le plan T, fait avec la droite G située dans ce même plan T ;

4* Le plan V, déterminé par les droites Z et , fera avec G un angle égal à celui que le plan \\ déterminé par les droites 7/ et 8^ fait avec G\

Dès lors :

I. La courbe A ne sera autre qu'une hélice tracée sur le cylindre H qui la projette suivant la courbe A^sur le plan P, puisque les tangentes 6 à cette courbe A font un angle constant avec les génératrices Z de ce cylindre H.

IL Les droites G, G^ G'\ génératrices du-cône B disant avec^e plan P un angle constant, et de plus chacune de ces génératrices G, G", G"', faisant un angle constant avec les plans verticaux V, V, y'\ les projections sur le plan P de ces droites G, G", G'" feront des angles égaux avec les traces, sur le plan P, des divers plans verticaux V,V,V^

Ainsi, de ce qui précède on peut conclure que si la spirale logarithmique plane a existe, on peut construire une courbe à double courbure A coupant les génératrices d'un cône de révolution sous un angle constant, et que de plus la projection de la courbe A sur un plan perpendiculaire à Taxe duc6ne sera une nouvelle spirale logarithmique plane A*.

Si nous démontrons l'existence de la courbe A, nous aurons démontré l'existence de la courbe a.

Or, i"* la courbe A étant une hélice sur le cylindre H, et dès lors toutes ses tangentes 9, B\ G\ faisant des angles égaux avec l'axe Y du 'c6ne B et aussi avec le plan P, on doit en ooncloreque si i'on mène par le sommet s du cône B un plan Q perpendiculaire à l'axe Y de ce cône, les deux plans P et Q étant pai^Uèles intercepteront sur chaque tangente 6, 0', 9'', des longueurs égales entre elles;

V La courbe Aétantune hélice, ton tes ses tangentes formeront une surface développable 2, et le plan tangent K mené à e^le mr&ce 2 suivant une génératrice 8 sera le plan osculateur. de l'hélice A pour le^point m par lequel passe la tangente 9 , et dès lors le plan K sera, ainsi qu'on le sait, perpendiculaire au plan V tangent au cylindre H suivant la droite Z passant par lemèmetpoint m;

3'' îLe plan T, tangent au cône B suivant G, fait avec le plan V tangent au cylindre H suivant Z un angle qui estxx>nstant, quel que soit le point m que l'on considère sur la courbe A ;

4* Le plan X feit avec le plan \ un an{|le qui «est toujours dtfoit , et avec le (dan T un angle qui estévidemment constant , puisque les droites G ^9 font un angle qui est supposé .constant.

11 suffira donc de voir s'il est, en eiTet, possible do réaliser œs diverses condi-

tioDS, eo knprimant au plan K u& certaia mouvement dans l'espace , pour avoir démontré l!existence de la courbe A.

Or, s^ant construit un plaa T tangent au cône de révolution B suivant la génératrice G, désignons par H* sa trace sur le plan P perpendiculaire à Taxe Y du cône B^ et prenons ce plan P pour plan horizontal.

Traçons dans le plan T une droite 9 passant par le sommet $^ du cône B el faisant avec H* ufl an^e donné a et coupant H' en un point p. Faisons passer par la droite 6 deux plans , l'un V perpendiculaire au plan P et l'autre K perpendiculaire au plan V.

Cela fait :

Tendons un fil F le long de 6 et fixons l'une de ses extrémités au point p du plan T, et Tautre extrémité au sommet $ du cône B.

Faisons mouvoir le plan T de manière l"" à ce qu'il glisse tangenliellementau cône B, sa trace H* se mouvant dans le plan P tangentiellement au cercle C, base du cône B sur le plan horizontal P ; et S"" à ce que le ûl F s' en roulant sur le cône 4 ^

B, à partir du sommet s, reste, en sa partie non enroulée , tendu sur la droite 9. v^

Pendant ce mouvement, le plan T entraînera les deux plans Y et K , le plan V engendrera une surface développabie H , et le plan K une surface dévelop- t

pable 1.

La surface H sera cylindrique, parce que le plan V reste pendant le mouvement toujours parallèle à l'axe Y du cône B,^ou, en d'autres termes, toujours par- : pendiculaire au plan V.

Chacun des points en lesquels le ûl F passe de la direction droite à la courbe tracée sur le cône B formera une courbe qui sera à la fois sur le cône B et sur le cylindre H.

Pendant le mouvement du plan T, la droite 6 changera de place dans l'espace, mais en &isant constamment le môme angle a avec les diverses positions de la j

trace H^ du plan T, et de plus la longueur de 9 comprise entre le plan P et le plan

Q mené par le sommet $ du cône B parallèlement au plan P, restera constante. I

La droite 9 pourra donc être considérée comme pliée librement sur le cylindre H, i

la courbe A sera donc une hétke tracée sur le cylindre H, et 9 , en ses diverses positions, sera tangente à cette hélice A, et dès lors le plan K, en ses diverses positions, sera osculateur à cette hélice A .

