SA = AA'X

On trouve ainsi SA = 120 centimètres; SA' = 130 — 40 = 80 centimètres.

Cherchons maintenant le nombre de degrés de l'angle du sectenr.

La circonférence ayant pour rayon SA serait égale à SirX l"-!0; elle contient 3(50°,

Un arc de 1 centimètre aurait --•

2iix 120 L'arc ADA est égal ;i7rx48.

Le nombre de degrés qu'il contient est donc :

27tX 120

Sections planes du cône. — Nous avons déj^ vu que la section du cône par un plan perpendiculaire i l'axe est un cercle. Lorsque le plan sécant est oblique à l'axe, la courbe d'intersection varie, suivant l'inclination du plan sécant par rapport à l'axe.

Considérons un cône se prolongeant indéfiniment des deux côtés du sommet, et formant ainsi un double cône dont les deux parties sont nommées nappes.

Si le plan sécant traverse l'une des deux nap-

[ pes seulement, la courbe est une ellipse.

Si le plan sécant est parallèle à une génératrice, il ne coupe qu'une nappe et la courbe est

! une parabole.

1 Si le plan sécant coupe les deux nappes h la fois, la courbe se compose de deux branches qui s'ouvrent indéfiniment : c'est une hi/perbvle.

\ C'est pour cette raison que l'ellipse, la para-

j bole et l'hyperbole sont appelées sections coni-

! ques (V. Courbes iisicelles, Ellipse, Parabole). III. Surface sphérique. — La surface sptiérique est la surface engendrée par la révolution d'une demi-circonférence tournant autour du diamètre

j qui reste fixe.

I Le volume limité par cette surface est appelé sphère. On emploie habituellement le mot sphère pour désigner la surface sphérique elle-même. Nous renvoyons à l'article Corps ronds pour les définitions de certaines lignes qui se rapportent à la sphère. On trouvera au môme article la démonstration dn théorème suivant : Toule section faite dans une sphère pur un plan est un cercle. On appelle pôles d'un cei-Clc de la sphère les extrémités du diamètre de la splièro qui est perpendiculaire au plan du ce cercle. Par exemple, le diamètre VV (fig. Iv) étant perpendiculaire au cercle EG et au cercle AD. les points P et P' sont les pôles de ces deux cercles parallèles.

Le cercle qui passe par le centre de la sphère est le plus grand; pour cette raison on le nomme grand cercle. 11 divise la sphère en deux parties égales.

Deux grands cercles se coupent en deux parties égales; leur droite d'intersection est un diamètre de la sphère.

Le grand cercle jouit d'une autre propriété importante, c'est que d'un point à un nuire sur la sp/iére l'arc de grand cercle est le plus court chemin.

Le pôle d'un cercle est également distant de tous les. points de la circonférence de ce cercle ; cette propricto permet de décrire un cercle sur la spiière. On place la pointe du compas au pôle P; puis avec une ouverture quelconque on décrit au moyen de l'autre pointe une circonférence AD ou une circonférence EG, au^si facilement que sur un plan. Seulement on se sort dans ce cas pour plus de commodité d'un compas dont les deux brandies sont recourbées.

C'est surtout dans la construction des globes terrestres que se fait l'application la plus intéressante du tracé des cercles sur la surface d'une sphère. Pour efTi'Ctuer cette construction, il faut d'abord savoir trouver le rayon.

DÉTERMINEn LE RAYON d'uNE SPHF.RE DONNÉE. —

On place, en un point quelconque P pris pour pôle (fig. 1.3), la pointe d'un compas, et on décrit

Fig. 13 et 14.

avec une ouverture arbitraire un cercle ABD. Sur sa circonférence on marque trois points A, B, D ; on prend leurs distances à l'aide du corn pas, et avec ces trois distances on construit sur une feuille de papiT le triangle abd (fig. 14). On circonscrit à ce triangle une circonférence qui est précisément égale à la circonférence ABD tracée sur la sphère. On connaît ainsi le r.iyon AC de ce cercle, c'est-^-dire l'un des côtés de l'angle droit du triangle rectangle ACP. Sur uc et au point e ou mène une perpendiculaire, et du point " pris pour centre on décrit avec le rayon égal à la distance polaire PA un arc qui coupe la perpendiculaire au point p. On tire la droite ap; on mène np' perpendiculaire à ap, et la droite pu, hypoténuse du triangle rectangle pop', est le diamètre de la sphère.

En décrivant ensuite sur pp' pris pour diamètre paep', on a la circonférence d'un grand cercle de la sphère.

