POLYGONES RÉGULIERS — 1664 — POLYGONES RÉGULIERS

au centre; la valeur de chacun est le quotient de 4 angles droits divisés par le nombre des côtés.

Les perpendiculaires menées du centre aux côtés du polygone sont égales et tombent au milieu des côtés; elles se nomment npothètnes.

Un polygone régulier étant donné, pour en trouver le centre, il faut mener les bissectrices de deux angles du polygone, ou élever des perpendiculaires aux milieux de deux côtés ou mener une de ces perpendiculaires et la bissectrice d'un angle : le point d'intersection de ces droites est le centre cherché.

On peut toujours décrire une circonférence passant par tous les sommets du polygone; elle a pour centre le centre du polygone : c'est la circonférence circouscnle, ABCD par exemple (fig- 2).

La circonférence qui aurait le même centre et un rayon égal à l'apothème est tangente à tous les côtés du polygone et en leurs milieux; elle est dite circonférence imcrtie, GHl... par exemple.

Réciproquement le polygone régulier est inscrit à la circonférence qui a pour rayon OA, et circonscrit à la circonférence qui a pour rayon son apothème.

4. — hiscrire et circ07i'!crire unpo't/gone régulier i/ans un cercle. — 1° Pour inscrire un polygone régulier dont le nombre des colés est donné, il suffit do diviser la circonférence en autant de parties égales que le polygone doit avoir de côtés et de tirer les cordes des arcs.

2° Pour circonscrire un polygone régulier, il suffit de mener par les points de division de la circonférence des tangentes (fig. 3). En se coupant

deux à deux, elles déterminent un polygone régulier, dont les côtés sont tangents à la circonférence.

En effet les triangles A'AB, B'BC, etc., sont isoscèles, puisque leurs angles à la base, formés par une corde et une tangente, ont tous pour mesure la moitié d'arcs égaux, et que leurs bases AB, BC, etc., sont toutes égales.

On pourrait aussi mener des tangentes par les milieux des arcs sous-tendus par les côtés du polygone inscrit ; le polygone circonscrit obtenu par ce moyen aurait ses côtés parallèles à ceux du polygone inscrit C'est un exercice que nous laissons au lecteur.

^.—Division de lu circonférence enparties égales. — 1° Pour diviser la circonférence en 4 parties égales, il suffit de mener deux diamètres perpen-

diculaires entre eux. Si l'on divise ensuite chacun des quatre arcs en deux parties égales, on a la circonférence divisée en 8 parties égales, puis en IG, en 32, etc. En appliquant le théorème de Pythagore à l'un des quatre triangles isoscèles dont le carré inscrit est composé (fig. 4), on trouve facilement

que le côté du carré inscrit est égal au rayon multiplié par y'j.

2° La corde qui sous-tend la sixième partie de la circonférence est égale au rayon.

En efl'et soit l'hexagone régulier inscrit ABCDEF (fig. I). Dans le triangle isoscèle ABO Tangle au centre AOB est égal à la sixième partie de quatre angles droits, c'est-à-dire à 60°. La somme des angles à la base GAB et DBA est égale h 180»— 60', c'est-à-dire à 120°, et comme ils sont égaux, chacun vaut 60°. Ainsi le triangle AOB ayant ses trois angles égaux, ses trois côtés sont égaux.

Le côté de l'hexagone régulier inscrit dans un cercle est donc égal au rayon.

La circonférence divisée en 6 parties égales se trouve par là même divisée en 3 parties égales, ce qui donne le moyen d'inscrire le triangle oquilatéral. Puis en divisant les six arcs en deux parties égales, on en aura 12, puis 24, et ainsi de suite.

3° Pour avoir la corde qui sous-tend la dixième partie de la circonférence, il f.iut diviser le rayon en deux parties telles que la plus grande soit moyenne proportionnelle entre la plus petite et le rayon entier, ou, comme on dit ordinairement,;)a)-/a3ec le rayon en moyenne et extrême raison : la corde est égale à la plus grande des deux parties.

Pour faire ce partage on construit un triangle rectangle COA (fig. 5), dont les côtés de l'angle

droit sont l'un le rayon 0,\ et l'autre OC la moitié du rayon ; de l'hypoténuse AC on retranche la moitié du rayon (CI = CO) ; le reste AI est la corde cherchée.

Si on rabat AI sur la circonférence à droite et à gauche du point A, les cordes AF et AG seront deux côtés du décagone régulier inscrit; la corde FG sera le côté du pentagone régulier.

Observation. — Nous ne jugeons pas à propos d'exposer ici la démonstration de cette question qui est en dehors du cadre de l'enseignement primaire ; nos lecteurs la trouveront dans tous les traités de géométrie classique.