PP' OP

En conservant les' mêmes notations que pour

les miroirs concaves (V. Réflexion), et en appelant Tc et 7i' la distance de cliaque foyer conjugué au foyer principal qui lui correspond et /" la distance focale principale, nous aurons sensiblement :

PK = P0 = 7r-|-/'; 0F, = /'; PP'=7t4-i' + 2/';

remplaçant dans l'égalité (1) les quantités qui s'y trouvent par leurs valeurs, il vient :

n+f tt+tc'+î/'

Effectuant et réduisant, on tombe précisément sur la formule de Newton, déjà donnée pour les miroirs :

La discussion de cette formule se fait simplement, comme dans le cas de» miroirs, à l'aide de la construction géométrique suivante qu'a donnée M. Lebourg (fig. Ui) : F et F' indiquant la position

du foyer principal de part et d'autre de la lentille, nous savons que OF=Or'. De ces points F et F' comme centres, avec un rayon égal à f, décrivons des circonférences. Le point lumineux est placé sur l'axe principal en S. Pour obtenir son foyer conjugué, nous menons la tangente ST; du point T, nous abaissons une perpendiculaire sur l'axe; elle tombe en s' ; nous joignons T au centre optique et nous prolongeons TO jusqu'à la rencontre de la circonférence de gauclie ; de ce point do rencontre, nous menons une perpendiculaire à l'axe, s est le foyer conjugué cliercbé. On a, en effet, dans le triangle rectangle FTS :

FT2=FSxFs'

mais Es', comme le montre la figure, égale F's; il vient par suite :

FT' = FS X F's ou

donc F's est bien égal à n' et par suite s est le foyer conjugué de S.

Passons à la discussion de la formule. Si S est à l'infini, la tangente ST est parallèle à l'axe et T se projette en F. Le foyer conjugué, dans ce cas, est F', ce que nous savions déjà. Si S s'avance snr l'axe, de l'infini jusqu'à un point situé à une distance de la lentille égale au double de la dislance focale principale, la projection s' du point de tangence marclie en sens contraire, c'est-à-dire de F à l'extrémité du rayon de la circonférence,

et par suite, le foyer conjugué s chemine de F' à l'extrémité du rayon correspondant. Quand S arrive au double de la distance focale principale, s est aussi au double de la même distance, de l'autre côté de la lentille. S continue sa marche dans le même sens ; il vient en s' par exemple. Pour avoir le foyer conjugué, je mène à l'axe la perpendiculaire s'T ; je joins T à 0 ; je prolonge, et au point do rencontre de OT avec la circonférence, je mène une tangente qui va couper l'axe. Le point d'intersection ainsi obtenu sera le foyer conjugué de s'. Arrivé en F, S a son conjugué à l'infini. Si S continue sa marche de F vers O et que pour chaque position intermédiaire on fasse la môme construction que tout à l'heure, on voit que la tangente qui donne le foyer conjugué ne rencontre plus l'axe du même côté, à gaucho de la lentille ; son prolongement seul coupe l'axe à droite ; le foyer conjugué n'est plus réel, mais virtuel.

Donc, en résumé : 1° Pour tout point lumineux situé entre l'infini et le foyer principal, le foyer conjugué est réel et situé entre le foyer principal et l'infini; 20 quand le point lumineux est au double de la distance focalo principale, son foyer conjugué est aussi au double de la distance focale principale ; .3° quand le point lumineux est situé entre le foyer principal et la lentille, son conjugué est virtuel.

De la formule de Newton tz-k'^P on déduit, si besoin est, la relation habituellement employée pour les calculs relatifs aux lentilles. Au fond, il n'y a d'autre différence entre les deux expressions

IlÉFRACTION

REFRACTION

algébriques qu'un changement d'origine, qu'une convention différente pour compter les distances qui permettent d'établir la situation relative des doux foyers conjugués. Nous avons toutefois intérêt il reproduire ici la formule ordinaire, parce que c'est en l'utilisant exclusivement qu'a été exposée la théorie des instruments d'optique. —V. Optique (Instruments d').