On voit donc par ce qui précède que l'on peut en effet tracer mécaniquement sur le cône B une courbe A coupant les génératrices de ce eône sous un angle constant, et que cette courbe A passe par le sommet $ du cône.

On voit aussi que l'angle sous lequel la courbe A coupe les génératrices G du î

cône B est le complément de l'angle a, sous lequel la droite 9 coupe la trace H* du

^^m-^^ÊÊÊ^k

plan mobile T; que dés lors on peut construire une infinité de courbes telles que A, en faisant varier Fangle « depuis Tangle droit jusqu*à l'angle nul.

Lorsque a sera droit, la droite et la courbe A ne seront autres Tune et Tautre qu'une génératrice G du cône B.

Lorsque a sera nul, la droite sera parallèle à H* et la courbe A ne sera autre qu'un cercle tracé sur le cône de révolution B; et en eflTet, toutes les sections circulaires du cône B coupent sous l'angle droit les génératrices de ce cône.

Ayant démontré l'existence de la spirale logarithmique conique A, et par suite l'existence de la spirale logarithmique plane a, et ayant de plus donné un procédé mécanique au moyen duquel on pourra tracer la courbe  sur un cône de révolution B, passons à l'examen des propriétés géométriques dont jouissent , en vertu de leur mode de génération^ les spirales logarithmiques planes ei coniques.

1. Le plan Q passant par le sommet du cône B ei perpendiculaire à Vaxe \ de ce cône, coupe la surface développable 1, qui a pour arête de rebroussement la spirale logarithmique conique A, suivant une courbe qui est identique à la spirale logarithmique plane A\ projection de la courbe à double courbure A sur un plan P parallèle au plan Q.

Soit A {fig. 18 ), la courbe à double courbure tracée sur le cône B, ayant son sommet en s et pour base sur le plan horizontal P le cercle G.

Concevons les génératrices G, G^.... du cône B passant par les points m^m',.... de la spirale logarithmique conique A.

Concevons les plans T, T',.... tangents au cône B suivant les droites G, G^.... ces plans couperont le plan P suivant les droites H% H*',.... tangentes au cercle C aux points r, /, • . . . et le plan Q suivant les droi tes R, RV . . . passant par le sommet s du cône et parallèles aux traces H% W....

Les tangentes 0, Ô^ à la courbe A pour les points m, m', couperont les droites R, R^ aux points q, q\ qui détermineront une courbe d, qui sera la section faite dans la surface développable 2 par le plan Q.

La courbe A se projette sur le plan P suivant la courbe A^et les droites 0, 0^ se projettent sur ce plan T suivant les droites 0\ O'^, et comme 0, 0^ sont tangentes à A, les droites 8*, 0'^, seront tangentes à A^.

Cela posé, démontrons que les courbes d et A^ sont des courbes identiques ; pour cela, il sufQra de démontrer que la projection ^ de d sur le plan P est identique à la courbe A*.

Et, pour démontrer Ctâentité, il suffit de prouver que la courbe ^ coupe se^ rayons vecteurs «*^ sous un angle égal à celui sous lequel la courbe A^ coupe ses rayons vecteurs i/'ml'.

Or, remarquons que l'on a :

Les trois droites H% R, ^^, parallèles entre elles, donc ^9^ est perpendiculaire sur «Nn^.

9^ passe par les trois points p, m^, <)A, puisque 9* est la projection de la droite 9 qui passe par les points p, m, q.

Le triangle mV<)A est donc droit en son sommet «*.

Et comme la courbe A. est une hélice sur le cylindre vertical H qui a pour section droite Â*, il s'ensuit que le plan tangent K mené à la surface 2 suivant la génératrice 9 coupera le plan Q suivant une droite 1 tangente à la courbe d au point q.

Et cette tangente t se projettera sur le plan P suivant 1* tangente à d* au point ^.

Or : f^ est perpendiculaire â 9^, parce que le plan osculateur K à Thélice A. est perpendiculaire au plan tangent V au cylindre H , et que ce plan V a pour trace sur le plan P la droite 9^.

Par conséquent , la courbe A.^ coupera son rayon vecteur «W sous Tangle

^mV^y et la courbe ^ coupera son rayon vecteur ^^ sous un angle complémentaire de ^(fni".

Et comme le triangle ^^m^est rectangle en son sommet t^, on doit conclure que les deux courbes coupent leurs rayons vecteurs sous le même angle ; les deux courbes ^ et A* sont donc deux spirales superposables , en d'autres termes deux spirales identiques.

11. La développée d'une spirale logarUlimique plane est une spirale logarithmique identique à la courbe donnée et les deux courbes ont même pôle.

Nous savons que la courbe ^ (fig. 48) est une spirale logarithmique plane, puisqu'elle coupe sous un angle constant ses rayons vecteurs ^^,

La courbe A^est la développée de fa courbe d^, car la droite 9^ est tangente en m* à la courbe A^, et que cette même droite 9* est normale en p^ à d^.

