INTÉRÊT

préfère géndralemont commencer par calculer l'intérêt à 6 p. lOi), et en déduire l'intérôt h un autre taux par la règle suivante, facile i justifier :

Si le taux est 5, retrancher 1 sur 6, ou prendre le sixième i\, — l^surG, — \c quart

4, — 2 sur (i, — le Mrs

3, — 3 surC, — \dL moitié

Soit, par exemple, k calculer l'intérêt de 875 fr. pendant SO jours b.\\ p. 100. Lo nombre étant 875 X 80 ou 65200, en divisant par 6000 on obtient d'abord 10 fr. 8C66... ;retrancliant le quart ou 2 fr. 71000..., il reste 8 fr. 15.

3. — Ouand l'inconnue du problème est lecapital, le taux, ou le nombre de jours, on remarque que, d'après la règle de l'intérêt simple, le produit de l'intérêt par 36000 doit être le même que le produit du capital par le taux et par le nombre do jours. On obtiendra donc le nombre cherché en divisant ce produit :

Par le taux et par le nombre de jours, si l'inconnue est le capital ;

Par le capital et par le nombre de jours, si l'inconnue est le taux ;

Par lo capital et par le taux, si l'inconnue est le nombre de jours.

Supposons, par exemple, qu'un capital de lia fr. ait produit 13 fr. 20 d'intérêt, au taux de 6 p. 100, et qu'on demande le nombre de jours. On multipliera 13 fr. 20 par 36000, ce qui donne -475200, puis on divisera ce produit par 720 et par G, ou, ce qui revient au même, par 4320, ce qui donne 110. L'inconnue a donc pour valeur 110 jours.

Supposons, en second lieu, qu'un certain capital ait produit 19 fr. 20 au bout de 120 jours, au taux de 4j p. 100, et qu'on demande ce capital. On multipliera 10 fr. 20 par 3G0l)0, ce qui donne 091 200 fr. ; puis on divisera par 120 et par 4.5, ou, ce qui revient au même, par 540, ce qui donnera 1280 fr. pour le capital demandé.

4. — Comme application de ce qui précède, nous traiterons une question qui se rencontre dans les transactions commerciales, et qui est connue sous le nom d'échéunce commune.

Une personne a souscrit au profit d'une autre trois billets : l'un de5i0 fr. payable dans 90 jours, le second de 450 fr. payable dans 110 jours, le troisième de 370 fr. payable dans 180 jours ; et elle propose de les remplacer par un billet unique, énonçant la somme totale, et produisant le même intérêt ; la question est de savoir quelle échéance il faudra fixer. Remarquons d'abord que la somme totale est 1360 fr. La somme des intérêts, en désignant par t le taux, sera d'après la règle d'intérêt:

."ïri non t" !^(:nn(i

Cette somme peut s'écrire :

D'un autre côté, si nous désignons par n le nombre de jours cherché, la somme de 1360 fr. produirait un intérêt marqué par :

Ces deux expressions de l'intérêt total devant être les mêmes, on doit avoir :

d'où résulte

11= — '- = 121,10 ou 121 jours et une fraction.

On adopterait 121 jours. On voit que la question est indépendante du taux de l'intérêt, et que, jwiir obtenir l'échéance commune, il faut faire la somme des nombres (produit des capitaux par les nombres de jours), et diviser par la somme des capitaux.

S'il y a, par exemple, quatre billets.

L'un de 810' payable dans 130 jours

L'n second de 720' — 180 —

Un troisième de 610' — 210 —

Un quatrième de 1000' — 300 —

le nombre n de jours exprimant l'échéance commune sera :

eC9 300 " 3170

On pourrait adopter 180 jours. [H. Sonnet.] INTÉRÊTS COMPOSÉS. — Arithmétique, LV. — I . — Une somme est dite placée i intérêts composés lorsque chaque année le capital s'augmente des intérêts produits pendant l'année précédente. La somme placée prend le nom de capital primiiif, et ce capital, augmenté de ses intérêts composés, s'appelle le C'ipital définitif. Supposons qu'on place une somme de 1100 fr. à intérêts composés, au taux do 5 pour 100. Puisque l'intérêt de 100 fr. en un an est de 5 fr. , et que le capital s'augmente de intérêts produits pendant l'année, un capital pri» mitif do 100 fr. devient au bout d'une année 105 fr;

1 fr., dans la même circonstance, deviendrait — r-

ou 1 fr. 05 ; et 1400 fr. deviendront 1400' x 1,05; Ainsi, on obtient le capital définitif au bout d'une année en multipliant le capital primitif par 1,05^ Au bout de la seconde année, la quantité 1400* X l,o.'> sera encore multipliée par 1,05, ce qui donnera liOO' X (1,05)2. Au bout de la troisième annéo on trouvera 1400' x(I,05)-'. Et, en continuant ainsi, on voit que le capital définitif au bout de ?i années sera 1400' X (l,0.ij°. On voit que, pour obtenir le caiiital définitif, il faut multiplier le capital primitif par l'unité plus te centième du taux élevé à une puissance marquée par le nombre des (innées. Plus généralement : soit a lo capital primitif et t le taux. Au bout d'un an, un capital de 100 fr. devient 100' + /," 1 franc, au bout du même temps,

devient — ' "^ ou 1' +— ^ ou 1 +r, en désignant

par r le centième du taux ; le capital a devient donc a (I + ;■). Au bout do la seconde année, ce résultat doit encore être multiplie par 1 + r, ce qui donne a (1 + r)2. An bout de trois ans on obtient a (l + >-)3. Et au bout de n années, le capital définitif A est donné par la formule :

qui revient ."i l'énoncé ci-dessus.

En appliquant les logarithmes * à cette formule, on obtient :

log A = log a + n log (1 + r)

c'est-i-dire que, pour obtenir le logarithme du capital définitif, il faut, au logarithme du capital primitif, ajouter n fois le logarithme de l'unité plus le centième du taux.

Soit par exemple :

a = 1200', n=ï3, et -4^ le taux, d'où r=0,045 on aura d"où :

log A = lo

1200'+ 13 los (1,045) = 3,0791812 + 13 X 0,0rjll63

log A = 3,3276931

d'où :

2. — A l'aide de la formule (2), dans laquelle on suppose» = 1, on forme aisément le tableau des capitaux définitifs correspondant aux taux les plus usités, et i divers nombres d'années depuis I jusqu'à 21. Pour toute autre valeur de a on n'aura qu'à multiplier les nombres de la table par la valeur a du capital définitif. Voici ce tableau :