Désignant par p et p' les distances des foyers conjugués à. la lentille, on a évidemment :

n=p' — f; it' =/)' — /•.

Substituant dans l'expression : nn'^f^, à la place de 7t et 7i', leurs valeurs ; effectuant et divisant tous les termes par pp'f, il vient :

C'est la formule ordinaire des foyers. Seulement, dans le cas où le foyer conjugué est virtuel, // doit être compté en sens inverse du sens ordinairo, il est négatif, et la formule des lentilles convergentes, dans ce cas, devient :

Image des objets. — Nous savons trouver l'image d'un point ; aucune difficulté nouvelle ne saurait nous arrêter pour déterminer limage d'un objet qui n'est qu'un ensemble de points lumineux. Pour tous les points situés hors de l'axe principal, nous emprunterons le secours de l'axe secondaire passant par le point considéré, et dès lors les formules précédentes seront ici applicables.

Considérons successivement les différents cas : oii l'image est réelle; où ellç est virtuelle.

1" cas. — L'objet AB (fig. 11) est au delà du

double de la distance focale principale. On mène l'axe secondaire AO passant parle point A. Par le même point A, on trace une parallèle à l'axe principal ; le rayon émergent correspondant va passer au foyer principal F. Sa rencontre avec le prolongement de AO donne en a l'image de A. — Môme construction pour B. L'image a/j de AB est, d'après la construction même, renversée par rapport à 1 objet, et, en outre, réelle, nous l'avons déjà établi. Pour avoir la grandeur relative de l'image et de l'objet, il n'y a qu'à considérer les triangles semblables : A013, aOi, qui donnent :

ab ;/

ÂB~^

Mais ;/ déduit de la formule générale établie plus haut a pour valeur :

Pf P-f substituant, il vient :

ab Ali'

p est, par hypothèse, plus grand que 2/'; donc ab est plus petit que AB. Si p élait exactement égal à î /■, ail serait égal à AB. i

Donc tout objet placé au delà du double de la distance focale principale donne naissance à une image réelle, renversée et plus petite,

2' cas. — Si l'objet AB est placé entre le double de la distance focale principale et le foyer principal lui-même, la construction est la môme, le raisonnement le môme; et l'on voit que l'image est réelle, renversée et plus grande que l'objet.

3' cas. — Si l'objet AB est entre le foyer principal et la lentille, la construction et le raisonnement demeurent tout à fait semblables et l'objet AB (fig. 12) donne une image virtuelle droite et

Fig. 12.

nécessairement plus grande que l'objet. Le rapport de grandeur de l'image et l'objet devient dans f

ce cas : , et comme le numérateur est néces-

t—P sairement plus grand que le dénominateur, l'image sera toujours plus grande que l'objet. C'est là le point de départ de la théorie de la loupe.

L(;nlilles divergentes. — Nous prendrons comme type des lentilles divergentes la lentille biconcave. La marche à suivre pour son étude est exactement celle que nous avons adoptée dans la théorie des verres convergents. Le centre optique, les axes secondaires s'y présentent avec li'S mômes propriétés que précédemment. Seulement ici, le foyer principal est lui-même virtuel comme le montre la construction int'iquée (lig. 13),

Fig. 13.

où les rayons incidents parallèles à l'axe qui arrivent de la gauche de la lentille émergent en divergeant à sa droite. Ce sont les prolongements de ces derniers rayons qui vont se couper en un point F situé à gauche de la lentille. La même observation demeure vraie en ce qui concerne le foyer conjugué de tout point lumineux réel. Son foyer est toujours virtuel et du même côté de la lentille (|ue le point lumineux.

La formule -n' = f- s'applique aux lentilles di-

RÉFRACTION