Polyuones SEMBLABLES,— L'idée do la simili
POLYGONES
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tude géométrique existe avec une assez grande netteté dans l'esprit des enfants. Qu'un d'entre eux s'amuse à copier en petit une image représentant, par exemple, un soldat sous les armes ; il sait très bien que s'il réduit la hauteur à la moitié, toutes les lignes de son dessin doivent être la moitié de celles auxquelles elles correspondent dans l'image. Ce n'est pas tout ; il a soin de conserver aux diverses parties de la plus petite figure les mêmes courbures, les mêmes angles que dans l'autre. Ce sont là les deux conditions nécessaires de la similitude. De là résulte la définition suivante : on appelle polygones semblables deux polygones qui ont leurs angles respectivement égaux et leurs calés ho'iiologues pronortionnels.
L'expression c^tés homologues désigne deux côtés qui se correspondent dans les deux polygones, en d'autres termes, deux côtés qui sont adjacents à deux angles respectivement égaux.
Le rapport constant qui existe entre deux côtés homologues est souvent désigné par le nom de rapport de similitude des deux polygones. Par exemple si tous les côtés du plus petit polygone étaient les | des côtés homologues du plus grand, le rapport de similitude serait |.
2". — Théorème. — Si on ■oupe un triangle par ime droit'' parallèle à un côté, le triangle partiel ainsi fo.m' est semhlable au triangle total.
En effet soit DE parallèle à BC (Hg. 25) ; les trois
angles du triangle ADE sont égaux aux trois angles du triangle ABC. De plus il a été démontré à l'article Lignes proportionnelles (p. 11C7) que les trois côtés du triangle partiel sont proportionnels aux trois côtés du triangle total ; par exemple si AD est les | de AB, AE est les | de AC et DE les I de BC. Donc les deux triangles sont semblables. , . , ,, ., ,
28. — Comtruction d un triangle semblable à un trïa'igle donné. — Soit à construire un triangle
fait par exemple A'B'= | AB et A'C = | AC ; puis on tire la droite B'C Le triangle A'B'C est semblable au triangle ABC.
En effet prenons AD = A'B' = | AB et tirons DE parallèle à BC ; le triangle ADE est semblable au trianglf ABC. Par suite le côté AE est aussi les I de AC et par conséquent égal à A'C. Les deux triangles A'B'C et ADE sont donc égaux, comme ayant un angle égal (A et A'j compris entre deux côtés respectivement égaux; donc A'B'C est, comme ADE, semblable à ABC.
3° Avec les trois côtés.
On construit le triangle A'B'C avec trois côtés qui sont par exemple les l des trois côtés du pre mier; les deux triangles sont semblables.
En effet prenons AD = A'B' = l AB et tirons DE parallèle à BC ; le triangle ADE est semblable au triangle ABC. Or AD étant les | de AB, le côté AE est aussi les | de AC et par conséquent égal à A'C ; de même DE est les | do BC et par conséquent égal à B'C. Les deux triangles A'B'C et ADE ayant ainsi leurs trois côtés respectivement égaux sont égaux; donc le triangle A'B'C est semblable, comme ADE, au triangle ABC.
De ce qui précède résultent les théorèmes suivants, qui constituent trois cas de similitude de deux triangles, tout à fait analogues aux trois cas d'égalité.
Deux triangles sont semblables :
1» Quand ils ont deux angles respectivement égaux ;
2° Qunnd ils ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement proportiomiels ;
3° Quand les trois côtés de l'un sont proportionnels aux trois côtés de l'autre.
29. Applicatio.x. — l" Supposons un terrain de forme triangulaire ABC (fig. 27), dont on voudrait connaître la surface.
semblable au triangle ABC (fig. 2C). Cette coastruc tion peut être efi'ectuée de trois manières.
1 Avec un côté et deux angles.
On tire .\'B' égal par exemple aux | du côté AB ; aux extrémités on forme l'angle A' égal à l'angle A et l'angle B' égal à l'angle B ; le triangle A'BX' ainsi obtenu est semblable au triangle ABC.
En effet prenons AD = A'B' = | AB et tirons DE parallèle à BC ; le triangle ADE est semblable au triangle ABC, d'après le théorème précédent. Or le triangle A'B'C est é^al au triangle ADE; car ils ont un côté égal (A'B' = AD) adjacent à deux angles respectivement égaux; donc A'B'C est, comme ADE, semblable à ABC.
2» Avec deux côtés et l'angle compris entre eux.
On construit l'angle A' égal à l'angle A et on
Après avoir mesuré à la cliaîne les trois cotes, on construit un triangle A'B'C semblable à celui du terrain, avec des côtés contenant par exemple autant de millimètres qu'il y a de mètres dans les côtés mesurés sur le terrain. On abaisse ensuite la hauteur AD', et le nombre de millimètres qu'elle contient indique le nombre de mètres de la hauteur correspondante AD sur le terrain, il ne reste plus qu'à multiplier entre elles les longueurs de BC et de AD et à prendre la moine du produit.
Le triangle A'B'C est dit le plan de terrain.
2» C'est par une opération semblable qu on peut trouver la longueur d'une distance BA qu il ne serait pas possible de mesurer à la chaîne, comme dans le cas où les points A et B seraient séparés par un marais, une rivière, etc.
Sur le terrain on détermine une droite BC dont on obtient la longueur à la chaîne ; à l'aide du graphomètre on mesure les angles CBA et BCA. Avec ce côté et ces deux angles on construit le triangle A'B'C semblable au triangle ABC; le cuto B A mesuré à l'échelle du plan fait connaître la distance BA. ...
