I. PnoonEssio.Ns arithmétiques

I. — On appelle prnrjression arithmétique ou par différence une suite de nombres tels, que chacun d'eux est égal au précédent augmenté dune quantité constante qu'on appelle la !Y«>o?î. Les nombres qui composent une progression s'appellent \as termes de cette progression.

On indique que des nombres sont on progres-

sion arithmétique en les séparant par un point, et en faisant précéder le premier du signe -s-. Ainsi les nombres :

forment une progression arithmétique dont la raison est i. On a, en effet,

7 = 3-1-4; il=-l + i; 15=11-^4;

et ainsi de suite.

Problème. — Connaissant le premier terme et la raison d'une progression arithmétique, trouver la valeur d'un terme de rang quelconque.

Soit n le premier terme et r la raison ; en vertu de la définition,

le 2" terme est égal à a -f- r,

le 3' — à a -t- r -h r, ou à. . . a -j- 2r, 10 4° — à a -H 2)' + r, ou à.. a-\-ir,

et ainsi de suite. Chaque terme de In progression est égal au premier augmenté d'autant de fois la raisoji qu'il y a d". termes avant lui.

Ex. — Calculer le 23" terme d'une progression dont le premier terme est 7 et dont la raison est 3. Le 23* terme en a 22 avant lui ; donc sa valeur

Trouver la valeur du ht' nombre impair. Les nombres impairs forment une progression arithmétique, dont le premier terme est 1 et dont la raison est 2 ; le 53' terme est donc :

î. — Moyens arithmétiques. — Insérer 1,2, 3,4,... moyens artilimélv/ices entre deux nombres donnés, c'est former une progression arithmétique dont les deux nombres donnés soient les termes extrêmes, et qui comprenne 1, 2, 3, 4... autres termes entre les extrêmes.

Proposons-nous, par exemple, d'insérerG moyens entre les deux nombres 5 et 19. Si la progression cherchée était écrite, le dernier terme 19 en aurait 6^-l ou 7 avant lui; il serait donc égal au premier terme 5, augmenté de 7 fois la raison. 11 résulte de là que la différence 19 — 5 des deux nombres donnés est égale à 7 fois la raison; par suite, la raison est égale h

Ce raisonnement est évidemment général et conduit à la règle suivante :

La raison de la progresHon qu'on obtient g'i insérant des moyens nrithmétique-i entre deux nombres donnés est égale à la différence de ces deux nombres divisée parle nombre des moyens à insérer plus un.

La raison étant connue, les moyens se calculent facilement en ajoutant la raison successivement au premier terme, puis au deuxième, puis au troisième, et ainsi de suite. Dans notre exemple, la progression demandée sera :

Supposons, en particulier, qu'on veuille insérer un seul moyen arithmétique entre deux nombres; la valeur de ce moyen, qu'on appelle alors la moye?ine arithmétique entre les doux nombres, est égale à leur demi-somme. En effet, si a et 6 sont les deux nombres donnés, les trois nombres

sont évidemment en progression ; donc la demi-

PROGRESSIONS

somme — - — est la moyenne arithmétique entre

les nombres a et b.

S. — Théorème. — Si l'on insère entre les termes cn7iséciiti/s d'une proyression ariltimétique, pris deux à deux, le même nomhre de moyens, on obtient vne suite de progressions partielles itont l'ensemble forme une progression unique.

Considérons la progiession arithmétique :

dont la raison est 3, et insérons 5 moyens entre les termes consécutifs pris deux à deux ; la raison de la première progression partielle sera

— [ — ) celle de la seconde sera de même : — j

celle de la troisième,

etc. Mais les dif-

férences 8 — 5, 11—8, 14 — 11, etc. sont toutes égales à la raison 3 de la progression donnée; donc les raisons des progressions partielles seront ('gales entre elles. D'autre part, le dernier terme de chacune des progressions partielles est ^.n mfrae temps le premier terme do la suivante; donc les progressions partielles, écrites à la suite l'une do l'autre, formeront une seule et même progression Ainsi, dans l'exemple que nous avons pris, les progressions partielles sont :

•î-8.8+--9.0-t---I0. in -!---• 11.

-î-11 .U-f i.l2.12-f '-IS.IS + Ih.

