POLYGONES RÉGULIERS — 1G65 — POLYGONES RÉGULIERS

G. — Construction d'un pnlygonc régulier dont le j coté est i/onné. — La construction du triangle éqnilatéral et du carré est déjà connue.

Pour l'hexagone, il sufiit do décrire une circonférence avec un rayon égal au côté donné, et de porter ensuite ce rayon six fois sur la circonférence.

Quant aux autres polygones réguliers, on ne peut pas employer la circonférence, comme pour l'hexagone; car on ne connaît pas le rayon de la circonférence qu'il faudrait décrire.

Voici deux procédés h suivre. Soit par exemple h construire un pentagone régulier dont le côté aura î ceniimèu-es.

1° Après avoir tiré une droite égale à 3<^°', on mène de ses deux extrémités deux droites de 3*" faisant avec elle, l'une à droite, l'autre à, gauche et du même côté de cette droit«, des angles de 108°. On répète la même construction aux extrémités de chacun de ces cotés et oii continue ainsi.

Ce procédé est un peu défectueux, à canse des erreurs inévitables causées par l'emploi du rapporteur dans la construction des angles.

ï° Ayant décrit une circonférence d'un rayon quelconque lA (fig. 6) on la divise par tâtonne-

ment (ce qui est plus rapide) en cinq parties égales; soit AK une de ces parties. On tire la corde AK ; on la prolonge pour lui donner une longueur AB égale au côté du polygone demandé ; du point B on tire BO parallèle à. Kl jusqu'à la rencontre du prolongement du rayon Al, et du point 0 pris pour cejitre, avec OA pour rayon, on décrit une circonférence qui passe au point B : l'arc AB est la 5" partie de la circonférence. Il ne reste plus qu'à porter AB cinq fois sur la circonférence pour avoir le pentagone.

La démonstration ne présente pas la moindre dilflculté ; il suffit de remarquer que le triangle isoscèle KIA est l'un des cinq triangles isoscèles du pentagone régulier qui serait inscrit dans le cercle lA, et que le triangle BOA est semblable au triangle KIA.

I- — Construction de l'octogone régulier, — La construction précédente s'applique à tous les polygones réguliers ; cependant il y a pour l'octogone un autre procédé d'une grande simplicité.

Soit AB (fig. 1) le côte de l'octogone à con-

struire. En son milieu on élève une perpendiculaire sur laquelle on porte IG = I\, et à la suite une longueur CO ^CA; puis du point G pris pour centre on décrit une circonférence passant par les extrémités de AB. L'arc AB est précisément la huitième partie de la circonférence; il ne reste plus qu'à porter 8 fois cotte corde AB sur la circonférence. Nous laissons au lecteur le soin de trouver la démonstration ; elle se réduit il faire voir que l'angle AOB est égal k un demi-angle droit.

8. — Construction du ilécagnne régulier. — On peut employer une construction analogue pour le décagone régulier (fig. ").

Sur AB, côté du décagone à construire, on forme un triangle éqnilatéral .\i;B; sur le prolongement de la hauteur CI, on porte CD égal à CA, et le point O est le centre de la circonférence à décrire par les extrémités A et B ; l'arc AB sera la lO» partie de la circonférence.

9. — De l'emploi des polggones réguliers. — La forme de quelques polygones réguliers est fréquemment employée pour certaines constructions, comme les bassins des jardins publics; c'est surtout dans le dallage et la parquetage qu'on les voit le plus souvent.

Il n'y a que trois espèces de polygones réguliers qui puissent servir à former un dallage composé de polygones d'une seule espèce. On peut assembler autour d'un point, de manière à couvrir exactement tout l'espace : 1° quatre carrés ; 2° six triangles équilatéraux ; 3" trois hexagones. Et en effet trois angles d'hexagones réguliers placés autour d'un point font 3 fois liO" ou 3i;u''. Les six triangles équilatéraux forment par leur ensemble un hexagone régulier.

Des octogones réguliers laisseraient entre eux quatre un vide carré.

On utilise dajis le parquetage diverses combinaisons de polygones réguliers et même de losanges pour produire dos figures variées : c'est dans les traités de dessin linéaire que nos lecteurs les trouveront.

10. — Poli/gones réguliers étoiles. — Il existe une autre espèce de polygones ayant leurs angles égaux et leurs côtés égaux; mais ces côtés s'entrecroisent et donnent au polygone une forme particulière qui les a fait appeler polygones étoiles.

Soit une circonférence (fig. 8j divisée en 5 par-

Fig. 8.

ties égales; les cordes des cinq arcs forment le pentagone régulier convexe ABCDF.

Si on joint les points de division de deux en deux, c'est-à-dire un point au deuxième après lui, par des droites, menées par exemple de A en G, de C en F, de F en B, de B en D, on finit par arriver au point de départ A, après avoir fait deui fois le tour de la circonférence. Le pentagone ACFBD \ ainsi formé est un pentagone étoile.

Par leur intersection les côtés de ce pentagone forment dans son intérieur un pentagone régulier convexe A'B'C'D'F'.

Si la circonférence est divisée en 8 parties égales