S"* DE LA SPIRALE HYPERBOLIQUE

En désignant le rayon vecteur par p et l'angle par cd, les géomètres ont donné le nom dé spirale hyperbolique à la courbe plane ayant pour équation p . &) =M , et cela parce que l'équation polaire avait la même forme que l'équation en coordonnées obliques xy=3C, laquelle représente, comme on le sait, une hyperbole rapportée à ses asymptotes, ces droites étant prises pour axes des coordonnées.

Je me propose de démontrer, que si l'on a un cône ayant pour directrice une hélice tracée sur un cylindre de révolution et pour sommet un point situé sur Taxe de ce cylindre, la courbe que Ton obtiendra en coupant ce cône par un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre sera une spirale hyperbolique.

Ensuite, je chercherai les diverses propriétés dont cette courbe peut jouir, en ne me servant que des méthodes employées en géométrie descriptive.

Traçons (Jig. 27 ) sur le cylindre de révolution qui a pour axe la droite Z et pour section droite lé cercle G , l'hélice H.

Prenons sur l'axe Z un point s , et menons par ce point un plan perpendiculaire> Taxe Z et coupant dès lors le cylindre suivant un cercle G', et l'hélice H en un point a.

Je dis : que le cône qui a pour sommet le point s et pour directrice Thâice H est coupé parle plan xy perpendiculaire à Taxe Z suivant une courbe <p qui n'est autre qu'une spirale hyperbolique.

En effet :

Par un point m de l'hélice H y concevons la droite itmp génératrice du cylindre et la droite smd génératrice du cône.

od sera le rayon vecteur de la courbe ^ .

En prenant la droite ox^ ou mieux le plan Zx, pour origine des angles ut\ et désignant par R le rayon des cercles G et C ; et par b la distance du sommet 9 au plan sécant xy; et par A le pas de l'hélice H, on aura :

fini

arc fta 2}r . R

Et comme

arcfta = R.»

on aura

IWI ^ -T — =r- = -rr— 2jr.R 2îr

Or, les deux triangles semblables 9nm et $od donnent

vn : od :: nm:o$ ou

^ 2jr

D'où

2fr ^

et enfin