Calcul de la circonférence. — De l'égalité
-, = -:t on tire c^ a'X.n.
De là cette règle : M longueur de la circonférence fsl égale au produit du diamètre multiplié par le nomlire%.
Si on désigne le rayon par r, cette règle est ainsi exprimée :
c = 27ir.
Uéciproquement on trouve le diamètre en divisant la circonférence par le nombre w.
15. — Mesure d'un arc. — 1° Pour connaître la longueur d'un arc d'un certain nombre de degrés, on calcule d'abord la demi-circonférence en multipliant le rayon par tc ; on divise le produit par 180, ce qui donne la longueur d'un arc de 1 degré, et on multiplie le quotient par le nombre de degrés.
Si l'arc contient des degrés, des minutes et des secondes, il vaut mieux, au lieu de tout convertir en secondes, calculer la longueur de l'arc de 1 minute, celle de l'arc de 1 seconde, les multiplier par le nombre de degrés, par le nombre de minutes, par le nombre de secondes et additionner ensuite les produits.
Exemple. — Calculer la longueur d'un arr de bG'-jT pris sur une circonférenc ; dont le diamètre a 2°,i8.
Longueur de la demi-circonférence :
Longueur de 180° 3»,893G.
3,893G „„.,,,„, Longueur de 1° ' ,^,. =0,O21()3.
Longueur de 1'.
(iU
Arc de 56- 0",0'31C3x5G = 1,21128.
Arc de 3T 0'",000.3Gx37 =0,01832.
Longueur de l'arc de àC'S'i', 1",224G0.
1 6. Vetermination de ti. — Considérons un cercle d'un rayon connu, qui aurait par exemple 1 unité de longueur, et un hexagone régulier inscrit. Le périmèlre de cet hexagone étant égal à 6, la circonférence est supérieure à G. Inscrivons ensuite des polygones réguliers de 12, 2i, 48, etc., côtés ; le périmètre, toujours inférieur à la circonférence, en dilTérera de moins en moins, à mesure que le nombre des côtés devieridra de. plus en plus grand-
Pour calculer ces périmètres, il faut d abord résoudre le problème suivant :
polygonù;s réguliers — ine?
Etant dniiiés le vaijO'i d'un rerch et le côté du polygone n'mdier inscrit, trouver Le côté du polygone réij.Jier inscrit ayant un nombre de côtés doii/j/e.
Pour cela tirons le diamètre CE perpendiculaire au côté AB (fig. 11) d'un polygone régulier inacrit ;
Fig. 11.
désignons par a le côté AB, par ?• le rayon et par c le côté AC du polygone régulier inscrit ayant deux fois plus de côtes que le premier.
Dans le triangle rectangle CAE, le côté AG est moyen proportiojinel entre sa projection CD sur l'hypoténuse et l'hypoténuse; on a donc :
ou :
AC2=CEXCD
c2 = 2)-x(;'— OD).
Le triangle rectangle ODA donne ensuite :
od=Vao'-ad»,
OD
.y/.ç=iVi;7Z^
En substituant cette valeur de OD dans celle de c*, on trouve :
'2 ou :
et enfin :
