Moyens géométriques. — Insérer
moyens qéométiiqnes entre deux nombres donnés, c'est former ujie progression géométrique dont les nombres donnés soient les termes extrêmes, et
qui comprenne 1, 2, 3, 4, autres termes entre
les extrêmes.
Proposons-nous, par exemple, d'insérer cinq moyens géométriques entre les nombres 7 et 448. Si la progression cherchée était écrite, le dernier terme kM en aurait .S -f I ou (i avant lui ; il serait donc égal au premier terme 7 multiplié par la sixième puissance de la raison. Il résulte de là
De ce raisonnement, qui est évidemment général, ou déduit la règle suivante :
La raison de la progression formée en insérant des moyens géométrique'^ entre deux nombres donnés, s'obtient en divisant le second par le premier et en extragant de ce quotient une racine dont l'i?idice est égal au nombre des moyens à insérer plus un.
La raison étant connue, les moyens géométriques se calculent en multipliant successivement le premier nombre par la raison, puis le produit obtenu par la raison, puis ce nouveau produit par la raison, et ainsi de suite. Dans notre exemple, la progression demandée est :
vi-7: 1-4:28:51;: 112:224:448.
Supposons en particulier qu'on veuille insérer un seul moyen géométrique entre deux nombres; la valeur de ce moyen, qu'on appelle alors la moyenne géométrique ou la moyenne proportionnelle entre les deux nombres, s'obtient en extrayant la racine carrée du produit de ces deux nombres. En effet, si a et b sont les deux nombres donnés, les trois nombres
forment une progression dont la raison est i/,
\ a ainsi qu'il est aisé de le vérifier.
9. — Théorème. — Si l'on insère entre les termes consécutifs d'une progression géométrique, pris lieux à deux, un même nombre de moyens, on obtient une suite de progressions partielles dont l'ensemble forme une progression unique.
Considérons la progression géométrique:
dont la raison est 3, et insérons 4 moyens entre les termes consécutifs pris deux à deux. La raison de la première progression partielle sera, d'après
la règle précédente, K -\ celle de la seconde sera
de même i /: celle de la troisième, i /, etc.
Mais les quotients --, ■ — , — ,••• sont tous égaux à -1 2 0 18 ^
la raison 3 de la progression donnée ; il en résulte que les raisons de toutes les progressions partielles seront égales entre elles; leur valeur commune est ^3. D'autre part, le dernier terme de chaque progression partielle est en même temps le premier terme de la suivante; donc toutes ces progressions partielles, écrites à la suite l'une de l'autre, forment une seule et même progression, dont la raison est y 3- Voici, pour notre exemple, toutes ces progressions partielles :
•H «: (ivJi: CV/3a: 6V3»: 0^3*: 18,
•H- 18 : 18 V» : 18 Vs' : 18 Va" : 18 V3' : 54,
on les écrivant à la suite l'une de l'autre, on obtient une progression unique.
PROGRESSIONS
PROGRESSIONS
10. — Somme des termes d'une progression géouÉTnioiiE. — Considérons d'abord une progression géométrique croissante, et désignons ses termes successifs par a, b, c,,... g, li, t, sa raison par q, et la somme des termes par S; nous aurons:
Multiplions tous les termes de cette égalité par g, et remarquons que, les nombres ", b. c,.... formant une progression géométrique dont la raison est g, on a :
aq^^zb, bq = c, hq=l;
il viendra alors :
q étant plus grand que 1 , S9 est plus grand que S ; retranchons la première égalité de la dernière, et supprimons les termes //, c, h, l, qui se détruisent; nous aurons :
Sy — S=/gr — a, ou bien
S(7 — >) = '?— a; d'où l'on tire enfin :
Iq — g 7-1'
formule qui s'énonce ainsi :
La somme des termes d'une progression géométrique croissante s'ohiient en multipliant ledemier terme par la raison et retiayichant le premier terme de ce produit, puis en divisant cette différence pnr l'excès de la raison sur l'unité.
Supposons maintenant que la progression donnée soit décroissante, c'est-à-dire que la raison q soit plus petite que I. La méthode précédente s'iipplique encore, avec cette seule difîérence qu'il faudra retrancher la valeur de Sç de celle de S; on arrivera ainsi à la formule :
■Iq
qui se traduira par la règle suivante :
La somme des termes d'une progression géométrique décroissante s'obtient en multipliant I- dernier terme par la mison et retrnnchnnt ce pro'luit dupremier terme, puis en divisant cette d'fférence par l'excès de l'nnM sur la raison.
