XXVI. — DÉFINITION UE L\ SURFACE COUBBE. — DanS

un grand nombre d'ouvrages classiques, on définit la surface en disant que c'est la limite qui sépare «H corps du reste de l'espace. Il en résulte qu'on ne pourrait pas concevoir une surface séparée d'un corps, tandis que le contraire arrive continuellement dans l'étude de la géométrie. Cette définition no paraît donc pas avoir une clarté suffisante pour un enseignement élémentaire. Aussi dironsnous de préférence : oti appelle surface une étendue considérée en longueur et en largeur, sans qu'on fasse attention à l'épaisseur, par exemple la surface d'une table, d'un mur, d une colonne.

Une feuille de papier aussi mince que possible, comme le papier mou, peut donner une idée d'une surface indépendante d'un corps, et cette représentation sera d'autant moins imparfaite que l'épaisseur du papier se trouvera plus petite.

Si cette feuille de papier est parfaitement tendue en tous sens comme dans un cadre, la surface est plane. Si elle a toute autre forme, la surface est courbe. On définit la surface plane en disant : C'est une surface telle qu'une ligne droite qui y est appliquée dans un sens quelconque a tous ses points en contact avec elle.

On appelle surface courbe toute surface qui n'est ni plane, ni composée de surfaces planas. Telle est la surface (l'un tuyau, d'une boule, d'un entonnoir, d'un caillou roulé

Il ne sera point inutile d'entrer dans quelques explications, pour que les élèves arrivent h avoir une notion juste de ce qu'on enti'nd par surface courbe. Prenant comme exemple celle d'une boule, on imagine qu'elle soit découpée en un nombre extrêmement grand de parties égales, de forme carrée pour plus de simplicité; plus ces carrés sont nombreux, plus ils tendent à avoir leur surface plane. Si l'on suppose ensuite qu'on enlève ces carrés élémentaires, et qu'on les dispose les uns à côté dos autres sur une surface plane, ils en couvriront une certaine portion qui différera d'tutant moins de la surface courbe que les carrés seront plus pi-tits. C'est celle portion de surface plane qui représentera sous une forme plus simple l'étendue de la surface courbe.

Il y a plusieurs genres de surfaces courbes; mais trois seulement entrent dans le cadre de la géométrie élémentaire. Ce sont : la surface cylindrique, la surface coiiique et la surface spliérigue.

I. Surface cylindrique. — On appelle surface cylindrique la surface engendrée par une droite indéfinie GG' (flg. i), qui se meut le long d'une

Fig. 1.

ligne courbe quelconque mn, en restant toujours parallèle à sa direction première. La droite est la génératrice de la surface, et la courbe qui lègle son mouvement est la directrice. Nous prendrons ici pour directrice une courbe plane fermée, la génératrice étant perpendiculaire à son plan. Si on regarde la courbe comme composée d'une infinité de côtés infiniment petits, la surface cylindrique se trouvera composée d'une infinité de faces planes infiniment étroites, comme la surface latérale d'un prisme droit. Or on peut imaginer que la seconde de ces faces soit rabattue sur le plan de la première, la troisième sur le plan des deux autres, de la même manière que les feuilles d'un paravent qu'on déplierait en ligne droite, et ainsi de suite. De là il résulte qu'une surface cylindri que peut être transformée sans altération en une surface plane : c'est ce qu'on exprime en disant <jU3 cette surface est dévetoppahte.

Si on prolonge indéfiniment dans les deux sens une de ces faces planes infiniment étroites, ce plan indéfini ne touclie la surface cylindrique que le long d'une génératrice : ce plan est dit tangent à la suiface cylindrique.

D'après ce qui précède, la surface cylindrique n'est autre nu'une surface prismatique ayant pour aces latérales des rectangles indéfinis en longueur, mais infiniment étroits. Par conséquent les sections faites dans une surface cylindrique par des plans p-rallèles sont des courbes égales.

Cylindre. — On appelle cylindre le volume compris eiuie une surface cylindrique et deux sections parallèles faites dans'cette surface. Ces sections sont les Ouses du cjlindre.

Quand les bases sont perpendiculaires à la génératrice, le cylindre est droit; dans ce cas 11 est circulaire, s'il a pour base un cercle; elliptique, s'il a pour base une ellipse.

