MG
AG-l-AO
Corollaire. — Cette démonstration subsiste quelque petite que soit la base supérieure du trapèze. Le principe est donc vrai pour le cas où cette base se réduirait à un point ; alors le trapèze est un triangle : donc la droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle à la base et en est la moitiii.
23. — Théorème de Pïtuagore. — A cet exposé des principales propriétés du triangle et du quadrilatère, nous devons joindre la relation qui existe entre les trois côtés d'un triangle rectangle, et qui est connue sous le nom de théorème de Pythagore.
Nous croyons faire plaisir aux maîtres en leur donnant ici de ce principe si important une démonstration moins tliéorique que celle qui se trouve déjà, à l'article Aire, et assez simple pour être à la portée de tous les élèves de l'école primaire.
Nous l'empruntons à Sturm, mathématicien allemand du dernier siècle.
Citons d'abord le théorème : te carré fait sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est équivalent à la somme des carrés faits sur les deux autres côtés.
Pour le démontrer plaçons deux carrés ABCD et AFGH (fig. 23) l'un à côté de l'autre, de ma-
nière que le côté AH du plus petit soit sur le prolongement du côté AB du plus grand.
Prenons liK = AU et du point K tirons les droites KG et KG, co qui détermine doux triangles rectangles BGK et KGII, dont il est facile do reconnaître l'égalité. Portons le triangle BGK audessous de la figure en appliquant le côté CB sur son égal CD; il prend alors la position CDI, le côté DI se trouvant sur le prolongement de AD. En môme temps Fi est égal à AD. Plaçons ensuite l'autre triangle KGll au-dessous du côté FG, en appliquant le côté KH sur son égal FI; il prend la position FIG, le côté GH coïncidant avec FG. La figure formée par les deux carrés est ainsi changée en un quadrilatère KCIG, dont les quatre côtés sont égaux ; en outre l'ajigle Kj est droit, puisque les angles Kg et K3 valent ensemble un angle droit. Le quadrilatère KCIG est donc un carré, et comme son côté est l'hypoténuse du triangle rectangle BKC, le théorème est démontré.
24. — De la symétrie dans les figures planes. — Soit une droite indéfinie MN (fig. 24J et un point
A. Abaissons de ce point sur M\ la perpendiculaire AK et prolongeons-la d'une quantité KA'=KA; les deux poinis A et A' occupent des positions pareilles à droite et à gauche de MN ; c'est ce qu'on exprime en disant qu'ils sont symétriques par rapport à. la droite M Si.
Ainsi deux points sont symétriques l'un de l'autre par rapport h une droite, lorsque, situés des deux cotés de cette droite, ils en sont k la môme distance et sur une môme perpendiculaire à cette droite.
Soit de môme BH et CI perpendiculaires à MN; HB' égal à HB et IC' é^al à IG. Le triangle A'B'C est symétrique du triangle ABC par l'apport à MN; le trapèze B'G'KII est symétrique du trapèze BCKH, etc. La droite MN est \'axe de symétrie.
On voit que si l'on plie le plan de la figure le long de l'axe de symétrie, la partie supérieure de la figure, retombant sur l'autre, coïncide avec elle.
La nature nous montre cette symétrie dans la structure d'une feuille, dans la disposition des organes de notre corps; nous l'imitons dans l'aspect que nous donnons à la façade d'un édifice, dans l'ornementation des panneaux d'une boiserie, etc.
Au point de vue purement géométrique, les deux diagonales sont l'une et l'autre des axes de symétrie dans le carré et le losange ; la hauteur menée entre les deux côtés égaux dans un triangle isoscèle et la droite qui joint les milieux des deux base.s dans un trapèze dont les côtés non parallèles sont égaux, sont des axes de symétrie.
25. — Construction d'un polfigone égal à un pohjgone donné. — Le moyen le plus commode et le plus exact consiste à décomposer le polygone donné en triangles par des diagonales, et à construire successivement des triangles égaux à ceux du polygone donné et dans les mômes positions.
