I.;.s=s. IiMm(F

On en déduit:

SM fF)

VI. Principe de la transmission du travail dans ies maciiines. — Si l'on considère les macliines au point de vue du travail qu'elles effectuent, on peut dire qu'(«i'' mac/une est un si/stème maturiel renfermant un ou plusieurs points fixes et destini; à transmettre le travail des forces.

Définitions. — Parmi les forces qui agissent sur une machine, on distingue : V les forces motrices, qui tendent à augmenter la viiesse de leurs points d'application ; elles sont dirigées dans le sens du mouvement, ou bien font un angle aigu avec la direction de ce mouvement ; 2° les forces résistantes, qui tendent i diminuer la vitesse de leur point d'application ; elles sont directement opposées au mouvement, ou bien font un angle aigu avec sa direction.

Ainsi lorsqu'une force Q fait monter un corps le long d'un plan incliné, elle agit comme force motrice, tandis que le poids P du corps est la résistance. Le frottement qui se développe au contact des deux surfaces doit aussi compter comme force résistante.

On voit par cet exemple que les forces résistantes sont de deux sortes : 1° les résistances utiles, celles qu'on a pour but de vaincre ; 2° les résistances passives, telles que le frottement, la résistance de l'air ou de l'eau.

Le travail de la force motrice, ou la somme des travaux des forces motrices, est appelé travail moteur; dans le calcul on le considère comme positif.

Le travail de la résistance ou la somme des travaux des résistances est appelé travail résistant ; dans le calcul on le regarde comme négatif. Le travail résistant se compose du travail utile et du travail des résistances passives.

Principe de la transmission du travail. — Lorsque le mouvement d'une machine est uniforme, le travail moteur t'dal effectué pendant un certain temps est égal au travail résistant total correspondant au même intervalle de temps.

Ce principe est une conséquence de l'équation du travail ; soit j m le travail total des forces motrices, Z' '« travail résistant, tu le travail utile, £/ le travail des résistances passives, on a :

ô"i = £'* ^^ S" "i Sr Ainsi lo travail moteur est toujours plus grand que le travail utile, et l'on a :

Définilion. — 0?i appelle rendement d'une machine le rapport du travail utile au travail moteur; le rendement d'une machine surpasse rarement (1,80, et il est presque toujours inférieur à cette limite.

Ce qu'on gagne en force 07i le ; erd en vitesse. Maigre cette perte de travail qu'entraîne toujours l'usage des machines les plus parfaites, les mi-

cliines n'en sont pas moins utiles, parfois même indispensables.

Considérons une machine qui n'utiliserait que

les r du travail moteur ; soit Q la résistance à

vaincre, e le chemin décrit par son point d'application, on aura :

Comme l'on peut faire varier à volonté l'un des deux facteurs Q et e, on voit qu'avec cette machine on pourra surmonter une résistance considérable en faisant décrire à son point d'application un chemin très petit; ou bien, inversement, faire parcourir au point d'application d'une résistance très faible un cliemin très long. Ainsi dans le treuil des carriers, sur le petit cylindre la corde s'enroule très lentement, mais elle sert à élever un poids considérable ; avec un palan équipé il six brins, il passe 6 mètres de corde entre les mains des hommes de la manœuvre tandis que le poids ne monte que de 1 mètre; mais une force de traction de 100 ■■" fait monter un poids de 600 '«.

Le problème du mouvement perpétuel est impossible. — Il s'agit en effet de trouver une machine qui, une fois mise en mouvement, puisse toujours fonctionner en produisant une certaine quantité de travail utile supérieure au travail moteur nécessaire pour la mise en train ; en d'autres termes, il faut trouver un appareil qui soit lui-même un moteur et puisse se passer de la puissance motrice de l'homme, d'une chuted'eau, du vent ou de la vapeur.

D'après ce qui précède, un pareil problème est impossible, puisqu'une machine n'augmente pas la quantité de travail fournie par le moteur; loin de là, elle la diminue, puisque les résistances passives que son mouvement développe nécessairement en absorbent une partie très notable.

Ainsi, l'on ne peut créer de toutes pièces de la force motrice, et l'on doit se contenter d'utiliser le mieux possible le travail des moteurs en évitant les chocs, les changements brusques de vitesse, et en cherchant h. diminuer les pertes de travail dues aux résistances passives.

