B'C'<BC
ce qui démontre le théorème.
POLYGONES
POLYGONES
Réciproquement Sî deux trianqle<: ont deux côtés j coté commun AD; les angles alternes-internes Aj respectivement égaux et le 3° côté inégal, l'angle \ et D, égaux à cause du parallélisme des côtés AC opposé au plus grand côté est plus grand que ' et BD, les angles alternes-internes Aj et Dj égaux l'angle opposé au plus petit. I pour une même raison.
On le démontre, en faisant voir que d'après les L'égalité des deux triangles montre donc que théorèmes précédents l'angle opposé au plus grand AB est égal à CD et que AC est égal à BD. côté ne peut être ni inférieur ni égal à l'angle de 3° Dans le parallélogramme ABcD (lig. 20) conl'autre triangle.
Ui. — Quadrilatères. — 1° On nomme parallélogramme un quadrilalère dont les quatre côtés sont parallèles deux à deux (fig. 17). Deux côtés op-
posés sont regardés comme les bases du parallélogramme; la perpendiculaire qui mesure leur ! distance est appelée Aa^^/eio'.
On donne souvent cette figure aux planchettes qui composent les parquets.
2° On nomme rectangle un quadrilatère dont les côtés opposés sont égaux et dont les angles sont droits. Cette figure se rencontre partout: c'est celle d'une porte, d'une table à quatre côtés, d'un carreau de vitre, etc.
3" On nomme carré un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux et perpendiculaires entre eux. Tels sont les carreaux de vitre, quand leurs quatre côtés sont égaux, les carreaux en terre cuite à quatre côtés qui composent un dallage, etc.
Le rectangle et le carré, ayant leurs côtés opposés parallèles, sont aussi des parallélogrammes.
4° On nomme losange un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux, mais non perpendicucnlaires entre eux (fig. is).
On trouve souvent cette figure sur les panneaux des boiseries. Certains parquets sont composés aussi de losanges égaux.
n. — Théorème. — Dans fout parallélogramme
1° Les angles opposés sont égaux;
2° Les côtés opposéi sont égaux;
S'Les deux diagonales se coupent en leur milieu.
Soit le parallélogramme ABDC (fig. 19).
sidérons les deux triangles opposés AOB et DOC. Le côté DC est égal à AB ; les angles alternesinternes CDO et 01!A sont égaux, puisque DC et AB sont parallèles; pour une raison semblable les angles alternes-internes DCO et OAB sont aussi égaux. Les deux triangles ayant un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux sont égaux; par conséquent leurs côtés analogues DO et OB sont égaux, ainsi que les deux autres côtés analogues AO et OC.
18. — Théorème. — Réciproquement sî on construit un quadrilatère avec des côtéi opposés égaux, ces côtés se trouvent parallèles et le gtcodrilatère est un piirollélogramme.
Supposons AB = DC et AG = BD (fig. 19), et tirons la diagonale AD. Les deux triangles ADB et ADC sont égaux, comme ayant leurs trois côtés respectivement égaux; donc les angles analogues A, et D, sont égaux et par conséquent les droites AC et BD qui lés forment avec la sécante AD sont parallèles. De même les côtés AB et DC sont parallèles, à cause de l'égalité des angles Ao et D^.
Remarque. — Il résulte do ce théorème que le losange est aussi un parallélogramme.
19. — Théorème. — Si onconslruit un quadrilatère en lui donnant deux côtés opposés égaux et parallèles, les deux autres côtés le sont aussi et le quailrilalére est un parallélogramme.
Supposons AB égal et parallèle h CD dans le quadrilatère ABDC (fig. 19). Les deux triangles aDB et ADC ont un angle égal (Aj et Da) compris entre deux côtés respectivement égaux; ils se trouvent par conséquent égaux ; donc les côtés AC et BD sont aussi égaux et par suite parallèles.
20. — Remarques sur les diagonales. — Dans le carré les deux diagonales sont égales et perpendiculaires entre elles.
Dans le rectangle elles sont égales, mais obliques l'une à l'autre.
Dans le losange elles sont inégales, mais perpendiculaires entre elles.
Ces remarques sont utiles pour la construction de l'un de ces quadrilatères, îi l'aide des deux diagonales.
21. — Trapèze. — On nomme trapèzenn quadrilatère dans lequel deux côtés opposés sont parallèles (fig. 21).
1° Les angles opposés B et C, par exemple, sont égaux; car ils ont leurs côtés parallèles et dirigés en sens inverse.
2° Les deux triangles ACD et ABD, déterminés par la diagonale AD, sont égaux; car ils ont un
Les deux côtés parallèles BC et AD sont les bases; on appelle hauteur la perpendiculaire qui mesure la distance des deux parallèles.
22. — Théorème. — Dans tout trapèze la droite qui joint les milieux des deux côtés non parallè-
POLYGONES
POLYGONES
les est puraUcle aux
s et est éijate à leur demi-
somme.
Soil dans le trapèze ABCD (lîg. 2?) la droite
joignant les milieux M et G des côtes AB et DC. Tirons par le point G la droite FE parallèle à BA, jusqu'à, la rencontre de la base BG et du prolongement de l'autre base AD, ce qui forme le parallélogramme ABFE. On reconnaît facilement que les deux triangles DGE et GFG sont ogauxj comme ayant un côte égal (DG et QC) adjacent à deux angles respectivement égaux; et par suite EG est égal à GF et DE égal à FC. Les côtés AM et EG, moitiés des droites égales AB et EF, sont donc égaux, et comme en outre ils sont parallèles, la droite MG est aussi égale et parallèle à AE. On a alors :