DÉCRIKE SUR LA SPHÈnE UNE CIRCONFÉRENCE DE

GRAND CERCLE. — Ou prend une ouverture de compas égale i la corde i e (fig. 14) qui sous-tend le quart de la circonférence d'un grand cercle, puis posant la pointo du compas au point P choisi comme pôle (fig. 1','), on décrit la circojiférence EFG. Le plan de cette circonférence passerait par le centre de la sphère.

Trouver sur une sphère le point où aboutit le

DIAMÈTRE partant d'uN POINT DONNÉ. — Soit P

(fig. 12) le point qui est diamétralement opposé au point donné. On décrit du point P pris pour pôle, comme on vient de l'indiquer, un grand cercle EFG; puis en conservant la même ouverture de compas égale à la corde EP, qui sous-tend le quart de la circonférence du grand cercle, on décrit de deux points quelconques E et F do cette circonférence deux arcs qui se coupent : le point d'intersection P' est le point cherché. Les points P et P' sont les pôles du grand cercle EFG. Construction des cercles d'un globe terrestre.

— Ce qui précède indique suffisamment comment on peut tracer sur la surface d'une sphère les méridiens, l'équateur et les parallèles, pour en faire un globe terrestre. Après avoir trouvé le diamètre de la sphère, on prend sur sa surface un point P pour pôle (fig. 12; ; de ce point on décrit le grand cercle liFG qui sera l'équateur ; puis on construit l'autre pôle P'. On divise cette circonférence en quatre parties égales, au|moyen de l'ouverture de compas qui a servi à U défrire; puis chacun des quatre arcs en 'JO parties égales : l'équateur est ainsi partagé en degrés. En plaçant successivement la pointe du compas sur les divers points de division, on décrit avec une ouverture égale à la distance PE des cercles qui se croisent tous aux pôles P et P' ; ce sont les méridiens, l'our tracer les parallèles on divise le quart de méridien PE en 90 degrés ; puis en posant la pointe du compas au pôle P on décrit des cercles avec des ouvertures de compas égales à la distance du pôle P à chacun des points de division do l'arc PAE. On répète les mêmes constructions avec le pôle P' de l'autre côlé de l'équateur EFG.

l\emaique. — L'axe l'P' étant perpendiculaire à l'équateur EFG, il est bon d'observer que les divers méridiens menés par cet axe sont tous perpendiculaires au plan de l'équateur. Par conséquent, l'angle de deux demi-méridiens est mesuré par l'arc d'équatcur qu'ils interceptent entre eux.

Mesure he la surface sphérique. — La circonférence étant la ligne avec laquelle tend à sa confondre le périmèire d'un polygone régulier inscrit, à mesure que le nombre dos côtés augmente indéfiniment, et la surface sphérique étant engendrée par la révolution d'une demi-circonférence tournant autour de son diamètre, on arrivera à la mesure de la surface sphérique en cherchant à évaluer la surface engendrée par la révolution d'une portion du périmètre d'un polygone régulier inscrit dans un cercle.

Soit donc ABC.DFG (fig. la) un demi-polygone régulier inscrit dans un cercle qui a 0 pour centre et O.A pour rayon, et supposons que la figure tourne autour du diamètre AG.

Fig. 13.

Menons les apothèmes OK,OI,OM... etc., et abaissons sur l'axe AG les perpendiculaires KK', BB', ir, etc.

l" Le côté AB décrit la surface latérale d'un cône qui a pour mesure le produit de son apothème multiplié par la demi-circonférence de sa base. Or la droite KK' étant égale à la moitié de BB', la circonférence qui aurait pour rayon KK', c'est-à-dire 2it X KK', est égale à la moitié de la

circonfércnci! de la base dont le rayon est BB'. On a donc :

surf. AB = 2Tr.KR'x AB.

Chorclions pour cette suifare une expression qui soit indépendante des côtés du polygone inscrit. Les doux triangles rectangles ABB' et OKK' sont semblables, comme ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires; leurs côtés homologues sont donc proportionnels et donnent la proportion :

AB AB'

On en déduit :

UK KK'

KK'XAB = OKXAB'.

En remplaçant dans l'expression de la surface que décrit AB le produit KK'xAB par le produit égal OKx AB', on obtient :

surf. AB = 27t X OK X AB'. , Ce résultat signifie que la surface engendrée par le côté AB est égale à la circnnférence inscrite dans le polyno/ie régulier multipliée par la projection de ce coté sur l'axe.

Ce résultat s'applique à tout autre côté. En effet la surface engendrée par le côté BC est la surface latérale d'un cône tronqué, qui est égale au produit de son apothème BC par la demisomme des circonférences qui ont pour rayon CC et BB'. Mais dans le trapèze BCC'B' la droiie H' est égale à la demi-somme des deux bases CD' et BB'; la demi-somme dos circonférences des bases est donc égale à la circonférence qui aurait II' pour rayon. On a par conséquent :

surf. BC= -Jn X H' X BC.