Les cliocs sunt une perte de travail, il faut les éviter dans les mnctiines. — En effet, remarquons d'abord que si l'on tend un ressort d'une élasticité parfaite, ce ressort restitue, en reprenant sa forme primitive, tout le travail moteur employé d'abord pour le fléchir ; mais s'il ne revient pas à son état primitif, une portion du travail moteur n'est pas restituée et sert seulement i opérer la déformation permanente du ressort.

D'autre part, les chocs ou secousses développent des pressions considérables et produisent, par suite, des déformations permanentes; il faut donc les éviter et employer pour les pièces des machines des corps h la fois raides et élastiques. C'est, du reste, ce que l'on fait toujours: la plupart des outils sont en acier trempé ; ils ont une forme et des dimensions telles qu'ils s'émoussent ou fléchissent très peu sous l'action des résistances qu'ils ont h vaincre. Non seulement des outils en fer doux, en cuivre, en plomb, travailleraient fort mal et exigeraient de fréquentes réparations, mais ils consommeraient en pure perte beaucoup de travail mécanique.

La notion du travail dans les machines nous a permis d'exposer assez simplement quelques-uns des principes fondamentaux de la dgnamir/ue; cet exposé forme le complément nécessaire du résumé de statique inséré k l'article Mécanique. Le général Poncelet eut, le premier, l'idée de présenter la dynamique de cette manière pour la rendre plus accessible aux constructeurs et aux personnes

TRIGONOMETRIE

dont les connaissances malhdmatiquos ne sont pas Iros l'iiMulues. [E. Uurat.]

TIlKMlîLEMEINT DIÎ TERRE. — V. Vo/cans.

TKIAiNGLE.,— V. Polygones.

TRKiOA'OMÉTRIE. — ï. Objet de la trigonométrie. - La gcométrie apprend comment on peut construire un triangle au moyen de trois de .ses six olcments, pourvu que parmi ces trois cléments il y ait au moins un côté. Considérons par exemple un terrain triangulaire que nous désignerons par A'13'C'. Après avoir mesuré à la chaîne le cùté li'C et au grapliomètre les angles B' et C adjacents h C't côté, on tire sur le papier une droite ISG (fig. 1) contenant autant de millimètres qu'on a trouve de mètres dans B'C; on fait à ses extrémités Ji l'aide du rapporteur les angles B et G égaux à ceux du terrain : on obtient ainsi un triangle ABC qui est semblable h. celui du terrain. (V. l'article Polygonea semlt/nOtei, p. ICG'J.) A l'aide de ce triangle, on peut connaître les longueurs des deux côtés A'B' et A'C ; car elles contiennent autant de mètres qu'il y a de millimètres dans AB et dans AC. De môme en menant la hauteur du sommet A sur la base BC, on connaîtrait la hauteur correspondante sur le terrain, et en multipliant cette hauteur par la moitié de la base, on obtiendrait la surface du terrain. Malheureusement ces constructions ne sauraient être aussi exactes que faciles à tracer, soit Ji cause des erreurs inévitables commises avec l'emploi de la règle et surtout du rapporteur, soit h cause des variations qu'éprouve l'étendue du papier sous l'influence de l'iiumidité do l'air.

On a donc cherché h déterminer par le calcul algébrique les trois autres parties du triangle; c'est ce qu'on appelle résoudre un triangle. Tel est l'objet de la Trigonométrie.

La résolution d'un triangle dépend des relations qui existent entre les angles et les côtés qui leur sont opposés. On sait bien que dans tout triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle ; mais si un angle A est double, triple d'un autre angle B, le côté opposé à l'angle A n'est pas double, triple du côté opposé à l'angle B. C'est ce que montre clairement le triangle isoscèle rectangle ABC (fig. 1), où l'angle droit A est double de chacun des angles égaux B et C, et où le côté BC, moindre que AB -|- AC, est par suite moindre que '2BA.

Ainsi, le rapport de deux côtés d'un triangle n'est point égal au rapport des angles qui leur sont opposés. La relation qui existe entre les côtés et les angles d'un triangle ne pont donc pas s'exprimer directement; on y est parvenu par l'intermédiaire de certaines lignes qui dépendent des angles et qui, pour cette raison, portent le nom de lignes trigonométriques.

2. De la métliode suivie dans cet article. — Nous nous proposons ici de suivre le chemin qui conduira

Fig. 1.

le plus directement et le plus simplement possible à l'objet spécial de la trigonométrie, en ayant soin de montrer à chaque pas les applications utiles, pour ôter à cette étude l'aridité qu'on lui reproche, et en laissant à l'écart tout ce qui n'est pas indispensable pour atteindre notre but, afin de décharger cette étude d'une multitude de formules qui l'encombrent.

