FORMULES

\'ix — 5/: ±rz=:o.

'jX — ^t^SZZZO.

EXri.ICAT10If.

Rapport de l'octave 2:1.

Rapport de la quinte. ... « : i. Rapport de la quarte. . . . 1 : n.

Rapport de l'intervalle qui vient de (|uint<^ /^'■ : 2'.

•i44 SYS

Rapport de l'intervalle qui vient de quarte

r. Nombre de quintes ou de quartes de l'intervalle.

s. Nombre d'octaves combinées de l'intervalle.

t. Nombre de semi-tons de l'intervalle.

X. Gradation diatonique de l'intervalle , c'està-dire nombre des secondes diatoniques majeures et mineures de l'intervalle.

xzhi. Gradation des termes d'où l'intervalle tire son nom.

Le premier cas de chaque formule a lieu

lorsque l'intervalle vient de quintes.

Le second cas de chaque formule a lieu

lorsque l'intervalle vient de quartes.

Pour rendre ceci plus clair par des exemples , commençons par donner des noms à

chacune des douze touches du clavier.

Ces noms, dans l'arrangement du clavier

proposé par M. Boisgelou ( planche I, figure 3),

sont les suivants :

Ut de re ma mi fa fi sol be la sa si.

Tout intervalle est formé par la progression de quintes ou par celle de quartes , ramenées à l'octave : par exemple, l'intervalle si ut est formé par cette progression de 5 quartes si mi la re sol ut, ou par cette progression de 7 quintes si fi de be ma sa fa ut.

De même l'intervalle /« ma est formé par cette progression de 4 quintes /a ut sol re la ,

SYS 245

OU par cette progression de 8 quartes fa sa ma be de fi si mi la.

De ce que le rapport de tout intervalle qui vient de quintes est «'" : 2^, et que celui qui vient de quartes , est 2^ : «'•, il s'ensuit qu'on a pour le rapport de l'intervalle si ut, quand il vient de quartes , cette proportion de 2^ ; Tf : : 2^ ; ;j5 £t gi rintervalle si ut vient de quintes, on a cette proportion , tv : 2^ : : ni : 2^. Voici comment on prouve cette analogie.

Le nombre de quartes, d'où vient l'intervalle si ut, étant de 5 , le rapport de cet intervalle est de 2^ : tv> , puisque le rapport de la quarte est 2 : n.

Mais ce rapport 2^ : «^ désigneroit un intervalle de 2^ semi-tons, puisque chaque quarte a 5 semi-tons, et que cet intervalle a 5 quartes : ainsi l'octave n'ayant que 12 semi-tons, l'intervalle si ut passeroit deux octaves.

Donc , pour que l'intervalle si ut soit moindre que l'octave, il faut diminuer ce rapport 2^ : u^ de deux octaves, c'est-à-dire du rapport de 2' : I ; ce qui se fait par un rapport composé du rapport direct 2^ : «^, et du rapport I : 22 , inverse de celui 2^ : i , en cette

sorte : 2^ X i : «^ x 2^

Or , l'intervalle si ut venant de quartes , son rapport , comme il a été dit ci-devant , est 2^ : nr\ donc 2^ : «'" .-: 2^ : ii^ , donc j=:3, et

Ainsi, réduisant les lettres du second cas

24^ SYS

de chaque formule aux nombres correspondants, on a pour C , 7^ — 4'' — a =^ 'i i — 20

— I = o , et pour D^yx — 4^ — sz=y — 4 — 3=0.

Lorsque le même intervalle si ut vient de quintes , il donne cette proportion n'' : 2' : : fil : 24 : ainsi l'on ar = 7,5=:4) et par conséquent , pour A de la première formule , 1 2s

— 7rrt:f = 48 — 49 -f- i = o ; et pour B , 12^ ■ — 5frtr=;i2 — 5 — 7 = 0.

De même l'intervalle /« la venant de quintes, donne cette proportion n'' : 2s :: n^ : 2^ , et par conséquent on a r=4 et ^ = 2. Le même intervalle venant de quartes , donne cette proportion 2^ : n':: 2^ : ti^ , etc. Il seroit trop long d'expliquer ici comment on peut trouver les rapports et tout ce qui regarde les intervalles par le moyen des formules. Ce sera mettre un lecteur attentif sur la route que de lui donner les valeurs de« et de ces puissances.

Valeurs des puissances de n :

n^:=:5, c'est un fait d'expérience, Donc 72^ = 25. «'2 = 125 , etc.

Valeurs précises des trois premières puissances de n :

Valeurs approchées des trois premières puissances de n :

SYS

Donc le rapport |, qu'on a cru jusqu'ici être celui de la quinte juste , n'est qu'un rapport d'approximation, et donne une quinte trop forte; et de là le véritable principe du tempérament, qu'on ne peut appeler ainsi que par abus, puisque la quinte doit être foible pour être juste.