POLYGONES RÉGULIERS — ^666 — POLYGONES RÉGULIERS

on peut former un octogone régulier étoile en joignant les points de division de 3 en 3, et il n'y en a pas d'autre ; car en joignant les sommets de 2 en 2 on obtiendrait le carré inscrit.

REMiiiQUE. — 11 n'existe pas en réalité d'hexagone régulier étoile construit par le procédé (lui vient d'être indiqué. Cependant si, après avoir divisé la circonférence en 6 parties égales, on y inscrit un triangle équilatéral, puis un autre triangle équilatéral dont les sommets soient les milieux des arcs sous-tendus par les côtés du premier, on obtient un polygone régulier ayant la forme étoilée.

II. — Analoyie entre le cercle et le polygone ri-- (/ulier. — Qu'on inscrive dans un cercle des polygones réguliers dont le nombre des côtés va e:i doublant toujours (fig. 9), chaque périmètre est

Fig. 9.

plus grand que le précédent, mais il reste toujours moindre que la circonférence. La différence entre le périmètre du polygone inscrit et la circonférence va donc en diminuant indéfiniment, et on comprend qu'avec un nombre de côtés excessivement grand, cette difl'érence peut devenir plus petite que toute quantité donnée ; de là cette conséquence:

On peut regarder le cercle comme un poli/gone régulier d'un nombre infiyii de côtés infiniment petits.

12. — Théorème. — Deux circonférences sont proportionnelles à leurs rayons.

Inscrivons dans les deux circonférences O et 0' (flg. 10), deux polygones réguliers d'un même nom-

bre de côtés, cinq par exemple, et supposons que le rayon O'A' soit les ^ du rayon OA. Les triangles isoscèles O'A'B' et OAB sont semblables, comme ayant leurs angles respectivement égaux; par conséquent le côté A'B' est les | du côté AB, et le périmètre du petit polygone est aussi les | du périmètre du grand. Ainsi le rapport des périmètres des deux polygones réguliers inscrits d'un môme nombre de côtés est égal au rapport des rayons. Il en est de même quelque grand que soit le nombre des côtés des deux polygones, et par conséquent pour un nombre infiniment grand, c'est-à-dire pour deux circonférences. Le théorème est ainsi démontré.

13. — Rapport entre la circonférence et son diamètre. — Le rapport de deux circonférences, étant égal à celui des rayons, est aussi égal à celui de leurs diamètres. Soient donc c et e' deux circon-

férences, d et d' leurs diamètres ; on aura la proportion :

? = rf"

ou, en changeant les moyens de place entre eux -.

Cette dernière proportion montre que le rapport entre une circonférence et son diamètre est le même pour toutes les circonférences ; en d'autres termes ce rapport est constant.

Ce rapport est incommensurable, et dans les calculs il est désigné par la lettre grecque tc (■prononcez pi), qui est la lettre initiale du nom grec yperiphereia) de la circonférence.

Voici ce rapport avec les six premières décimales :

Tt = 3,141592.

Dans les problèmes ordinaires on prend 3,1416 ou même 3,14.