Triangles. — Parmi les triangles, il faut distinguer

Le triangle isoscèle (fig. 3), qui a deux cotes

Le triangle équilatéril (fig. 4), qui a ses trois côtés égaux :

Lp ti'ianglo redani/le (fig droit :

POLYGONES

qui

un angle

POLYGONES

Dans le triangle rectangle le côté opposé k l'angle droit se nomme hypoténuse : c'est le plus grand des trois côtés.

Dans presque tous les traités de géométrie, on donne la dénomination de scaléne au triangle dont les trois côtés sojit inégaux ; cet adjectif, emprunté au grec et signifiant boiteux, devrait être abandonné, car on n'en fait jamais usage.

On appelle hauteur d'un triangle la perpendiculaire abaissée d'un sommet sur le côté opposé : ce côté est alors considéré comme la base du triangle. Telles sont AD perpendiculaire sur la base BC (rtg. 6), et CF perpendiculaire sur la base AB.

Dans un triangle rectangle les côtés de l'angle droit sont l'un la base et l'autre la hauteur.

Dans un triangle isoscèle, le côté inégal est habituellement pris pour base.

3. — Théobème. — La somme des ongles d'un triiin;/le est égale à deux angles droits.

Prolongeons le côté AC (fig. 7) et du point C lirons la droite CE parallèle au côté AB.

L'angle DCE est égal i l'ansle A , car ils sont correspondants par rapport aux parallèles AB et CE ; l'angle BCE est égal h l'angle B, puisqu'ils sont alternes-internes par rapport aux mêmes parallèles. Les trois angles consécutifs assemblés au point C sont donc égaux aux trois angles du triangle; or leur somme vaut deux angles droits; donc celle des trois angles du triangle vaut aussi deux angles droits.

Corollaires. — Dans un triangle, il ne peut y avoir qu'un angle droit ou qu'un angle obtus.

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémejitairos.

L'angle BCD, formé au dehors d'un triangle par un côte, et le prolongement d'un autre côté, se nomme angle extérieur du triangle; il est égal à la somme des deux angles intérieurs qui n'ont pas le même sommet que lui.

■*• ~ Thuorème.— Z)«ns un poli/gonela somme des amples est égale à autant de fois deux angles droits qu il y II de eûtes moins deux.

Dans l'hexagone ABCDEF ^fig. 8), menons du sommet A les diagonales AC, AD, AE. Elles divisent le polygone en autant de triangles qu'il y a de côtes moins deux. Or, la .somme des angles du polygone n'est autre que la somme des angles de

ces triangles ; donc elle vaut, comme cette dernière, 2 angles droits multipliés par le nombre des triangles, c'est-i-dire 2 angles droits multipliés par le nombre des côtés diminué de 2.

5. — Théoiième. — Daiu tout triangle., chaque côté est plus petit qne la somme des deux autres.

En effet, d'un sommet ;\ l'autre, la ligne droite est plus courte que la ligne brisée formée par les deux antres côtés du triangle.

De ce principe résulte celui-ci : chaque côté est plus grawl que la différence des deux autres. En effet, désignons par a, b, c les trois côtés d'un triangle ; nous avons d'abord :

Or on peut, sans altérer l'inégalité, retrancher aux deux membres une même quantité, c par exemple ; on a alors :

a — c<6 ou b>a — c.

G. — THÉonÈME.— Dans un triangle isoscèle les angles opposés aux côtés égaux sont égaux. Soit le triangle isoscèle ÀBG (fig. 9), dans lequel

les côtés AB et AC sont égaux. Imaginons un deuxième triangle, A'B'C, qui serait le premier triangle retourné, comme un feuillet rabattu de gauche à droite. Portons ce deuxième triangle sur ie premier, en appliquant le côté A'C sur le coté AB qui lui est égal. L'angle A' n'étant autre que l'angle A, le côté A'B' doit se placer sur la direction du côté AC, et comme ils sont égaux, 1 extrémité B tombe au point C ; par suite, la base C B se confond avec la baso BC. L'angle C, qui n est autre que l'angle C, coïncide avec l'angle B ; donc l'angle C est égal à l'angle B.

".— Théorème.— P.éciproquement, .si daiîs un triangle d-nx angles sont égaux, les côtés opposés à ces angles sont érjoux.

En effet, supposons qu'après avoir tiré une base BC (fig. 91, on ait construit les angles B et C égaux. Pour faire voir que le côté .^C se trouve égal au côté AB, on peut employer la même démonstration que dans le théorème précédent Seulement, on portant le deuxième triangle sur le premier, on applique la base C/B' sur la base BC, le point C en B et le point B' en G. L'angle B', qui n'est autre que l'angle B, étant égal à l'angle C, le côic B'A' se place sur la direction du côté CA et son extrémité A' tombe sur cette direction ; de même, h. cause de l'cgalité des angles C et B, le côté C'A' se place sur la direction du côié BA ,

POLYGONES

et son extrémité A' tombe sur cette direction : le | Son centre se trouve à l'iniersection des perpenpoint A', devant être ainsi à la fois sur BA et sur diculaires élevées par le milieu dn deux côtés.

CA, se trouve au point A. Ainsi, les deux triangles coïncident, et par conséquent A'B' est égal à AC, ce qui revient à dire que AB est égal à AC.

Corollaivf. — Dans un triangle équiangle, les trois côtés sont égaux.

S. — Théorème. — Daiis un triangle hoscèle la bissectrice île l'angle du sommet tombe au milieu de la base et lui est perpendiculaire.

En effet, soit le triangle isoscèle ABC (fig. 10), et

La perpendiculaire élevée au milieu du troisième côté paSîC par le point d'intersection des deux autres.

•1° On peut toujours décrire une circonférence qui soit tangente aux trois côtés d'un triangle : le cercle ainsi placé est dit inscrit au triangle.

Son centre se trouve h l'intersection des bissectrices de deux angles; la bissectrice du troisième anul" passerait par le point d'intersection des deux autres. Le rayon est la perpendiculaire abaissée de ce point sur l'un quelconque des trois côtés.

12. — Egalité de deux TniA\GLEs. — Pour reconnaître l'égalité de deux triangles, il n'est pas nécessaire de comparer les trois côtés et les trois angles de l'un avec les trois côtés et les trois angles de l'autre. Il suffit de s'assurer que trois de leurs six parties sont égales, l'une des trois au moins étant un côté. De là les trois cas d'égalité énonc^'S dans le théorème suivant.

Théorème. — Deux triangles sont égaux :

1" Lorsqu'i's ont un côté l'gal adjacent à deuv anglds respectivemenl éianx ;

2° Lorsqu'ils ont drux côtés respectivement égaux et formant entre eux un angle égal; ' 3° Lorsque leurs trois côtés sont respectivement égnur.

(Considérons les deux triangles .\BC et A'B'C (fig. 12).

AD bissectrice de l'angle BAC. Si on replie le triangle le long de la bissectrice et qu'on rabatte la partie de droite sur la partie de gauche, le côte AC prend la direction du côté AB, et comme il lui est égal le point C tombe au point D ; par suite DC coïncide avec DB ; donc le point D est le milieu de BC. De plus, on voit que l'angle ADt: coïncide avec son adjacent ADB ; ces deux angles sont donc égaux, et, puisque BDC est une ligne droite, la droite AD, formant avec elle deux angles adjacents égaux, lui est perpendiculaire.

Corollaires. — La droite menée du sommet d'un triangle isoscèle ou d'un triangle cquilatéral au milieu de la base est perpendiculaire à la base et est bissectrice de l'angle du sommet.