Il est inulilo de répéter ici ce qui a été enseigné dans la gcométrie sur la mesure de l'angle au moyen de l'arc intercepté entre ses côtés et décrit d'un rayon quelconque avec son sommet pour centre. Nous dirons seulement que nous emploierons indifféremment arc pour angle, et qu'en outre nous nous bornerons aux angles des triangles, c'est-ii-diro aux angles qui ne dépassent pas deux angles droits.

^. Lignes trigonométriques. — Dans un cercle décrit d'un rayon quelconque (fig. 2), tirons deux

diamètres rectangulaires AA' et BB' ; i. partir du point A prenons l'arc AM ; puis menons de M la droite MP et en A la droite AT perpendiculaires toutes deux sur O A, et tirons le rayon OM prolongé jusqu'à sa rencontre avec AT.

La perpendiculaire MP est le siwis de l'angle AOM ou de l'arc AM; la droite AT en est la tangente, et la droite OT la sécante.

Mais l'arc n»i indique la mesure de l'angle AOM aussi bien que l'arc AM, et si on fait les mêmes constructions que pour l'arc AM, la perpendiculaire mp sera aussi le sinus de l'angle AO.M, la droite at sera la tangente et ol la sécante. On voit par \k que pour déterminer les trois lignes trigonométriques de l'angle, il faudrait en môme temps indiquer le rayon qui a servi à décrire l'arc. Cela cependant n'est point nécessaire.

En effet, les deux triangles rectangles semblables Oinp et OMP donnent la proportion : mp Om mp MP MP""ÔM °" Ôwi~C)M"

Cette proportion montre que le rapport entre le sinus mp de l'arc am et son rayon 0»i est égal au rapport entre le sinus MP de l'arc AM et son rayon OM. Par exemple, si mp était les 0," du rayon Om, MP serait aussi les 0,7 du rayon OM.

Il on est de même pour le rapport entre la tangente et le rayon, pour le rapport entre la sécante et le rayon. Le nombre qui exprime la grandeur de chacune de ces trois lignes trigonométriques par rapport au rayon, gui est ainsi prix pour unité, reste constant pour un môme angle quel que soit le layon.

De \h. la définition suivante des trois lignes trigonométriques :

1° Le SINUS d'un angle ou d'un arc est le nombre qui exprime le rapport e.xistant entre ht perpendiculaire abaissée d'une extrémité de i'urc sur le rayon mené à l'autre extrémité et la longueur du rayon ;

2° La TANGENTE d'wi angle ou d'un arc est le nombre qui exprime le rapport existant entre la portion de tangente menée depuis l'origine de l'arc Jusqu'à sa rencontre avec le prolongement du rayon qui passe par l'autre extrémité et la longueur du rayon ;

3" La sÉcANTii d'un angle ou d'un arc est le

TRIGONOMETRIE

nombre gui exprime le rapport existant entre In' droite me'v'e itu centre par la seeomle extrémité de l'arc jusqu'à la rencontre de. la tangente et la longueur du nnjon.

Ôbseiivation. — Il importe de bien retenir que le rayon est tout S fait indéterminé, et que les nombres qui indiquent les valeurs du sinus, de la tangente et de la sécante sont des nombres abstraits et n'expriment jamais des unités concrètes de longueur. Quand on dit, par exemple,

quG le sinus d'un angle x est égal à -i cela signifie que sa longueur est 3 fois le quart de la longueur du rayon, quel que soit ce rayon.

Nous désignerons par les abréviations suivantes les trois lignes trigonométriques d'un angle ou arc X :

sin x; tg x ; séc x.

Nous avons maintenant h étudier les variations de grandeur de ces lignes, quand l'angle varie depuis lio jusqu'à 18u°.

4. Sinus. — 1° Remarquons d'abord que le sinus d'un arc est égal à la moit'é di- la corde qui sous-tend un arc (double. En cfTct, si l'on prolonge au-dessous de OA (fig. 3) la perpendiculaire MP, qui est le sinus de l'arc AH, on voit que la

[Fig. 3.

corde MN, double du sinus, sous-tend l'arc MAN, double de l'arc AM.

C'est cette propriété qui a donné naissance au mot sinus ; ce nom est une abréviation (s. ins.) du terme latin semi-iiiscripia, qui signifie demi-corde inscrite dans le cercle.