Exemples. 1° Trouver la somme des termes de la progression :
vi 4 :!•.!: 36: 108:324 :972,
dont la raison est 3.
On a
2° Trouver la somme des puissances successives du nombre a depuis la première Jusqu'à la n", a étant > 1.
Ces puissances forment la progression géométrique croissante :
dont la raison est a; la somme S est donc : n" y^a — a a (a" — I )
a — l Sia = 2 et n = 10,
= -:;oie
r 3° Un maréchal ferrant, qui a employé 32 clous pour ferrer un cheval, demande 1 centime pour le 1" clou, 2 centimes pour le 2' clou, 4 centimes
pour le 3« clou, 8 centimes pour le 4* clou, et ainsi de suite en doublant toujours. Quel est le montant de la somme qu'il réclame?
Les nombres de centimes correspondant aux clous successifs forment une progression géométrique de 32 termes, dont le premier terme est 1 et dont la raison est 2. Le 32° terme sera donc, d'après la règle connue, 1 x2"=2'i; par suite, la valeur de la somme S sera :
2'ix2-l
ce qui donne la somme énorme de 42349672 fr.95. Cet exemple montre avec quelle rapidité croissent les termes d'une progression géométrique dont la raison est plus grande que I .
4° Trouver la somme de la progression géométrique décroissante :
^JlL. SL-JL ■ JL .jl
■■ 100 ■ 1002 ■ lOu» ■ 100* ■ 100»
La raison de cette progression est — : par suite, la somme demandée est :
uiu
■W lOU»^
-i- 47— il
1110 iou«
ou encore.
Remarquons que la progression donnée équivaut à la fraction décimale :
11. — Formules. — En désignant par a le premipr terme d'une progression géométrique, par l h', dernier terme, par n le nombre des termes, par q la raison et par S la somme des termes, on =>, les formules suivantes :
Ig — a
suivant que q est plus grand ou plus petit que 1. Ces formuhss permettent de résoudre un grand nombre de problèmes sur les progressions géométriques.
12. — Des progressions géométriqies indéfinies. — On peut toujours supposer qu'on prolonge indéfiniment une progression géométrique dont on connaît le premier terme et la raison ; ces suites indéfinies jouissent de propriétés qu'il est utile d'établir.
Théorème. — Dans une prO'/ressiu7i géométrique croissante indéfinie, la différence de 'leux termes consécutifs va toujours en croissant à mesure qu'on s'iivnnce dims la progression.
Soient a, f>, c, trois termes consécutifs de la progression, et (7 la r.iison, qui est supposée plus grande que I ; on aura, en vertu de la définition même des progressions :
b = og, c=iq;
retranchons la première égalité de la seconde ; nous aurons :
c — b=^ bq — «7 = (A — a'jq ;
PROGRESSIONS
PROGRESSIONS
ce qui niontro que la différence c — A est plus grande que la (lifTérence 4 — a, puisque la première est égale au produit du la seconde par un nombre </ plus grand que 1 ; c'est ce qu'il fallait démontrer.
On voit de plus que les différences successives des termes consécutifs forment une progression géométrique, dont la raison est q, c'est-i-dire la même que celle de la progression donnée.
Théorème. — Dans une jirogre^sion géométrique croissante imléfinie, les termes rvigmentent indéfiniment et penv-iit dépasser torde tinide.
Si la différence de deux termes consécutifs était constante, il est clair qu'en formant les termes successifs par l'addition de cette quantité constante, on pourrait arriver à un nombre aussi grand qu'on voudrait. Il en sera de même, à plus forte raison, si la quantité qu'on ajoute à un terme pour former le suivant, au lieu de rester constante, va elle-même en croissant; pr c'est ce qui a lieu dans une progression géométrique croissante, comme nous l'avons démontré dans le précédent théorème.
Corollaire. — Les puissances successives d'un nombre plus grand que 1 vont en croissant et peuvent dépos^er toute limite. Car ces puissances sont les termes d'une progression géométrique, dont le premier terme et la raison sont égaux au nombre donné, et qui, par conséquent, est crois; Bante, puisque ce nombre est plus grand que I .