Ainsi, la développée d'une spirale logarithmique est une spirale logarithmique identique et ayant même origine ou même pôle ^. Et la fig. 18 indique suffisamment la construction à exécuter pour trouver les points m" de la développée A^ lorsqu'on aura les divers, points V ^^ ^^ diverses normales 9^ de la spirale donnée d^.

m. Des propriétés dont jouissent les diverses développantes d'une spirale bgarithmi^^ plane.

Lorsque {fig. 18) Ton coupe la surface 2, lieu des tangentes 6 à une spirale logarithmique conique A , par un plan X perpendiculaire à Taxe Y du cône de révolution B sur lequel se trouve tracée la courbe A , on obtient une courbe f qui est la développante de la courbe A'' section droite du cylindre H sur lequel la courbe A est une héàce.

En faisant varier la position du plan sécant X , et le dirigeant toujours perpen* diculairement à Taxe Y, on obtient une suite de courbes cp, (f, (f\ situées dans des plans parallèles X, X^ X'^ et ees courbes sont différentes les unes des autres, ne sont point, en un mot, superposables , parce que les diverses développantes d'un cercle sont seules des courbes identiques.

Cela posé :

Supposons (yi^. 19) que Ton donne une spirale logarithmique plane A^ ayant son origine ou pôle au point ^.

Si Ton enroule un lil sur la courbe A^ depuis le point o jusqu'au pôle <*, en déroulant ce fil on aura la courbe d^ qui sera une développante de A^ et la seule qui soit une spirale logarithmique et une spirale identique à la courbe A\ ainsi que nous l'avons vu ci-dessus.

Mais si l'on enroule le fil sur la courbe A^ depuis le point sf" jusqu'au point o , et que l'on déroule ce ûl , le point o décrira la courbe y qui aura un point de rebroussement en o , parce que l'on pourrait enrouler le ûl sur l'arc om!" de la courbe A* et dérouler ce fil de manière à ce que le point o décrivit la seconde branche*/, de la développante complète 77,.

Cela posé:

Si du pôle s*" comme centre, et avec un rayon vecteur 3^0 comme rayon, on décrit le cercle G; si on mène un rayon vecteur arbitraire ^m^ de la spirale logarithmique plane A*, ce rayon vecteur coupera le cercle C en un point r ; si on construit au point m* la tangente 6* à la spirale A*, et au point r la tangente H* au cercle G , je dis que ces deux tangentes se couperont en un point x situé sur la développante y ayant le point pour point de rebroussement.

Et en effet :

On pourra toujours considérer le cercle G comme la base d'un cône de révolution B ayant son sommet en un point s arbitrairement placé sur l'axe Y, et le cylindre vertical H qui aura pour section droite la spirale A^ coupera le cône B suivant une courbe A qui , eh vertu de ce que nous savons , sera une spirale logarithmique conique. Dès lors, le point misera la projection du point m de la courbe A et dosera la projection de la tangente 6 en m à la courbe A.

Le pian oscillateur K pour le point m de la courbe A passera par la droite 9 , et aura pour traoe sur le plan du cercle G la droite H'' tangente en a: à la développante y 9 ie point X étant cel ui ^^ lequel la droite B perce le plan horizontal qui n'est autre que le plan du cercle C.

Le plan tangent T au cône B pour le point m contiendra la génératrice G de ce cône passant par ce point m^ et de plus conti^ddra la tangente en m à la courbe A ; par conséquent, la trace H* (sur le plan horizontal) de ce plan T passera par le \

point X et le point r, qui sont les traces horizontales des droites^ et G ; et comme le plan T est tangent au cône B , sa trace horizontale H^ devra être tangente au cercle C trace horizontale du cône B ; donc , etc.

D'après ce qui précède , on voit de suite que si de chaque point x de la courbe y on mène la tangente H' au cercle G , chacune de ces tangentes H^ sera coupée sous un angle constant par la courbe y.

Et en effet :

Dans le triangle m^or, l"" FangleâmV est constant, puisque la spirale A^ coupe

sous un angle constant ses rayons vecteurs; 2** l'angle mf'rx est droit, donc *

l'angle mf'xr sera constant.

Et comme l'angle mf'xB^ est droit, il s'ensuit que l'angle r^rH' sera constant : ce qu'il fallait démontrer.

Ainsi , l'on peut énoncer le théorème suivant :

Chaque développante d'une spirale logarithmique plane coupe nous un angle constant les tangentes menéfs de chacun de ses points au cercle ayant pour centre le pôle de laspirale, et pour rayon le rayon vecteur de la spirale correspondant au point de rebroussement de la développante.

Vwiègle est le même pour toutes les développantes de la même spirale hgaritknuque , et il est égal à l'angle sous lequel la spirale coupe ses rayons vecteurs.

Et l'on voit de suite que :la eourbe if" n'est qu'une développante particulière, eelie pour lequel le point de rebroussement est précisément le pôle de la spirale A^; et pour cette courbe d^, le cercle C a un rayon nui.

De sorte que les tangentes H'' au cercle G jouent, par rappwt à la développante y, le même rôieque les rayons vecteurs ^9^ jouent par rapport à la développante d^.

Les considérations précédentes nous permettent de résoudre le problème suivant.