PX

P désignant le poids total du corps.

Soit de même t'a la vitesse initiale de l'un des points matériels, la somme des puissances vives initiales sera :

et l'on aura

Comme ^ est la hauteur de chute qui donnerait

au corps la vitesse v, l'énoncé précédent est démontré. On peut dire aussi que le second membre est égal à la moitié de la masse totale du système multipliée par la différence des carrés des ■vitesses extrêmes.

Proposition II. — Si un système de points matériels e^t animé d'un mouvemeyit de rotntion autour d'un axe fixe, la somme des travaux des forces extérieures équivaut à la différetice des carrés des vitesses angulaires extrêmes multipliée par h moment d'inei lie du corps. Un appelle moment dinertœ la somme des produits obtenus en multipliant la masse de chaque point matériel par le carré de sa distance à l axe de rotation.

Démonstration. — Soit encore p, p', p"..., les poids des points matériels, leurs masses m, m',

m" seront".

soit de plus wo et M les vitesses angulaires extrêmes ; en désignant par r la distance du point considéré à l'axe de rotation nous aurons :

V = oir, et l'expression de la puissance vivo de ce point deviendra :

i'J 2 la somme des puissances vives finales du système sera donc :

- miah-^ 4- 2 m'œ^r'^ -[-. . ■

ou, en mettant^ ufi en facteur commun,

- ma- [mri + m'r'^ -f m"r"- +.■■]

La quantité entre parenthèses, qui est la somme des produits obtenus en multipliant la masse

de chaque point par le carré de sa distance l'axe, s'appelle moment d'inertie du corps; si on la désigne par I, on a pour la somme des puissances vives finales :

loo^xl.

On aurait de même pour la somme des puissances vives initiales :

et par suite l'équation du travail se réduit à :

La détermination du moment d'inertie d'un corps défini géométriquement est une question de calcul qui n'offre pas de grandes difficultés; on trouve les moments d'inertie d'une tige, d'un triangle, d'un rectangle, d'nn cercle, d'une couronne circulaire, d'un parallélipipède, d'un cône, d'une sphère, dans les aide-méiuoire do mécanique pratique.

Proposition III. — Lorsqu'un système de points matériels se meut sous la seule action de lu pesanteur, la variation de la somme des puissances vives des différents points est égale au poids du corps multiplié par la hauteur verticale dont le centre de gravité s'est abaissé.

Démonsltalion. — Soit Ao, A'o, A"u... les posi-

tions initiales des points considérés; //o, A'o, /l'Vleurs distances initiales :\ un plan horizontal de comparaison MN ; soit de plus A, A', A '....leurs positions finales, et/-, h', /."... leurs distances finales au même plan JIN; désignons par p,p,p .... leurs noids par Go et G les positions extrêmes du centré de gravité, et par Ho et H la distance initiale et la distance finale de ce centre de gravite au plan horizontal de comparaison MN ; soit enfin P le poiJs total du système.

D'après ce qui a été vu ci-dessus, les travaux de la peslinteur sur les différents points matériels ont pouf expressions :

p{h-ho), p'(h'-h'), p "{h"-h"),...

et leur somme, ou le travail total de la pesanteur,

Z={P>'+P'J''+P"'i' + ---\ — (pAo -!-;■/' 0 -f- y/' o-t-.--)

Mais la première somme est, en vertu du théorème des moments,

ph +p'h' -\-p"h" + . .

et la seconde est:

jj/io -t- p''t'o -\-p"l^"ô 4- • On a donc en substituant: