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9. Tout produit d'nn nombre par un autre est ditni;. //i///e du premier. Ainsi le produit de l7 par un nombre quelconque est un multiple de 17. Ainsi encore chaque ligne horizontale de la table démultiplication renferme les multiples successifs du nombre placé en tête de cette ligne ; il en est de même pour les nombres inscrits dans une même colonne verticale.

On peut avoir à faire le produit de plus de deux nombres; on peut demander, par exemple, de multiplier 4 par 3, de multiplier le produit par 5, et ce dernier produit par 7. C'est ce que l'on appelle des !i uitipl ridions successives; le dernier résultat est regardé comme le produit de tous les facteurs employés. Dans l'exemple ci-dessus, ce résultat pourrait s'écrire :

On démontre que le produit final est indépendant de l'ordre des multi|dications.

10. C. S. — Dans un produit de plus de deux facteurs, on peut toujours intervertir l'ordre des deux premiers, puisque la multiplication dont il s'agit précède toutes les uutres, et que dès lors on n'a à considérer qu'un produit de deux facteurs.

Mais on reconnaît facilement que l'on peut intervertir l'ordre de deux facteurs consécutifs quelconques. Par exemple, au lieu de multiplier 4 par 5 et le produit pur •!, on peut multiplier 4 p.;ir :i. et le produit par 5. Ecrivons, en effet, 5 fois le

plusieurs fadeurs e>t indépendunt de l'ordre de ces facteurs.

II. — Au lieu de multiplier un nr,mbre successiiienieid par plusieurs fœteurs, on ptut le multiplier juir le proilidt I fffctiié de et' mêmes factei'r.<. Par exemple : au lieu de multiplier 4 successivement par 5 et le produit par 3, on peut multiplier 4 parle produit effectué de .S et de 3.

En effet, l'ordre des facteurs successifs étant indifférent, on a :

ou, en changeant l'ordre de ces deux facteurs,

ce qui démontre la proposition pour trois facteurs.

On retendrait de la même manière à un nombre de facteurs quelconque.

CoROLLAinES. — l. Pour multiplier tin produit par un nombre, il suffit de multiplier pur ce nombre un quelconque des facteurs du produit. Je dis, par exemple, que, pour multiplier par II le produit 4 X 5 X 3, il suffit de multiplier par 1 1 le facteur 5. On a, en effet, d'après les propositions précédentes,

4x5x3xll = ix5xllx3 = 4x(5xll)x3

le signe (5 x M) représentant le produit effectué de 6 par 11. Cette égalité démontre la proposition. , . ,

11. On rend un produit 2,3,4, etc. fois plus grand en multipliant par V, 3, 4, etc. l'un des facteurs de ce produit. .

12. Quand tous les facteurs d un produit sont égaux, ce produit es' ce que l'on appelle une puissance do l'un de ces facteurs ; cette puissance est d'ordre marqué par le nombre des facteurs

3X3 représente la seconde puissance de 3 ; 3X3X3 1* troisième puissance de 3;

3X3X3X3 li quatr.ème puissance de 3 ;

Pour écrire une puissance d'un nombre, on se contente décrire ce nombre, et l'on place à sa droite, et un peu au-dessi^s, un nombre que l'on appelle un exiiosnnt et qui indique le nombre des facteurs ésaux. Ainsi, 32, 33,3', 36..., représentent la deuxième, la troisième, la quatrième, la cinquième puissance de ;i, etc.

II résulte de ce qui a été dit au numéro II, que multiiilier un nombre successivement par 2, 3, 4. eic. fact' urs égaux à un autre nombre, revient à le multiplier par la seconde, la troisième, la qua-

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trième, etc. puissance de ce second nombre. Ainsi 4 X.'> X 5 X .'i revient îi 4 X &■'■