IV. Rectification d'un arc de spirale logarithmique plane

Étant donnée ( fig. l») une spirale logarithmique A* coupant ses rayons vecteurs

— BI- SOUS un angle connu a» on peut facilement rectifier un arc om^de cette courbe.

Pour cela : i** on tracera le cercle C pas^nt par l'une des extrémités o de Tare à rectifier, ce cercle ayant pour centre Torigine ou pôle 9*" de la couii>e spirale donnée ;

2"* On construira au point m* la tangente 0^ à la courbe;

3*" On construira au point r, en lequel le cercle C est coupé par le rayon vecteur 5^m^ prolongé , la tangente H* à ce cercle C.

Les droites O^et H,* se couperont en un point x et xinl" sera la longueur de l'arc om* rectifié.

V. GoiMtruction de la tangente en un point d'une tpircde logarithmique plane, longue l'on ignore bous, quel angle la courbe coupe ses rayons vecteurs.

Étant données {fig. 19) la courbe A^ét son origine ou pôle ^, on demande la tangente au point m*.

i^ On décrira le cercle C passant par un point o arbitrairement situé sur la courbe donnée, le centre de ce cercle étant le pôle.ou origine de A*;

2'' On mènera le rayon vecteur ^m^ coupant le cercle C au point r ;

3** On construira au point r la tangente H* au cercle C ;

4"* On prendra une droite D égale en longueur à l'are om^ de la courbe donnée.

Cette droite D sera construite par tâtonnement, en prenant des cordes trèspetites et différant très-peu des peiits arcs qu'elles soutendent.

S"" Du point m* comme centre , et avec D pour rayon, on décrira un cercle qui coupera H" en un point x. <.•

Joignant les points x et m\ on aura la tangente demandée.

VI. Étant donnée, une spirale logarithmique plane, coupant ses rayons vecteurs sous un angle connu, construire la développée de cette courbe, ou, en d'autres termes, construire pour un point de la spirale son rayon de courbure.

Soit donnée {fig. i8) la spirale logarithmique plane d^. En un point rf" de cette courbe, on mènera la normale G* ( cette normale est facite à construire, puisqu'elle doit faire avec le rayon vecteur ^^ un angle complémentaire de celui sous lequel la courbe coupe ses rayons vecteurs).

Du pôle ou origine «* comme centre et avec un rayon arbitraire , on tracera le cercle C.

On mènera le rayon ^r perpendiculaire sur le rayon vecteur ^/, et les droites ^r et 9^ se couperont en un point m^, qui appartiendra à la développée A^.

On pourra donc se procurer facilement autant de points m* de la développée

A* que Ton voudra, ou, en d'autres termes, autant de centres de courbure m^, que Ton voudra, de la courbe donnée if.

VU. Étant donnée, une spirale logarithmique plane et l* angle sous lequel elle coupe ses divers rayons vecteurs, construire l'angle dont il faudrait faire tourner cette courbe au tour de son pôle, pour ta superposer sur sa développée.

Étant données {fig. 20) la spirale logarithmique plane i et sa développée A, nous savons que si Ton prend un point q sur la courbe d, sa normale 0- est tangente en un point m de la développée A « et que les deux rayons vecteurs sq et sm sont rectangulaires entre eux , quel que soit Tangle sous lequel la courbe i coupe ses rayons vecteurs sq.

Le triangle qsm étant rectangle en «, il s'ensuit que les angles sqm et smq sont complémentaires; dès lors i^ si sqt=: sm , ces deux angles sont égaux entre eux , et chacun vaut un angle demi-droit.

Dans ce cas^ la courbe i devra tourner d'un angle droit autour du pôle s pour venir se superposer sur sa développée A.

2^ Si Ton a sq <.sm, on a aussi sqm <:ismq.

Dés lors la courbe 3 tournant autour de son pôle s , le point q viendra se placer sur un point q' de la développée A , ce point q' étant tel que Ton ait sq'^=^ sq, et il est évident que le point q sera situé entre le pôle s et le point m ; dans ce cas la courbe 3 tournera d'un angle plus petit qu'un angle droit pour venir se superposer sur sa développée A .

3" Si Ton a «9> sm, on a aussi smq > sqm.

