RÈGLE DE TROIS -1826- REGLE DE TROIS

Deuxii'iu': ré(//e de trois simple. — Une pierre qui a I^.ÎO de largeur et (l"i,60 de hauteur et qui pèse 36-ij Icilog., a une longueur égale h 2",â()X

^— ^; quelle sera la longueur d'une autre pierre

de la môme espèce ayant a même hauteur et le

même poids, mais ayant l'",\b de largeur?

Si, au lieu de l^.aO, la pierre n'avait que 0",01 de largeur, la longueur devrait être 120 fois plus grande pour que le poids restât le même ; cette

longueur serait donc 2°,50 X ^j^ X 120. Si, au

lieu de 0°,0I, la pierre a 1°>,15 de largeur, sa longueur devra être 115 fois moindre pour que le poids ne change pas; cette longueur sera donc :

Truisième règle de trois simple. — Une pierre de I'°,15 de largeur, de 0",60 de liauteur, et qui pèse ai;45 kilog., a une longueur égale à 2'", 50 x

Ê£lii V — • quelle sera la longueur d'une autre

pierre de même largeur et de même poids, mais dont la hauteur est égale h 0",72 ?

Si, au lieu de O-n.eu, la pierre n'avait que O^.Ol de hauteur, sa longueur devrait être 60 fois plus grande, c'est-à-dire 2",50 X |j^X j^ xGO.En-

fin, si, au lieu de 0",01, la pierre a 0"',72 de hauteur, il faudra, pour que le poids ne change pas, que la longueur devienne 72 fois plus petite ; elle sera donc :

3G4Ô 120^^60 2»>ôOX5^oX-X^-

Telle est la valeur do l'inconnue. Voici maintenant le tableau de l'énoncé et des raisonnements :

Largeur.

lm,20

Hauteur.

2 ,5 11 ïïïi) .36 .15 SHO

.*i645 fO 2,50Xtt77^X— -. XGO 4140 llo 3615 120 60 •^'^«X4Ïr«>^Tr5^72 =

En simplifiant autant que possible cette valeur de l'inconnue, on trouve :

2'°.50x3G45X120X60 2°,5OX 405x24x5 ^^ 4140X115X72 ~ 400X23X0

2°>,50xSlX.ÎX5 2"',5nx81x5 10I2™,50

92X23 2JX23

àO",01 prés par défaut.

Remarque. — Heprenons la valeur de l'inconnue :

„ ,„ 3i:4S 120 60 ^ = 2'°.^0X4Î4Ô^rT5><-2'

et comparons cette valeur h l'énoncé, on remar-

quant que la longueur est directement proportionnfUe au poids et inverscm-nt proportionnelle h la largeur et à la hauteur; nous arrivons à la règle suivante, qui est d'ailleurs une conséquence de celles que nous avons établies plus haut pour les règles de trois simples :

Pour "voir l'inconnue d'une règle de trois composée, on mtiUiplie la valeur donnée de La grandeur (le même espèce que l'inconnue par /es rapports de< nouvelles valeurs aux anciennes potcr les grandeurs qui lui sont directeo.ent proportionnelles, et par les rapports des anciennes valeurs aux nouvelles pour les grondeurs inversement proportionnelles à ta grandeur inconnue.

1° Méthode des proportions. — J'établirai d'abord di'ux principes. .

1" Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, le rapport de deux valeurs quelconques de la première est égal au rapport des valeurs correspondanti'S de la seconde.

Soient A et B deux grandeurs proportionnelles, c'est-î-dire telles que," si l'on donne à la première

une valeur double, triple, quadruple de la

valeur qu'elle avait d' abord, la valeur primitive de la seconde devienne en même temps double

triple, quadruple Donnons à la grandeur A

deux valeurs successives dont le rapport soit une fraction quelconque, et supposons, par exemple, que le rapport de la seconde de ces valeurs à la première soit|; je dis que le rapport des valeurs

correspondantes de B est aussi égal à-- En effet, pour passer de la première valeur de A à la seconde, on peut concevoir qu on prenne d'abord le quart de la première valeur de A, et qu'on répète ensuite ce quart trois fois. Or, quand on rend quatre fois plus petite la valeur primitive de A, la valeur corres]>ondante de b devient aussi le quart de la valeur primitive de 13 : et si l'on triple ensuite la nouvelle valeur de A, la valeur de B devient en même temps trois fois plus grande qu'elle n'était auparavant, rinalement, pour avoir la seconde valeur de B, il faudra prendre le quart de la première et le répeter trois fois ; donc le rapport de la seconde valeur de B a la première sera |, c'est-à-dire le même que le rapport de la seconde valeur de A à la première;

'" 1^°' Lorsque deux grandeurs sotit inversement proporlionnelles, le rapport de deux valeurs quelconques de la première est inverse dn rapport des valeurs correspondantes de la seconde.

Soient A et B deux grandeurs i"ye''senifnt f»portionnclh-s, et supposons Q'i ''°,d''""e à A deux valeurs telles que le rapport de la seconde à la première soit |; je dis que le rapport des valeurs correspondantes de B est l'inverse de - , c'est-à-dire |- En effet, pour passer de la première valeur de -V à la seconde, on peut prendre d'abord [e quart de cette première va'^^F- f^ ™P«^^ ensuite trois fois ce quart. Mais, 'i^f"^;>^:"'\2''„\. tre fois plus petite la première valeur de A, la va leur correspondante de B devient quatre fois plus grande qu'elle n'était primitivement; pus quand m triple cette nouvelle valeur de A la \aleur correspondante de B devient trois fois moindre^ Donc pour avoir la seconde va eur dÇ «; " f;'"^^^J multiplier la première par 4 et diviser le produit par 3; cette seconde valeur sera donc les -delà

première ; c. q. f. d.