Théobème. — Si dans un triangle deux an- ■ n n t, n

gles sont inéqaux, le côté opposé au plus grand \ 1° Soit CB = C'B'; C = C' ; B = B . anqle est plus urand que le côté opposé au plus Portons le deuxième triangle sur le premier, en petit. '' ^ '' .ippliquant le côté C'B' sur le côte égal (.B. A cause

Soit l'angle ABC > G (fig. II). Tirons du som- de l'égalité des angles C et C, le côte C'A' se place

' snr la direction de C \ et son extrémité A se ' trouve sur celte direction ; de même à cause de ' l'égalité des angles B' et B, le côte B'A' se place ! sur la direction de BA et son extrémité A' se ' trouve sur cette direction : le point A', devant être ' à la fois sur la direction de CA et sur celle de BA, ! tombe au point A, Ainsi les deux triangles coin- 1 cident, et par conséquent ils sont égaux dans toutes I leurs parties.

2° Soit CB = C'B' ; CA = C'A' ; C = C. Fig. tl. Si l'on porte le deuxième triangle sur le premier,

en appliquant l'angle C sur l'angle C, le côte CB met B la droite BD de manière à former l'angle 1 coïncide avec le côté égal CB. et le côte C A avec

DEC égal à l'angle C. Dans le triangle BDC le côté "■ "- '- '—■'■•>■"-'• '•■■>'» * R

BD se trouve égal à DG. Or la droite AB est moindre que la ligne brisée AD -|-DB; donc elle est moindre aussi que AD + DC, c'est-i-dire que AC.

10. — Théohème. — Réciproquement, si dans un triangle diux côtés sont inégaux, l'angle opposé au plus grand côté es! plus grand que l'angle opposé nu ptus petit.

En effet soit AB < AC (fig. II). Si l'angle C n'était pas plus petit que l'angle ABC, il lui serait supérieur ou égal. S'il lui était supérieur, le côté AB serait plus grand que le côté AC ; or, il a été supposé plus petit. Si l'angle C était égal à. l'angle ABC, les deux côtés AB et AC seraient égaux; or on les a supposés inégaux. L'angle G ne pouvant être ni supérieur, ni égal à l'angle ABC, est donc nécessairement plus petit que lui. 1 . A.5r'n'

11. — Ceucleciuconscritou inscrit a un triangle, dessous du premier ABC, en appliquant le cotéCB — 1" On peut toujours décrire une circonférence , sur son égal GB, dans la position Bt'.D, et tirons passant par les trois sommets d'un triangle; le i la droite AD. Le côté CD qui n'est autre que C A cercle ainsi formé est dit circonscrit au triangle. [ est égal il CA; par suite dans le triangle iso-

le côté égal CA; par suite le troisième côte A B coïncide avec le côté AB. Ainsi les deux triangles se confondant sont égaux.

.30 Soit AC = A'C' ; AB = A'B' = CB = C'B .

Plaçons le deuxième triangle ABC (fig- 13) au-

Fig. 13.

POLYGONES

fcMo ACD, l'angle A3 est égal à l'angle D,; on voit (in la même maulère que l'angle A, est égal à l'angle D,. L'angle CDB et par suite l'angle A', est égal h l'angle CAB ; les deux triangles ACB et A'C'B', ayant ainsi un angle égal compris entre deux eûtes respectivement égaux, sont égaux.

13. — Egalité de deux triangles bectangles. — Outre ces trois cas d'égalité qui s'appliquent à deux triangles quelconques, il y a deux autres cas particuliers aux triangles rectangles : ils sont énoncés dans le tliéorème suivant.

TiiÉonÈME. — Deux triangles rectangles soiil l'gaux :

1° Quand ils ont l'hypoténuse é'jale et un autre côté égal;

2° Quand ils ont l'hypoténuse égale et tm angle aiqu égal.

■ Considérons les deux triangles rectangles ABC, A'K'C (fig. U).

1» Soit BC = B'C'; AB= A'B'.

Si on parle le deuxième triangle A'B'C sur le premier ABC en appliquant A'B' sur son égal AB, le côté A'C se place sur la direction de AC à cause des angles droits A et A'.

Les hypoténuses sont alors deux obliques égales partant du même point B de la perpendiculaire BA ; elles doivent donc avoir leurs pieds à égale distance de la perpendiculaire et par conséquent se confondre. Donc les triangles coïncident.

-."Soit BC = B'C'; C = C'.

On porte le deuxième triangle sur le premier en appliquant l'angle C sur son égal C ; alors C'A' se trouve sur la direction CA et l'hypoténuse C'B' coïncide avec son égale CB. Les deux côtés B'A' et BA sont deux perpendiculaires menées du même point B à la même droite CA ; donc elles doivent avoir la même direction; par suite le point A', devant être Ji la fois sur CA et sur BA, tombe au point A. Ainsi les deux triangles coïncident.

14. — Construction d'i'n triangle. — Des cas d'égalité exposés dans ce qui précède, il résulte que pour construire un triangle il faut connaître trois de ses six parties, l'une au moins étant un côté.

X" On connaît un colé et les deux unifies {idjaceiits. — Apres avoir tiré une droite égale au côté donné, on mène de l'une de ses extrémités une droite faisant avec elle un angle égal à l'un des deux angles donnés, et de l'autre extrémité une droite faisant avec elle un angle égal à l'autre angle. Ces droites limitées à leur rencontre déterminent le triangle demandé.

2° 071 cannait deux côtés et l'angle compris entre eux. — Après avoir construit un angle égal à l'angle donné, on prend sur les côtés de cet angle, à partir du sommet, des longueurs égales aux côtés donnés, et on joint les extrémités par une droite.

.30 On cannait les trois côtés. — Après avoir tiré une droite égale à l'un des trois côtés, on décrit de l'une de ses extrémités prise pour centre un arc, avec un rayon égal à l'un des deux autres côtés; puis de l'autre extrémité prise pour centre, avec un rayon égal au troisième côté, un autre arc qui coupe 1h premier. Il n'y a plus qu'à joindre le point d'intersection des deux arcs aux extrémités du premier côté.

H faut observer que le triangle n'est possible qu'autant que le plus grand des trois côtés donnés est plus petit que la somme des deux autres. Dans le cas contraire les deux arcs ne se couperaient pas.

Cas particulier. — On connaît deux côtes et l'angle opposé à l'un d'eux. — Soit a et i les deux côtés et A l'angle opposé au côté a (fig. 15). Après

avoir construit l'angle A, on prend sur un de ses côtés une longueur AC^i ; puis de B comme centre on décrit, avec un rayon égal h l'autre côté a, un arc qui coupe l'autre côté AE de l'angle en B' et B. En tirant les droites CB' et CB, on a deux triangles différents ACB' et ACB, qui répondent à la question.

Si le côté a qui doit être oppose à l'angle A était moindre que la perpendiculaire CD, le triangle ne serait pas possible; si ce côté a était égal S. cette perpendiculaire, le triangle rectangle ACD serait le triangle demandé.

On verra facilement que dans le cas où le côté opposé à l'angle A est plus grand que l'autre côté, le triangle est toujours possible et qu'il n'y en a qu'un. 11 en serait de même si l'angle donné, au lien d'être aigu, comme dans la construction précédente, était droit ou obtus.

15. — THÉ011È.ME. — Si deux triangles ont deux côtes respectivement égaux, comprenant entre eux un angle inégal, le 3' côté opposé au plus petit angle est /ilns petit que le 3' côté opposé au plus grand angle.

Soitdans lesdeux triangles ABC et A'B'C'(fig, IG),