Dès lors la courbe i tournant autour de son pôle s , le point q viendra se placer sur un point q" de la développée A, ce point 9'' étant tel que l'on ait s^'^=sq, et il est évident que le point 9'' sera situé aujdelà du point m par rapport au pôles. Dans ce cas la courbe i tournera d'un angle plus grand que l'angle droit pour venir se superposer sur sa développée A..

YIII. Dans la spirale logarithmique plane, les accroissements des arcs eont proportionnels aux accroissements des rayons vecteurs.

Étant donnée {fig. 2i) une spirale logarithmique plane A, nous avons vu cidessus que si l'on traçait un cercle C, et si l'on menait au poîtit m la tangente 6 à la courbe A, et au point p en lequel le cercle G est coupé par le rayon vecteur sm la tangente T^ ces deux droites se coupaient en un point x, et que la droite xm était égale en longueur à l'arc de spirale my.

Dèslors, si Ton construit une suite de cercles concentriques C, C, C/\ ayant

le pôle « pour cratre commun, et tei&que l'on ait pp's=spY\ on aura «c'=:xV et dès lors on aura aussi : arc yyz=:arc y'y'\

Et comme on a, par construction, sy =sp et sy=$p et sy"='jf/', on aura évidemment

*y + V + *y" + ^tc. =3 arc my + arc my + arc my" + etc.

Ainsi , en représentant par p le rayon vecteur et par S Tare de la spirale logarithmique(rarc S était compté à partir de Torigine ou pôle de la courbe), on aura :

^ =: constante = M ,

ce qu'il faHaîKléHiontcer.

IX. Dèsi propriétés donlj(mU$eni les déveioppanies de la déuelappanie d'une spirale logarithmique plane.

Étant donnée {fig. 22) la spirale logarithmique plane A, et ayant décrit le cercle doni le centre est au pôle s et qui coupe au point o la courbe A , nous avons Yu.qpe.la courbe y. développante de la spirale A coupait sous un angle constant les tangentes T du cercle G, et aussi que cette courbe y coupak les droites T sous le même angle, que la spirale A coupait ses rayons vecteijurs sm.

€ela posé :

Je décris la courbe D, développante du cercle G et ayant pour origine le point o, qui est aussi Torigine de la courbe y sur le cercle G. Puis je décris la courbe K développante de la courbe y, cette courbe K ayant ausd pour origine ou point de rebroussement le point o.

Je construis au point m de la spirale A la tangente 6^

Au point x^ de la développante y la tangente X'

Au point y' de la développante K de la développante y la tangente ('.

Et enfin au point z' de la développante circulaire D la tangente 6".

Si je conçois l'hélicoïde développarii>ie 1 qui aurait pour arête de rd»rousBement une hélice G. projetée en G , cette surfoce sera coupée par le plan horizontiail suivant la développante circulaire D.

Et si je conçois un cylindre vertical H ayant pour section droite la coiurbey, ce cylindre H coupera la surface héltcoîde 2 suivant une courbe y. qui se projettera suivant y.

Or, la courbe y. coupera sous un angle constant les diverses génénitrioèa^lroites G de Thélicoîde 2, puisque sa projection y coupe sous un angle constant les

tangentes T au cercle C qui sont les projections de ces diverses génératrices G.

Si je voulais construire au point x, de y. la tangente, je devrais faire la construction suivante :

Mener i y et au point x' projection du point x^ la tangente X' qui serait la trace horizontale du plan tangent au cylindre H.

Mener à Det au point z' en lequel la génération G de Thélicoidel passant par le point Xi perce le plan horizontal, la tangente ^y laquelle serait la trace horizontale du plan tangent à l'hélicoîde 2.

Les droites X' et S' se couperont en un point y qui sera sur le plan Jiorizontal le pied ou la trace de la tangente cherchée X,; en joignant donc les points 9' et x, on aura cette tangente.

Et comme la courbe y, coupe sous un angle constant les génératrices G de Thélicolde 2, il s'ensuit que ses tangentes X, coupent sous un angle constant les génératrices du cylindre H ; dés lors la courbe y, est une hélice sur le cylindre II, dés lors les points y appartiennent à la développante R de la courbe y.

De là on déduit ce qui suit :

Problème. RectificatUm d'un arc o\' de la courbe y.