13. — Thkobème. — Dam une progression gi'ométriquedécroissant e indi'finie, l- s termes successifs décroissent ind' fininient et peuvent devenir plus petits que tmile quantité donnée.
Nous rappellerons d'abord quelques propriétés connues des nombres inverses. On sait qu'on appelle inwei'se d'un nombre le quotient obtenu en divisant l'unité par ce nombre ; ainsi, l'inverse de 2 est |, l'inverse de I est :i, l'inverse de ^ est \. Il résulte de cette définition que le produit d'un Jiorabre par son inverse est égal à, l, et, par suite, que si un nombre est plus grand que I, son inverse est plus petit que I, et réciproquement. Enfin, si l'on divise l'unité par des nombres de plus en plus grands, les quotients sont de plus en plus petits et peuvent devenir aussi petits qu'on voudra ; en d'autres termes, les inverses de nombres qui croissent sans limite, décroissent eux-mômcs indéfiniment.
Cela posé, considérons une progression géométrique décroissante indéfinie ;
désignons par y la raison qui est plus petite que I. On aura les éiçalités :
O^aq, c = bq, d = cq, on en déduit :
égalités qui montrent que -1 -;, -, -,v. sont les
a h c d termes d'une progression géométrique dont la
" a' Ti' c' d ''
mais cette progression est croissante, puisque sa raison est le nombre -, qui est plus grand que 1. Donc, en vertu du théorème précédent, les ter-
mes de cette seconde progression croissent indéfiniment et peuvent dépasser toute limite ; par suite, leurs inverses, c'est-à-dire les termes de la progression donnée, décroissent indéfiniment et peuvent devenir aussi petits qu'on voudra.
14. — Limite iie la somme des termes d'u.ne progression GÉOMÉTillQUE UÉCBOISSANTE INUÉFI.ME. — Si, dans une progression géométrique décroissante indéfinie, on prend un nombie de plus en plus grand de termes et qu'on les ajoute, la somme va en augmentant; mai» el!.; reste toujours inférieure à une limite que nous allons déterminer.
Soit a le premier terme de la progression, q sa raison ; la somme S de tous les termes jusqu'à un terme quelconque l est donnée par la formule établie ci-dessus:
que l'on peut écrire :
a — lq
': lj
Si l'on prend dans la progression un nombre de plus en plus grand de termes à partir de a, le dernier terme / décroîtra indéfiniment et tendra vers zéro, ainsi que nous l'avons démontré; il en sera de même du produit de ce terme par la quantité constante , ^; par conséquent, la
somme S ira en croissant et se rapprochera autant
qu'on le voudra de En d'autres termes,
est la limite vers laquelle tend la somme S
quand le nombre des termes de la progression augmente ijidéfiniment.
Ex. : 1" Trouver la limite de la fraction décimale périodique (1,48484848
Cette expression peut se mettre sous la forme d'une progression géométrique décroissante indéfinie :
" lUO ■ lUO^ ■ lUU^ ■ lOU*
Le premier terme est — - et la raison est — — ;
donc la limite de la fraction périodique est :
lUO 48 99 4S
~ lUO
on retrouve ainsi la valeur donnée en arithmétique iV. Fractions).
2" Trouver la limite de la somme des termes do la progression géométrique décroissante :
L'application de la formule donne :
Rem. Los propriétés des progressions servent de base à la théorie des /ogarii/tmes, et à. celle des annuités et de l'amortissement (V. ces mots). [H. Dos.]
PRONOM
PRONOM
PRONOM. — Grammaire, XII. — l.e pronom est un mot qui tient la place du nom. Dans cette phrase : ■• Paul est espiègle, mais il deviendra raisonnable, » il. que l'on met à la place de Paul, est un pronom. Pronom vient du latin pronomen (qui se met à la place du nom).
Le pronom prend le genre et le nombre du nom dont il tient la place. Ex. : " Les liirondelles partent ; elles vont dans les pays cliauds. n Elles est féminin et pluriel, parce que hirondelles est du féminin et du pluriel, u Votre maison est grande, la mienne est plus petite, u la mienne est du féminin et du singulier comme le mot remplacé : ynaison.
Il y a cinq sortes de pronoms : les pronoms personnels, démonslratifs, possessifs, relatifs et iyiclé finis.