En les écrivant Ma suite l'une de l'autre, on formera une progression uni<iue.

4. — Somme des termes d'ine progression arithmétique. — Démontrons d'abord la propriété suivante :

Dans une progi-ession arit/imélique limitée, la somme de de"X termes également distants des exilâmes est égale à la somme des exire'mes.

Prenons, par exemple, la progression :

dont la raison est 5, et considérons d'abord le second terme 7 et lavant-dernier 32 ; le second terme 7 surpasse le premier de ô etravaiit-dernier 32 est inférieur de 6 au dernier, de sorte qu'on a :

si l'on ajoute membre à membre ces deux égalités, on trouve :

Plus généralement, considérons doux termes quelconques équidistants des extrêmes, par exemple celui qui a trois termes avant lui et celui qui en a trois après lui; ce sont ici les termes 17 et | 22. D'après la règle donnée ci-dessus pour trouver un terme de rang quelconque pris dans une progression, le terme 17 est égal au premier terme 2, plus 3 fois la raison ; on a donc :

Si nous prenons .'i part la progression formée par les quatre derniers termes, le dernier terme 37 de cette progression partiellesera égal au premier 22, plus -i fois la raison; par suite, 22 sera égal i 37, moins 3 fois la raison :

Ajoutons ces deux égalités membre à membre, et nous aurons enfin :

ce qui démontre la propriété énoncée.

5. — Proposons-nous maintenant de trouver Is somme des termes d'une progression arithmétique, par exemple, do la progression :

En désignant cette somme par S, on aura :

renversons l'ordre des termes, la somme ne changera pas et nous aurons encore :

Ajoutons maintenant ces deux égalités membre à membre, en groupant ensemble les termes qui occupent le même rang dans les seconds membres ; il viendra ainsi :

le nombre des groupes étant égal au nombre des termes de la progression. Mais les termes que nous avons groupés et compris entre parenthèses sont des termes également distants des extrêmes ; leur somme est donc égale à la somme des extrêmes, comme nous venons de le démontrer. 11 résulte, de là, que le second membre de l'égalité précédente vaut autant de fois la somme des extrêmes qu'il y a de termes dans la progression; et comme ce second membre est le double de la somme cherchée, nous arrivons enfin à la règle suivante :

La so'i-me des termes d'une pmgression arithmétique est égale à la demi-somme di.-s termes extrêmes multipliée par le nombre d-s termes.

Il arrive souvent, dans les applications, qu'on donne le premier terme, la raison et le nombre des ternies; il faut alors, pour obtenir la somme des termes, calculer d'abord le dernier terme par la règle donnée plus haut.

E.XEMP1.ES. — 1° Calculer la somme des n premiers nombres entiers.

Les termes extrêmes sont 1 et n, leur demi- ?î -+- 1 somme est — - — ; donc la somme des n premiers nombres entiers est, d'après ce qui précède :

re-H n'n-lr 1).

en d'autres termes, cette somme est égale h. la moitié du produit des nombres entiers consécutifs « et ?? 4- 1. Ainsi, la somme des 99 premiers nombres entiers est :

2° Trouver la somme des )( premiers nombres impairs.

Je calcule d'abord la valeur du n" nombre impair, c'est-à-dire du n" ternie d'une progression dont le premier terme est 1 et dont la raison est 2; en appliquant la règle connue, on trouve :

Il faut ensuite trouver la somme d'une progression de n termes, les ternies extrêmes étant 1 et 2n — 1 ; la somme des extrêmes est 1 -|- 2n — 1 ou 2/î, la demi-somme de ces extrêmes est n; donc la somme des n premiers nombres impairs est n X n ou ;.*, elle est égale au carré de n. Par

PROGRESSIONS

oxemplc, la somme dos 25 premiers nombres impairs est égale au carre de 25 ou à 1)25.

i;. — l'oiiMUi.Es. — Soit n le premier terme, d'une progression arillim6U(|ue, r la raison, l le dernier terme, n le nombre des termes et S la somme di-s termes; ces cinq quantités sont liées entre illes par les équations suivantes :

/ = a + (îî — l)r.

qui permettent de résoudre la plupart des problèmes qu'on peut se proposer sur les progressions arithmétiques.