On tracera {fig. 22) la développante circulaire D passant par le point o de la courbe y ; on construira la tangente 6" à la courbe D pour le point %' en lequel le rayon vecteur i^x de y coupe D et la droite 6" coupera h taqgente X' au point y'.

La droite x'y sera égale en longueur à Tare ox' de la courbe y.

Si Ton voulait avoir la rectification de l'arc xx de la courbe y, on ferait passer par le point x la développante circulaire D' ; au point z" on mènerait la tangente &" à D'} ^' couperait X'au point y"; et la droite o^y serait égale en longueur à l'arc xx' de la courbe y.

Le lieu des points y" sera une courbe K' qui sera aussi une développante dey^ mais ayant son point de rebroussement au point a; de y.

De même que la spirale logarithmique A (Jig. 21) coupait évidemment sous un angle constant les cercles G, C, C'\ ayant pour centre commun le pôle«; de même la courbe y {fig. 22 ) coupe évidemment sous un angle constant les développantes D^ D", du cercle C qui sert de pôle à cette courbe y.

Pour la spirale A, à des accroissements égaux pour les arcs correspondaient des accroissements égaicL pour les rayons vecteurs (fig. 21 ) ; la même chose a lieu évidemment pour la courbe y, puisque les deux triangles y'z'x' et y"z"x sont semblables {fig. 22 ). Ainsi le point x partage l'arc tMc de la courbe y de la même manière que le point %" partage la droite %'x.

De même que la courbe A ( fig. 22 ) coupe sous un angle constant a ses

rayons vecteurs sm ; de même la courbe y développante de la spirale A coupe sous un angle constant et qui est aussi égal à a, ses rayons vecteurs rx ou T ; de même aussi la courbe K développante de la développante y de la spirale A coupe sous un angle constant et qui est encore égal à a, ses rayons vecteurs %'y' ou 6".

De sorte que^ pour la spirale logarithmique, le pdie est un point s] pour sa développante y le pôle est un cercle G; pour sa développante de développante K, le pôle est la développante D du cercle G.

Et, en appliquant à la courbe K ce que nous avons dit pour la courbe y, on voit que la courbe K pourra être considérée comme la projection d'une courbe K, située sur une liélicoide développable 2^ ayant pour arôte de rebroussement une hélice tracée sur le cylindre, qui aurait pour section droite la développante circulaire D, cette courbe K, coupant sous un angle constant les diverses génératrices droites de cette surface 2"; dès lors la développante de la courbe K coupera sous un angle constant les tangentes à la développante de la développante circulaire D, et ainsi de suite.

Remarquons qu'au point o, qui est en même temps Torigine des courbes y et K, ces deux courbes se coupent à angle droit, puisque K est la développante de y; et comme' y est la développante de la spirale A , ces deux courbes se coupent aussi à angle droit en ce même point o ; dés lors , les courbes A et K ont même tangente au point o.

Ainsi {fig. 23) : la courbe yy", développante de la spirale A, offrira en o un point de rebroussement , et elle aura pour tangente en ce point o la normale N de la spirale; la courbe RK', développante de yy', offrira en o un point pour lequel le rayon de courbure sera nul , et cette courbe sera tout entière d'un même côté par rapport à la tangente 9' à la spirale A , et aura pour tangente en o la droite 0. La courbe (JU^ développante de KR", passera de l'autre côté de la tangente s ^ offirira un point de rebroussement en o; elle aura pour tangente la normale N".

La courbe VV, développante de UU', sera du même côté que UU'par rapport à la tangente 6 , et aura en o un rayon de courbure nul et pour tangente en ce point, et enCn la développante de VV" repassera de l'autre côté deO, et ainsi de suite.

X. De quelques propriétés de la spirate togariihmique conique.

Cette spirale jouit ,* comme la spirale logarithmique plane , de la propriété que nous connaissons déjà, savoir : que les arcs comptés à partir du sommet du*cône sontentre eux comme les rayons vecteurs correspondants aux extrémités de ces arcs.

Cette courbe est rectifiable ; la longueur d'un arc compris entre le sommet du

c6ne et im poiol m est égal à la partie de la tangente qui , menée au point m, se trouve comprise entre ce point m et le plan mené par le sommet du cône perpendiculaire à l'axe de ce cône , etc., etc.

Ces diverses propriétés sont évidentes lorsqu'on jette les yeux sur hfig. 18.