2° A partir du point A, qui sera toujours l'or!gine de nos arcs, considérons un arc d'abord trf^s petit. Il est facile de voir que son sinus est lui-même très petit, qu'il va en grandissant à mesure que l'arc augmente et qu'enfin le sinus est égal au rayon OB, lorsque l'arc est devenu égal à 90°.

Si l'arc augmente au-delii de 90°, le sinus diminue, en passant par les mêmes valeurs qu'il avait prises de 0° à 90"; enfin, quand l'arc est devenu l'arc ABA' égal à 18o", son sinus se réduit h un point.

Nous écrirons donc :

sin 0° = 0; sin 90° = ) ; sin 1S0°

3° Sinus de deux arcs suppLF.MENTAinEs. — Supposons la corde MM' parallèle à AA', les arcs AM et ABM' sont supplémentaires ; leurs sinus MP et M'M' sont égaux ; ils sont représentés tous deux par OQ.

Donc deux arcs supplémentaires ont les mém's sinu^t.

Si on désigne par a un arc moindre que 90», l'arc supplémentaire sera iSU^-a et on aura :

sin (180° — a) = sin a.

Nota. — La figure 3, qui représente toutes les lignes trigonométriques, est appelée cercle trigonométrique. Il importe qu'on la grave dans sa mémoire, telle qu'elle est tracée ici.

4" VaLEIKS des sinus de Cl'ELOrES ANGLES. —

A l'aide ilu principe cité au commencement de ce paragrapbe, il est facile de connaître les sinus des angles de 30", 00° et 4.S" ; car ils sont les moitiés des cordes qui sous-tendentles arcs doubles, c'està-dire les arcs de (;0°, 120° et 90°.

On sait par la géométrie (V. l'article Polygones réguliers) qu'en prenant le rayon pour unité, on a :

corde 00° = 1; corde 120" = V^; corde 90" = Vi-

Il en résulte donc :

sin 30" = ^; sinC0° = iv'^; sin4;)° = .y\/2.

Par exemple, en extrayant la racine carrée de 2,

on trouve : - \'2 = 0,707 ; le sinus de 45° est

donc égal à 707 fois la 1000» partie du rayon, quel que soit le rayon.

6. Tangente. — 1" Il suffit de regarder le cercle trigonomclrii|ue (fig. 3) pour voir que si l'arc est très petit, sa tangente est très petite, qu'elle grandit à mesure que l'arc augmente, et enfin que pour un arc AB égal à 9u", le point de rencontre de la tangente et de la sécante se trouve à une distance infiniment grande, puisque ces deux droites sont devenues parallèles.

Si l'arc AM a 45°, le triangle rectangle AOT est isoscèle ; car l'angle AOT et l'angle ATO sont chacun égaux à 45°, et le côté AT est égal au côté AO; la tangente est donc égale au rayon.

On peut donc écrire :

tg0°= 0; tg 45"= 1; tg90" = =î.

2° Faisons grandir l'arc au delà de 90° et soit par exemple l'arc ABU'. La droiie menée par le centre O et la deuxième extrémité M' de l'arc rencontre la tangente menée par l'origine A au-dessous de ce point; la tangente de l'arc ABM' est donc AT'. Mais il est indispensable d'indiquer qu'elle a une position directement contraire à celle qu'avait la tangente pour un arc moindre que 90°. On indique cette opposition de direction en donnant le signe -f- à la tangente qui se trouve au-dessus du point A et le signe — à la tangente qui se trouve au dessous.

Ainsi la tangente d'un angle aigu est positive; la tangente d'un angle obtus est négative.

A mesure que l'arc grandit au delà de 90°, sa tangente diminue en valeur absolue, et à 18(1° elle se réduit à zéro. A 90" la tangente est tout à la fois égale à -1- ce et à — co.

,3° En considérant les deux arcs supplémentaires AM et ABM', il est facile de voir par l'égalité des triangles rectangles OAT et OAT' que leurs tangentes AT et .\T' sont égales et ne diffèrent que par les signes. Ainsi deur. arcs suppkmeni aires ont des tangentes égales, mais de signes contraires.

C'est ce qu'on écrit ainsi ;

tg (180 — «) = — tga.

C. Sécante. — 1° Si un arc commençant à l'origine A est infiniment petit, sa sécante est le rayon 0.\. A mesure que l'arc grandit, la sécante augmente, et enfin pour un arc AB égal à 90° la sécante est infir.io comme la tangente. On a donc :

séc 0° = 1 ; séc;)0" = co.

Pour un arc AM do 45°, les deux côtés AO et AT du triangle AOT sont égaux au rayon. On a donc :