30. — Similiturle de deux polygones. — L c gante des angles di deuï triangles est une conséquence de la proportionnalité des trois côtés, et réciproque-
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meut; mais il n'oii est pas de même pour les aiiires polygones. Que l'on construise, par exompln, deux poi]tagon(!S, en prenant les côtés de l'un l'gaux à la moilio des cùti-s de l'autre, et ces côtés (tant formés par dos tiges articulées autour des points où elles se joignent. On pourra allonger plus ou moins, et dans un sens quelconque, les cotés do l'un de ces pentagones; sa forme variera, sans que ses côtés cessent d'être proportionnels h ceux de l'autre pentagone : il ne sera donc pas semblable an premier.
Constnictiiiii d'un polygone semblable à un autre. — Soit à construire un polygone sembla-
qu'il y a de mètres dans CD ; du point D' on tiro la droite D'E' faisant avec D'C l'angle C'D'E' égal à l'angle CDE, et on lui donne autant de centimètres qu'il y a de mètres dans DE. 11 ne reste plus qu'.'i tirer la droite A'E'.
Si les constructions faites sur le papier sont exactes, on doit trouver dans le côté A'E' autant de centimètres qu'il y a de mètres dans AE ; l'angle D'E' A' doit êtr.' égal à l'angle DEA et l'angle B'A'E' égal à l'angle BAE.
32. — Remarque. — Les quelques exemples que nous avons cités suffisent pour montrer toute l'importance de la tliéoiie des polygones semblables. Le lever des plans n'en est que l'application aux polygones figurés par les terrains. Quant aux détails des opérations pratiques à effectuer sur le terrain lui-même, nous renvoyons nos lecteurs à l'article Lever des plans.
[G. Bovier-Lapierre.]
POLYGONICS RÉGULIEUS. — Géométrie, XV.
— 1. — Divisons une circonférence en un nombre quelconque de parties égales, en six, par exemple,
ble au polygone ABCDE (fig. 28), les côtés du deuxième devant être par exemple les | des côtés du polygone donné.
r On décompose le polygone donné en triangles par k'S di.igonales AC et AD. On construit ensuite un triangle A'B'C semblable au triangle ABC, en lui donnant des côtés égaux aux | des côtés du triangle ABC; puis sur A'C un triangle A'C'D' semblable au triangle ACD et sur A'D' un triangle A'D'E' semblable au triangle ADE.
Le polygone ainsi formé A'B'C'iyE' est semblable au polygone donné ABCDE. En effet, par suite de la similiiude des triangles AliC et A'B'C, des triangles ACD et A'C'D', des triangles ADE et A'D'E', les côtés du deuxième polygone sont tous les g des côtés homologues du premier ; en même temps les trois angles qui ont leur sommet en A' sont égaux aux trois an^-les qui ont leur sommet en A ; les deux angles qui ont leur sommet en C sont égaux aux deux angles qui ont leur sommet en C, etc. Ainsi les angles des deux pentagones sont respectivement égaux et leurs côtés homologues sont proportionnels ; donc les deux polygones sont semblables.
De là ce théorème : deux polygones composés d'un me'me noiubre de tiiangles respectivement stmlilables et seniblublejnent placés, sont semblables.
31 . — Application. — Supposons que le polygone ABCDE (fig 28) soit un champ, et qu'on ait mesuré i la chaîne les côtés et les diagonales. Si l'on a construit les triangles du deuxième polygone en remplaçant le nièire par le centimètre par exemple, le deuxième polygone sera le plan du terrain. En menant la hauteur dans chaque triangle du plan, on connaîtra les hauteurs correspondantes des triangles du terrain ; on pourra ainsi calculer la surface.
2° On peut construire le polygone semblable au pplygone donné, sans recourir aux diagonales; c'est ce qu'il faut faire, quand le polygone donné est un terrain dans l'intérieur duquel il ne serait pas facile de pénétrer.
Pour cela on mesure les côtés à la chaîne et les angles au graphomètre. Puis on construit sur le papier un angle A'B'C égal à l'angle ABC, en donnant aux deux côtés A'B' et B'C autant de centimètres, par exemple, qu'il y a de mètres dans les côtés AB et Bi; du terrain. Du point C on tire la droite CD' faisant avec C'B' un angle égal à l'angle BCD et on lui donne autant de centimètres
(fig. 1), et tirons les cordes AB, BC, etc., des six ares.
Tous les côtés de l'hexagone ainsi formé sont égaux, puisqu'ils sous-tendent des arcs égaux; tous les angles Aût;, BCD..., etc., sont aussi égaux, comme angles inscrits qui interceptent entre leurs côtés des arcs égaux (4 fois la sixième partie de la circonférence'.
Un polygone qui a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux est appelé pnlygnne régulier.
On peut imaginer la circonférence divisée en un nombre quelconque de parties égales ; il y a donc des polygones réguliers de tout nombre de côtés.
2. — L'angle d'un polygone régulier est égal à la somme de ses angles divisée par le nombre des angles, c'est-i-dire par le nombre des côtés.
Voici les valeurs de ces angles pour les principaux polygones :
Triangle équilatéral
Carré
Pentagone
Hexagone
Octogone
Décagone
Dodécagone ..,,..
a.dr. ou
lOS».
\ik\ 150».
3. — La construction du polygone régulier à l'aide de la circonférence met en évidence les propriétés suivantes.
Le Centre de la circonférence est également distant de tous les sommets du polygone régulier ainsi que de tous les côtés ; pour cette raison il est aussi appelé centre du polygone régulier.
Les droites égales menées du centre d'un pslygone régulier i tous les sommets sont appelées rayons du polygone ; elles le divisent en triangles isoscèles égaux et elles sont bissectrices des angles du polygone.
Los angles égaux formés au centre du polygone régulier par deux rayons aboutissant aux extrémités d'un même côté, sont nommés angles