XL ûmêtrvakm du rcofon de courbvre de la spirale logarithmiifue conique.

Nous avons vu que la spirale logarithmique conique était une hélice sur le cylindre qui projette cette courbe à double courbure sur un plan P perpendiculaire à Taxe du cône suivant une spirale logarithmique conique.

Par conséquent 9 les rayons de courbure de cette spirale sont tous parallèles au plan P.

Dès lors, étant donné un point m sur la spirale A , pour avoir le rayon de courbure correspondant à ce point, il faudra mener par la tangente au point m de la courbe A un plan R perpendiculaire au plan vertical passant par 6; ce plan R coupera le cône suivant une section conique E, osculatrice à la courbe A au point m , car nous savons que le plan R , en vertu de la direction que nous venons de lui donner , est le plan osculateur de la courbe A pour le point m.

Le rayon de courbure de la section conique E, sera celui de la spirale A.

Gomme pour chaque point de la spirale A , la tangente au point m fait le même angle a avec la génératrice G du cône, il s'ensuit que si Ton fait tourner toutes les génératrices G autour de Taxe pour les placer sur une même génératrice G, , toutes les tangentes 8, menées aux divers points de la spirale A, viendront se placer dans le plan T, tangent au cône suivdnt G, , et en ces nouvelles positions seront toutes parallèles entre elles ; dès lors, on doit conclure que les divers plans osculateurs de la spirale A coupent le cône sur lequel cette courbe est tracée , suivant des section coniques B toutes semblables entre elles , mais non semblablement placées.

Par conséquent, connaissant le rayon de courbure pour un point m de la spirale A, il sera facile d'en conclure le rayon de courbure pour tout autre point tn que l'on indiquera.

Et en effet :

Concevons le cône de révolution B, une génératrice G de ce cône, le plan T tangent à ce cône suivant G ; menons dans le plan T une suite de droites 8, 6", 6",

toutes parallèles entre elles, et par chacune d'elles menons un plan parallèle à Taxe du cône B, nous aurons les plans verticaux X, X', X'"; par chacune des droites 0, B', ^\ menons des plans parallèles entre eux R, R', R''et perpendiculaires aux plans verticaux et aussi parallèles entre eux X, X', X"; ces plans R, R', R'' couperont le cône B suivant des sections coniques semblables et semblablement placées E ,

E^ E''; désignons : V par 6, 6% b'' ies^leniMliamètrcs de ces Murbot pts8&nl par le point en lequel la génératrice G coupe chacnne de ^ ces courbes; 2* par pi p\ p\ le rayon de courbure de chacune d^elIes.

Supposons d*abord que le point en lequd les courbes E, E',. E" «oopantG sait le sommet de ces courbes; désignons par a, a y a' les demi-axes, bj b\ 6'' étant les autres demi-^xes de ces sections coniques , on aurait dans ce cas tout particulier :

o' , a'' Or, puisque les courbes E et E' sont semblables^ on a

d'où

doù

Et comme

on aura

fLf

d'où

Or, cette proportion aura lieu, que b et b' soient les demi-axes ou des demidiamètres, parallèles entre eux, de deux sections coniques Eet E' semblables et serablablement placées sur le cône B ; dès lors , connaissant p et 6 pour un point m , et b' pour un point quelconque m' de la courbe spirale A , on pourra construire p ou le rayon de courbure de cette courbe A pour ce point m^ car : désignant par T et T' les plans tangents au cône B et aux points m et m' de la spirale A , et désignant par B le plan osculateur en m à la courbe A et par B, le plan osculateur en m à cette même courbe A; si Ton Êiit tourner le plan T' autour de l'axe du cône B pour le superposer sur le plan T, le plan B. viendra prendre la position B' parallèle à B; par conséquent, les plans B, et B' couperont le cône B suivant des

Si donc on enroule le plan P sop le o6ne 2, les droites 0. et r. deriendront les tangentes 9 et i. Tune au point x de la courbe spirale X , Tàulre au point y de la courbe à double couii>ure G et les deux droites 6 et i auront conservé, entre elles, les mêmes relations de position qui existaient entre les droites 6, et £, ; donc 9 et r se coupent sous un angle constant, etc., etc.