Abaissons BH perpendiculaire sur CC Les triangles rectangles Bl.H et OU', ayant leurs côtés respectivement perpendiculaires, sont semblables et donnent la proportion :

On en déduit :

irxBC = OlxBH irxBC = OlXB'C'.

On a donc :

surf. BC = 27i: X 01 X B'C.

Ainsi la surface engendrée par une portion du périmètre d'un polygone régulier inscrit dans im cercle, tournant autour d'un aie mené dans son plan par son centre et par un sommet, est égale au produit de la circonférence inscrite dans ce cercle multiplié par la projection de celte portion du périméire sur l'nxe.

Il en sera toiljours ainsi, quel que soit le nombre des côtés du polygone régulier inscrit, et par conséquent quand on supposera que ce nombre est intiniment grand. A ce moment le périmètre du polygone régulier inscrit et la circonférence inscrite dans ce polygone se confondent avec la première circonférence, et la surface engendrée par le périmètre du polygone régulier se confond avec la surface sphérique qui a pour diamètre AG.

De là résulte le théorème suivant : la surface de la sphère ev< égale ou produit de In circonférence d'un grand cercle multipliée par son diamètre.

Cette surface peut être exprimée plus simplement. En effet, soit r le rayon ; la circonférence d'un grand cercle est i-nr, et on a :

surf. sph. =27trx2c = 47iï''.

Ainsi la surface d'une sphère est égale au quadruple (le la surface d'un cercle qui aurait le même rayon.

Rkmadoie. — Le rapport des surfaces de deux sphères est égiil au carré du rapport de leurt rayons.

En effet soit r et )•' les rayons des deux sphères dont les surfaces sont S et S'. On aura :

par suite :

S = 47r. 2 S' = 4jt/2

4Tti-' r2 471-'" — r'i -

Exemple. — Si les rayons de deux sphères sont

l'un - de l'autre, la surface la plus petite sera -

de celle de la plus grande.

Par exemple le rayon de la lune est les — de

celui de la terre ; la surface de la lune n'est par

conséquent que les— q- de celle delà terre.

Surface de la zone. — On appelle Z'ne une portion de surface sphérique comprise entre deux plans parallèles. Telle est la zone comprise entra

Fig. 16.

les cercles parallèles AA' et BB' (fig. 16). Ces cercles sont les bases de la zone.

La portion de surface sphérique BMB' située au-dessus du cercle BB' et qui a la forme d'una calotte, est aussi appelée zone.

Une zone peut èire regardée comme engendrés par un arc BCD tournant autour du diamètra AG (fig. 15). D'après ce qui a été expliqué précédemment, on voit que la surface d'one zone est égide au produit de la circonférence d'un grand cercle de la sphère multipliée par la liatiteur de la zone.

La même règle s'applique à la surface de la calotte sphérique.

Remarque. — Les surfaces de deux zones d'une même spUère sont proportionnelles à leurs hauteurs, pnisque chacune est égale au produit de la circonférence d'un grand cercle multipliée par la hauteur.

Par conséquent, pour diviser la surface de la sphère en zones équivalentes, il suflit de diviser un diamètre en parties égales et de mener par le» points de division des cercles perpendiculaires à ce diamètre.

Zones terrestres. — La surface de la terre est divisée en cinq zones :

La zone torride, comprise entre les deux cercles nommés tropiques, parallèles à l'équateur, dont ils sont séparés par une distance de 23°2T ';.

Les deux zones glaciales, comprises entre la pôle et le cercle polaire, qui en est distant da 2:j"2T!,.

Les deux zones tompérées, comprises dans

SURFACES COURBES — 2108

chaque hémisphère, entre le tropique et le cercle polaire, qui sont séparés par une distance de 43",5'.

A l'aide de la trigonométrie, on peut calculer les hauteurs de ces zones par rapport au diamètre de la terre et par suite l'étendue de leur surface par rapport à la surface totale de la terre. On trouve les résultats suivants :

Zone torride, 0,40.

Chaque zone tempérée, 0,26;

Chaque zone glaciale, 0,04;

Plan tangent a la sphère. — On a vu que l'intersection de la sphère par un plan est un cercle. Soit donc PP' (fig. 1"2) le diamètre perpendiculaire au plan sécant. Lorsque ce plan s'éloigne du centre 0, le cercle d'intersection diminue indéfiniment, et il se réduit au point P quand le plan passe par l'extrémité P du diamètre. Le plan est alors dit plan tangent à la sphère. Il n'a qu'un point commun avec la surface spliérique.

Intersection de deo\ sphères. — La ligne d'intersection des surfaces de deux sphères est uue