PH
.. = PHu
5=P(U-Ho)=y'
Consi'(jiiences. — 1° Si le contre de gravitd s'abaisse, la somme dos puissances vives augmente.
2° Si le contre do gravitù s'élève, la somme dos puissances vives diminue.
3° Si lo centre de gravité revient il la même hauteur, la somme des puissances vives a repris sa première valeur.
V, Applications de l'équation du travail au mouvement uniforme d'un corps solide. — Cllorclions les rel.itiiHis qui doivent exister entre les forces appli(iuées à un corps solide anime d'un mouvement uniforme de translation reciiligne ou bien d'un mouvement de rotation autour d'un axe; ce sont les mouvements dont sont animées presque toujours les pièces des macliines.
Proposition I. — Lorsqu'un cor/)s solvh est animé d'un hiouvument de Irahslntion recti/igne et uniforiw, la .\0)n»ie a/i/cljrii/ue des composantes des foires extérieures- parallèlement à la direction du moupcinent est nulle d'elle-même.
Démonstration. — Puisiiue chaque point matériel a une vitesse constante, la somm'e totale des ptlissances vives a une valeur constante pendant toute la durée du mouvement; sa variation est donc nulle, et par conséquent la somme des travaux des forces extérieures sera également nulle pendant toute la durée du mouvement.
Décomposons chacune des forces appliquées au corps en deux autres, l'une X, ayant la direction du mouvement roctiligne dont le corps est animé; l'autre N, perpendiculaire à la première : le travail do chacune des forces N est juil, et il ne restera plus h considérer que la somme des travaux des forces X pendant le temps t que l'on considère. Soit V lu vitesse du mouvement de translation, vt sera le déplacement de chacun dos points d'application des forces X, et la somme de leurs travaux sera :
or cette somme doit être nulle, on doit donc avoir:
Pnopo5iTiON II. — Lorsqu'un corps solide est animé d'un mouvement de rotntion uniforme autour d'un axe fixe, la somme algébrique îles moments des forces extérieures par rapport à cet axe est nulle d'elle-même.
Démonstration. — Chaque point matériel du système ayant une vitesse constante, la variation de la somme des puissances vives est nulle; l'équation du travail montre immédiatement que la somme des travaux des forces extérieures doit être nulle d'elle-même. Mais nous avons vu que cette somme des travaux effectués en une seconde est égale à la vitesse angulaire de rotation multipliée par la somme algébriciue des moments des forces par rapport i l'axe ; nous devons donc avoir:
Mox(F)-1-MoT(F')-t-...=0.
Remarque importante. — On voit par ce qui précède que les conditions d'équilibre des forces qui sollicitent un corps animé d'un mouvement uniforme sont les mêmes que celles d'un système de forces qui, agissant sur un corps, le tiennent en repos. — On devait le prévoir. En effet les forces agissent sur un corps en mouvement comme si le corps était en repos; c'est un principe expérimental qui sert de base i la mécanique. Il en résulte que si un système de forces est en équilibre sur un corps en repos, elles se feront encore équilibre sur ce corps solide animé d'un mouvement quelconque ; elles n'altéreront donc pas le mouvement primitivement imprimé au corps. La réciproque est vraie : lorsqu'un système de forces appliquées à un corps en mouvement n'altère pas ce mouvement, c'est qu'il est incapable de produire lui- ■
môme un mouvement; si donc on l'applique à un corps en repos, il ne pourra le faire mouvoir; ces forces tiendront donc en {quilibre le corps solide.
(Iai.ci;!. be la variatio.n iie vitesse dans le mouvement ijnifoiiméme.nt vahié.
PiioPosiTioiv I. — L'accélération dans le mouvement de translation reclilii/7ie uniformément varié d'un corps solide sollicité par des forces, a pour valeur l'accélération g due à la peianteur iiiulti/iHiJe par le rapport entre la somme des composantes de tintes les forces extérieures dans la d'ireclion du inouverwnt et le poids total du corps.
Démonstration. — Nous avons vu que, dans le cas d'un mouvement de translation, la variation de la sommo des puissances vives est :
et que la somme des travaux des forces F est égale au chemin e décrit par un point du système multiplie par la somme des projections des forces sur la direction du déplacement, ce qui revient à écrire :
(2) Ss(F') = (X + X' + X"-l-...)?.
Or, le mouvement étant uniformément accéléré, on a:
v=Co -ftu/, par suite :
1)2— vl=2v^wt 4- «;2/2, ou :
v^ — v^ = Zuj{Vo l-{-l wl"-);
mais l'on a :
e = Vo < + - ivi-;
le second membre de (1) se réduit donc à:
et l'on a l'équation :
(X-l-X'+X" + ...ie=:
PnorosiTioN II. — Lorsqu'un corps solide qui tourne autour d'un axe fixe est animé d un mouvement uniformément varié, la variation de vitesse angulaire a pour valeur la somme des moments dfS forces extérieures par rapport à cet axe, divisée pnr le moment d'inertie du corps par rapport au même axe.
Démonstration.— Nous avons vu (§ IV, proposition n) que l'équation du travail se réduit dans ce casa:
(I) 2g(F)=l I (<o2-o.^; et § II, proposition ii, que :
(•2) Sî(F)=s.i:Mox(F),
s étant l'arc décrit dans le temps t à partir de la position initiale par un point situé à un mètre de distance de l'axe. NoUs allons transformer le second membre de l'éiiuation (1), puis, écrivant qu'il est égal au second membre de (2), nous aurons la relation cherchée.
Soit y l'accélération angulaire, nous avons-
et par conséquent :
0,2— uù = 2y. w. i-J->' (»,
ou, menant Ij en facteur :
Mais il est bien clair que
S = Oit + -jt'-,
l'équation (1) peut donc s'écrire:
SS(F) = I.J.^, et l'équation du travail fournit la relation :