XIIL Étant tracée sur un cône à directrice arbitraire la courbe qm coupe $ou$ un angle constant les diverses génératrices droites de ce cône, on demande de construire le rayon de courbwne en un pmnt de cette spirale*

Nous devons admettre que l'on peut calculer le rayon de courbore d'une section plane quelconque d'un cône 2 dont on connaît le sommet s et la courbe directrice B.

Ainsi, étant donnée {fig. 25), la courbe B pour courbe directrice du cône 2 et le poin^ m étant celui de la spirale Â, pour lequel on veut trouver le rayon de courbure, nous ferons passer par le point m un plan P perpendiculaire à la génératrice G du cône^ laquelle passe par ce point m; ce plan P coupera le cône suivant une courbe B', au point m nous mènerons la normale mp h la courbe B^ et nous déteriùinerons son centre de courbure o; nous aurons dès lors le cercle i, osculateur en m à la courbe h\

Nous considérerons le cercle d comme la section droite d'un cylindre ayant ses génératrices parallèles à la droite G.

Ce cylindre O sera osculateur en m au cône 2.

Le cylindre osculateur étant trouvé, il faut obtenir le cône osculaleur et de révolution.

Or, si l'on considère le cercle d comme la base d'un cône ayant le point s pour sommet, ce cône sera osculateur au cône 2 tout le. long de G ; mais ce cône ne sera pas de révolution ; pour qu'il soit dé révolution , il faut que le triangle sont soit rectangle en o.

Menons en m la tangente 6 au cercle d et par cette tangente 6 faisons passer une suite de plans Y, Y', Y''; chacun d'eux coupera le cylindre suivant des ellipses E , E', E"', qui auront toutes même petit demi-axe et égal au rayon p du

cercle i et le demi- grand axe sera égal à -^ , a étant l'angle que le plan Y fait

avec le plan P {fig. 26); et cet angle a variera de grandeur avec les diverses positions que le plan Y prendra dans l'espace, savoir : Y', Y'\

. Par oonséquent, les ellipses E, E', £,.... auront toutes leurs petits axes égaux entre eux et leurs grands axes inégaux entre eux.

Le point m sera le sommet de chacune des ellipses E, E', E" ; pour ce sommet, le rayon de courbure sera

p étant le demi-petit axe et a désignant le demi-grand axe mq. Or

donc

on aura donc

• cos

aî=3îiio

COSa

Par conséquent (fig. 26), si sur om ou p comme diamètre on décrit le cercle K, il coupera la droite m^ en a; , et 4^ sera égal à p..

Par conséquent , si sur $m comme diamètre je décris le cercle L , les cercles L et K se couperont en un point x^ et xs sera l'axe du cône O.de révolution , osculateur au cône 2 tout, le long de la génératrice G.

Le cône osculateur'O. étant construit , on pourra considérer les deux éléments successifs de la courbe A qui appartiennent à la fois au cône 1 et au cône 0, comme étant situés sur une spirale logarithmique conique A, tracée sur le cône 0,.

Et le plan osculateur Q pour la courbe A. au point m sera le plan osculateur de la courbe A pour ce même point m.

Or, l'on sait que le plan Q est perpendiculaire au plan passant par une droite menée par le point m parallèlement à l'axe du cône 0. , et par la tangente en m à la courbe A,.

Dès lors, nous construirons en m la tangente T à la courbe donnée A; par ce même point m nous mènerons une droite Z parallèle à Taxe sœo du cône osculateur de révolution 0, ; et par la tangente T nous mènerons le plan Q perpendiculaire au plan passant par les droites Z et T.

Le plan osculateur Q étant déterminé^ ce plan coupera le cône 0, suivant une section conique osculatrice en m à la spirale donnée A.

Il ne restera plus qu'à déterminer le rayon de courbure de la section conique

pour achever la solution du problème proposé.

RenumitÊe. En terminant, je crois devoir faire remarquer que lorsqu'il s'est agi, n* XI, de la solution du problème : Construire le rayon de courbure p' en un poini m' de la spirale logarithmique conique A , connaissant le rayon de courbure p en un point m de cette courbe, j'ai dit que désignant par b et 6' les demi-diamètres des sections coniques E et E' osculatrices en m et m' à la spirale à double courbure A , on avait toujours :

Je n'ai point démontré l'existence de cette propriété dans tous les cas , me bornant à la démontrer lorsque l'on suppose que les points m et mf sont les sommets des courbes E et E\

Au moyen déconsidérations géométrî^s très-simples , on peut facilement démontrer l'existence de cette proportion dans tous les cas.