La surface cylindrique circulaire se montre dans la voûte des tunnels de chemins de fer ou des aqueducs souterrains; la surface cylindrique elliptique est celle des ponts à voûte surbaissée.

Cylindre circulaire droit. — Dans la géométrie élémentaire on étudie particulièrement la cylindre circulaire droit. C'est de celui-là qu'il est question, quand on le nomme simplement cylindre, sans autre dénomination particulière.

On peut en donner la définition suivante : le cylindre est un volume emiendré par la révolution d'un rectangle ABCD lourna^d ai't'Ur de l'un rie ses côtés AB qui reste fixe i,\. la fig. 1 de l'article Corps ronds, p. âl'î).

Le côté fixe est Vaxe ou la hauteur du cylindre ; le côté CD, qui lui est parallèle, décrit la surface courbe ou suiface latérale du cylindre ; les côtés égaux BC et AD, perpendiculaires à l'axe, décrivent les cercles qui sont les bases du cylindre.

Le cylindre peut être assimilé à un prisme régulier dont les faces latérales seraient des rectangles infiniment nombreux et infiniment étroits. C'est ce que montre la figure 2. Si on imagine

qu'on double indéfiniment le nombre des côtés du prisme régulier inscrit dans le cylindre qui a pour base le cercle ABCDEF, le prisme difl"ère d'autant moins du cylindre que le nombre de ses faces latérales devient plus grand.

Si on fend le cylindre le long d'une génératrice A' A ifig. 2), et qu'on développe sa surface latérale, elle se transforme en un rectangle d'une hauteur égale à celle du cylindre et ayant pour base une droite égale à la circonférence rectifiée du cylindre.

Réciproquement on peut former un cylindre en enroulant un rectangle de manière à amener deux côtés opposés l'un sur l'autre, de manière que les deux autres côtés forment des cercles égaux.

Resiarque. — Les trois points de vue sous lesquels nous venons d'envisager le cylindre circulaire droit serapportent à trois modes de construction usités dans les arts. Le potier pratique le premier pour modeler un cylindre creux en terre; le charpentier opère d'après le second, pour transformer en un rouleau une pièce de bois prismatique ; c'est d'après le troisième que le boisselier et le ferblantier fabriquent des vases cylindriques en bois, en tôle ou en fer-blanc.

Les mesures efl'ectives de capacité ont reçu la forme cylindrique, qui est plus commode que la forme cubi'que. Les mesures en bois pour les grains, le charbon, etc., ont une profondeur égale à leur diamètre; celles qui sont en étain et servent à la mesure du vin, de l'alcool, etc., ont une profondeur double de leur diamètre; enfin celles qui sont destinées à la mesure du lait et de l'huile sont en fer-blanc et ont une profondeur égale à leur diamètre.

MESunE ni! i.\ surface latéualk du cylindhe. — Pour cuniiailre ii surface latérale d'un ci/nnrlre, il suffit de multiplier sa hauteur par la circonférence lie sn hase.

On vient do voir en effet que cette surface n'est autre que celle d'un rectangle do môme liautenr que le cylindre et dont la base est le développement rectiligno de la circonférence.

Si donc on désigne par A etila hauteur et le rayon d'un cylindre, sa surface latérale S sera exprimée par la formule suivante :

S = 2uï-X/i.

Pour avoir la surface totale, il n'y a qu'à ajouter h la surface latérale le double de la surface du cercle de base.

SlMfLlTUDE DE DEUX CYLINDRES. — Malgré ICUr

ressemblance de forme, deux cylindres ne sont pas toujours semblables au point de vue de la géométrie. On appelle c/lindres semhlablrs deux cylindres dont les hauteurs S07>t proportionnelles aux r^njoiis des bases.

Tels sont, par exemple, deux cylindres dans lesquels la hauteur et le rayon de l'un seraient triples de la hauteur et du rayon de l'autre, ou deux cylindres dont les hauteurs seraient doubles de leurs diamètres.

Le ra/ip'irt 'les surfaces latérales de deux cylindres semblables est égal au cirré du rapport des haut-icrs nu au carré du rapport des rayons.

En effet soit S et S' les surfaces latérales de deux cylindres dont les hauteurs sont h et h' et les rayons r et )•'. On a pour leurs surfaces :

S =2Tt!- Xh, S' = 27tr'X/''-

En divisant ces deux égalités membre h membre, afin d'avoir le rapport des surfaces, on obtient :

Crie rapport des rayons-, étant égal au rap-

port des hauteurs -,, on peut écrire :

ce qui est précisément l'énoncé du théorème.

Remarque. — Le rapport des surfaces totales de deux cylindres (y compris celles des deux bases) est aussi le même que pour les surfaces latérales.

En effet, supposons que le rayon de l'un soit - du rayon de l'autre, la surface latérale du

plus petit sera - de la surface latérale du plus

grand. Or la surface du cercle du premier est

aussi - de la surface du cercle du second. Le rapport

surfaces latérales.

Sections places d'un cylindre. — 1° Toute section faite dans un cylindre par un plan perpendiculaire à l'axe est un cercle égal au cercle de base.

2° La section faite par un plan oblique à l'axe est une ellipse (fig. 3). Nous nous bornons h énoncer ce tait, sans en donner la démonstration j nous

indiquerons seulement un moyen facile de réaliser cette section. Il suflit do mettre de l'eau

dans un verre b, boire cylindrique. Dans la position ordinaire du verre, la surface de l'eau est une section plane perpendiculaire à l'axe du verre, c'est un cercle. Si on incline le verre avec la main, le plan de la surface présente une ellipse plus ou moins allongée.

Intersection de deux cylindres. — Quoique celte question appartienne spécialement ù la géométrie descriptive, nous en dirons quelques mots à cause do ses fréquentes applications dans les arts.

Deux cuUndres de me'me rnt/on dont les axes se rencoidrent se coupent suivant une ellipse.

C'est ce qui se produit à la rencontre de deux

tuyaux, assemblés comme dans les figures 3<, [S et 6.

La rencontre de deux surfaces cylindriques se montre aussi dans les voûtes de divers édifices tels que plusieurs cathédrales, ou certains arcsde-triomphe.

II. Surface conique. — On appelle surface conique la surface engendrée par une droite indéfiuie SG (fig. 7), qui se meut sur une courbe

Fig. 7.

quelconque, en passant constamment par un point fixe S.

Si on regarde la courbe directrice comme composée d'un nombre infiniment grand de cùtés infiniment petits, la surface conique se trouvera composée d'une infinité de faces angulaires infiniment étroites, comme la surface latérale d'une pyramide. Or si on imagine que la seconde de ces faces soit rabattue sur le plan de la première, la troisième sur le plan des deux autres, et ainsi de suite, on voit que la surface conique est aussi développable, comme la surface cylindrique.

Si l'on prolonge indéfiniment le plan d'une de ces faces infiniment étroites, le plan ainsi obtenu est dit plan tntgenl à la surface conique. Il la touclie le long dune génératrice.

CôxE. — On nomme cône le volume compris entre la surface conique et la section faite dans cette surface par un plan fig 8 et :i;.

Kig. s cl 9.

CÔNE cinct-LAinE onoiT. — Un cône qui a pour base un cercle et dont le sommet se trouve sur la droite perpendiculaire à la base en son centre est un COUP lirciilnive droit . C'est ce cône qu'on étudie dan*, la géométrie élémentaire; il est désigné seulement par le nom de cône. On peut en donner la définition suivante : le cône est un volume engendré par la révolution d'un triangle rectangle tournant autour de l'un des côtés de l'angle droit.

Le côté fixe AB {V. la fig. î de l'article Corps ronds, p. 5r,') est Vaxe ou la hauteur du cône ; le côté BC, qui lui est perpendiculaire, décrit le cercle de base ; l'bypoténusc AC décrit la surface latérale ou surface courbe. L'Iiypoténuse, qui est la génératrice de cette surface, est aussi appelée iipothème du cône.

Le cône peut être assimilé à une pyramide régulière, qui aurait pour base un polygone régulier, d'une infinité de côtés infiniment petits et dont les faces latérales seraient des triangles isoscèles égaux, infiniment étroits à leur base. C'est ce que montre la figure 10, si l'on suppose qu'on augmente indéfiniment le nombre des côtés de la base de la pyramide régulière inscrite dans le cône SAD.

Si on fend la surface du cône le long d'une génératrice SA. elle se développe suivant un secteur circulaire SAUA (fig. II , dont le rayon est

Fig. 10.

égal à l'apothème du cône et dont l'arc est égal

Fig. U.

en longueur à la circonférence de la base du cône.

