G °" « + 3 ~ IG + U

Nous dirons donc : on peut augmenter ou diminuer chaque dénomin/iieur de son numérateur, sans détruire la proportion.

IV. Dans toute iiroporlion la somme des deux premiers termes divisée par leur différence forme un rapport égal à celui de la somme des deux derniers divisée par leur différence.

En effet, soit la proportion :

'' = Ii

D'après les deux principes précédents, on a:

ou en changeant les moyens de place entre eux :

ce qui démontre le principe énoncé.

Remarque. — Dans la plupart des traités d'arithmétique se trouvent énoncés avi^c des démonstrations particulières plusieurs autres principes, tels que les suivants :

1° On peut multiplier deur ou plusieurs proportions terme à ta me, et les produits forment encore une proportion.

2° On }>eut diviser deux profortiom terme à terme, et les quotients forment encore une proportion.

3° Si on élève au carré nu au cube tous les termes d'une proportion, In proportion existe toujours.

4° Si on extrait la racine carrée ou In racine cubique de tous les termes d'une proportion, la proporlion existe tO"jiiurs.

Ces principes n'exigent aucune démonstration, quand les proportions ont la forme de l'égalité ; car la multiplication de deux proportions terme à terme, par exemple, n'est autre chose que la mul tiplication de deux fractions égales par deux autres fractions égales, et il est évident que les produits sont égaux.

Le cas de la division seulement aurait besoin d'une petite explication, pour faire voir que la division de deux fractions terme à terme revient Ji la division de la première fraction par la deuxième.

En effet soit - et - Si on divise les numérateurs

entre eux et les dénominateurs entre eux, on a pour quotient ;

Les premiers rapports de ces deux dernières proportions étant égaux au rapport - sont égaux

entre eux. On peut donc écrire:

7 + 3 7—3 7-jr3 U+6

résultat qui démontre le principe énoncé.

V. Dans une proportion, ou dans une suite de rapports égaux, la somme des numérateurs divisée par lu somme de leurs dénominateurs forme un rapport égitt à ces rapports.

Soit la suite des rapports égaux :

Chaque numérateur étant les - do son dénominateur, ou peut écrire les égalités suivantes :

4= ex;^,

En additionnant ces égalités membre i membre, on obtient l'égalité :

2 + 4 + 8 = (3 + G-M2)Xj

Puis en divisant les deux membres de cette nouvelle égalité par le facteur (3-I-6 + I2), on trouve :

qui peut s écrire ainsi :

Or, d'après la règle de la division de deux fractions, on a :

2.3^2x9 5 ■ 9~~5X3 En écrivant ce résullat de la manière suivante : 2x9

a'xâ'

ou ce qui est la môme chose :

on voit qu'il n'est autre chose que le quotient de

la fraction ~, divisée par la fraction -.

Ainsi diviser deux fractions terme à terme, c'est-à-dire le numérateur de la première par le numérateur de la seconde, et le dénominateur de la première par le dénominateur de la seconde, revient à diviser la première fraction par la seconde. C'est ce qu'il s'agissait de démontrer.

Applications. — On peut voir à l'article Lignes proportionnelles l'emploi des proportions dans la géométrie. Nous terminerons cet article en citant seulement quelques exemples empruntés à l'arithmétique.

Problème \. — On a payé 43 francs pour 12 mètres de toile; combiin Cuùteraient 7 mitres de la même toile?

Si on désigne par x le prix inconnu des 7 mè-

PROPORTIONS

PROPRETE

très, on écrit d'abord cet énoncé en abrégé de la manière suivante :