Et en effet :

Désignons par G la génératrice du cône de révolution B sur lequel la spirale A est tracée, cette génératrice passant par le point m de cette courbe A. Faisant tourner le plan de la courbe E' jusqu'à ce que le point m' vienne en m, sur G, la courbe E prendra la position E. , et les courbes E et E. seront dans des plans parallèles , et sei^nt semblables et semblablement placées sur le cône B dont elles sont des sections planes.

Désignons par e et e, les centres des courbes E et E, la droite qui unira le point e au sommet s du cône B passera par le point e, , et les droites ém et ejn, seront parallèles , et l'on aura :

em : e^ :: sm: sm, (1)

Gela fait :

Traçons dans le plan de la courbe E la développée i de cette courbe; la normale N menée au point m, à la courbe E et dans son plan , touchera la développée i en un point o.

Et les deux normales successives et infiniment voisines N et N' à la courbe E et passant, l'une par le point m et l'autre par le point p , ces deux points étant successifs et infiniment voisins sur la courbe E, se couperont au point o.

De même , deux normales successiv.es et infiniment voisines N, et N/ à la courbe E. et passant l'une par le point m et l'autre par le point Pi , ces deux, points étant successifs et infiniment voisins sur la courbe E, , fe couperont en un point o,.

Or, les points s , m et m, étant sur la droite G, les points s, p e^p^ seront sur la droite G' g^ératrice successive et infiniment voisine de G sur le cône B.

Dès lors, les droites Net N., N' etN/ seront parallèles.

Dès lors , les plans (N , N.) et (N', N/) se couperont suivant une droite passant^ par le sommet « du cône B et les deux points o et o..

Or«: om sera le rayon de courbure p de la courbe E pour le point m, et o.m.sera le rayon de courbure p, de la courbe E, pour le point m, ; on a donc la proportion :

p : p, : : sm : «n, (2)

Comparant les proportions (i) et (2), on en déduit :

p : p, : : em : 6,m, ce qu'il fallait démontrer.

Mais si Ton mène par le sommet % du cône de révolution B une droite de direction arbitraire Q coupant les plans des sections coniques E et E, en les points q et 9, y on aura toujours :

et par conséquent

Ainsi , désignant qm par r et qjm, par r, , on peut dire : que les rayons de courbure en deux points homologues m et m. de deux sections coniques semblables et semblablement placées (dans l'espace) E et E. sont entre eux comme les rayons vecteurs homologues r et r. de ces courbes ayant pour pôles conjugués les points q et q,.

Et comme deux sections parallèles et planes faites dans un cône quelconque ont pour pôle commun le sommet de ce cône , on peut dire que «m et «m, sont les rayons vecteurs des courbes E et E, par rapport à leur pôle commun $.

Et dès lors , désignant «m par t) et «m, par v, , on aura :

D'où

r!:=th

Par conséquent 9 connaissant le rayon de courbure p pour un point m de la spirale logarithmique conique A , on pourra facilement construire le rayon de courbure p' pour un point quelconque m' de cette courbe , car il suffira de mener par le point m' une droite D s'appuyant sur Taxe du cône B et dirigée

perpendiculairement à cel axe, et de porter sur cette droite D une longueur p', quatrième proportionnelle entre p , W et sm.

Un' et 9m étant les distances des points m et m au sommet $ du cône de révolution B sur lequel est tracée la spirale donnée A.

Et comme ce que nous venons de dire aura évidemment lieu, quel que soit le demi-^ngle au sommet du cône de révolution B , nous pourrons en conclure que la même chose aura lieu lorsque ce demi-angle sera égal à un angle droit ; lors donc que le cône B sera un plan P et que la spirale logarithmique et conique A sera une spirale logarithmique plane A,.

Par conséquent I l'on pourra très-facilement construire le rayon de courbure p' en un point m d'une spirale logarithmique plane A. lorsque Ton connaîtra son rayon de courbure p pour un de ses points m ; car désignant par r et r' les rayons vecteurs de cette courbe pour les points m etm^ on aura :