Mesure de la surface latérale du cône. — La surface latérale d'un cône est égale nu demiproduit de son apothème par la circonférence de sa base.

Cela résulte de la mesure de la surface du secteur circulaire dans lequel se transfonne la surface latérale du cône dans son développement.

Cette mesure peut se déduire aussi de celle de la surface latérale d'une pyramide régulière.

Similitude de deux cônes. — On nomme cônes semblables deux cônes dont /es hauteurs sont proportionnelles aux rayons des bases.

Les triangles rectangles générateurs des deux cônes semblables sont eux-mômes semblables. Il résulte de lîi que deux cônes semblables peuvent s'emboîter exactement l'un sur l'autre par leur sommet; leurs surfaces latérales coïncident et la circonférence de base du plus petit se trouve alors parallèle à la circonférence de base du second. Tels sont les deux cônes ADE et ABC de la figure 2 de l'article Corps rowls.

Le rapport des surfaces latérales de deux cônes semblables est égal au oirrc du rapport de leurs rayons, ou au carré du rapport de leurs hauteurs.

En effet, soit S et S' les surfaces de deux cônes semblables dont les apothèmes sont a et a', les hauteurs h et h' et les rayons des bases r et »•'.

On a pour leurs surfaces latérales :

S =TtrXa.

S' = Ty xo'.

En divisant les deux égalités membre à membre, on obtient :

Or, le rapport -, étant égal au rapport j-, et au

rapport -,i on peut écrire ;

SURFACES COURBES

ce qui est l'énoncé du théorème.

Tronc ue cône. — Toute section faite dans un cône par un plan perpendiculaire h l'axe est un cercle. Si la section est à égale distance du sommet et de la base, la circonférence de la section est égale à la moitié de la circonférence de la base, et la surface de la section n'est que le quart de celle de la base.

On nomme tronc de cône eu cône tronqué la portion de cône comprise entre sa base et une section parallèle à cette base. Telle est la portion do cône comprise entre le cercle BC et le cercle parallèle DE.

En considérant les figures Ifl et II,, on reconnaît facilement que la surface latérale d'un cône tronqué se développe en un trapèze circulaire compris entre deux arcs concentriques A'D'A' et ADA égaux aux circonférences des bases du cône tronqué, et limité h droite et à gauche par deux droites égales à l'apothème du cône tronqué.

Mesure de la surface latérale ou cô.ne tron- CUÉ. — La surface latérale d'un cône tronqué est égale au produit df son apothème par la demisumme des circonférences des bases.

En effet, si on mène dans le secleur circulaire SADA (fig. 11) un grand nombre de raj'ons, tels SA, SG, SD, etc., le trapèze circulaire A'AUAA', qui est le développement de la surface latérale du cône tronqué, se trouve décomposé en un grand nombre de trapèzes circulaires ayant tous pour hauteur l'apolliènie du cône tronqué et dont les bases sont des arcs qui tendent à se confondre avec leurs cordes, à mesure qu'ils deviennent plus petits. Or, la surface de chacun de ces trapèzes élémentaires serait égale à l'apothème multiplié par la demi-somme des deux bases ; donc la surface de la somme de tous ces trapèzes sera égale au produit de lapotlième multiplié par la demisomme des bases, c'est-'i-dire par la demi-somme des circonférnnces des hases du cône tronqué.

La forme du cùno tronqué se présente plus souvent que celle du cône lui-même ; c'est celle d'un abat-jour de lampe, d'un seau, d'une cuve dont le fond n'a pas le même diamètre que l'ouverture.

Nous alloiis montrer comment on peut le construire, quand l'apothème est donné ainsi que les diamètres des bases.

Construction du cône tronqdé. — Supposons que le diamètre d de la plus grande base ait 48 centimètres, le diamètre rf' de la plus petite 32, et l'apothème 40.

La question revient Ji construire le développement A'ADAA' (fig. 11) de la surface latérale du cône tronqué, et pour cela, il faut calculer le rayon SA et le nombre de degrés de l'angle du secteur ASA.

Or, on a d'abord les égalités suivantes :

arc A A =7trf, ^ SA arc A A arc A'A' = ':td', ^ SA'"~ arc A'A''

On en tire la proportion :

SA rf SA' ~ (/' De cette proportion on déduit :

SA >l SA d

SA-SA'~c<-d' "" kk'~ d-d'

Avec cotte dernière proportion on obtient :