TROUBADOURS

50. Surface du triangle. — La trigonom(?trie fournit des rornuiU^s très utiles pour lo calcul de la surface d'un triangle.

1° Lu siir/iii-c </'uii trinng/e est égale an demiproduit (/(' </fii.i: côtés multiplié par le sinus de Cunijli: compris entre eux.

Fig. 12.

Pour le démontrer, tirons la hauteur AD {fig. 12) dans le triangle ABC, et soit S sa surface. On aura :

^; CC><AD n X AD

Mais le triangle rectangle ADC donne :

AD = ACsinC = AsinC.

On a donc, en substituant cette valeur à AD : ab sin C

2° Ln surface d'un triangle est égale au carré d'un côté multiplié par le produit des sinus des deux angles adjacents à ce côté et divisé par le double du sinus de l'angle opposé.

En efl'et, on a :

« b ,, . , n sin B

- — r = -■ — s ) d ou b= —

sni A «ni B sin A ■

Si on porte cette valeur à la place do b dans la formule ^;iOi, on trouve :

a- sin B sin C

2sin A

3° Exi'ression de la surface en fonction des trois ci'ilés.

De l'égalité (30) il faut éliminer l'angle C. Or d'après la formule (18) on a, en regardant l'angle C comme le double de - :

sin C = 2sin - cos - 2 2

Les formules (27) et (28) donnent aussi :

5in-=t /(P-a)(p ^ V ^

En multipliant ces deux égalités membre à membre et en doublant le produit, on obtient :

,.c = .^Ui,zIlliE^ V/-

sin ou :

at>

^'" ^ "^ÏÏZ-V;^ (P - o) (p - A) (2' - c)

En remplaçant sin C par cette valeur dans l'égalité (30) et en simplifiant, on trouve :

^ ^ Vp (P - a) {p — b)(p — c) ('^2)

Remarque. — Si dans un quadrilatère on mène les deux diagonales et qu'on les mesure ainsi que 1 angle qu'elles font entre elles, le quadrilatère se trouve décomposé en quatre triangles. Si on évalue les surfaces de ces triangles, d'après la

formule (30), en prenant l'angle des deux diagonales, on trouve par l'addition des triangles que la surface du quadrilatère est égale an d-miprodnU des dn(.T, diagonales multiplié par le ùnus de l'angle qu'elles font entre elles.

21. C'est surtout dans la mesure des hauteurs et des distances entre dos points inaccessibles que les formules trigonométriques fournissent les applications les plus importantes. Nous n'avons pas de place pour en parler ici; nos lecteurs trouveront ces questions exposées avec les détails suffisants dans tous les traités de trigonométrie.

Nous sommes arrivé au terme que nous nous étions fixé; nous serions heureux si dans ce modeste travail nous avions roussi à mettre les calculs trigonométriques à la portée de tous les instituteurs. [G. Bovier-Lapierre.]

TROUBADOURS. — Littérature française, II. — La langue provençale ou langue d'oc fut la première parmi les langues romanes qui fut cultivée et eut une littérature. Née vers le x« siècle, cette littérature brilla un moment d'un vif éclat; ses poètes, les troubadours, servirent de modèles aux Italiens et aux Espagnols, aux trouvères de la France du Nord et aux minnosinger de l'Allemagne. Mais, au xiii" siècle, les luttes religieuses, l'Inquisition et l'invasion des croisés de Simon de Montfort portèrent un coup mortel à la poésie provençale : les troubadours se turent, et la langue d'oc tomba au rang des patois.

Les troubadours n'étaient pas, comme on se le fis;ure quelquefois, des aventuriers qui couraient de* ville en ville, de château en château, lo rebec ou la guitare en bandoulière, gagnant leur vie à amuser les seigneurs par leurs chansons. C'était là le métier qu'exerçaient les jongleurs, chanteurs et déclamateurs qui étaient aux troubadours ce que les acteurs sont aux auteurs dramatiques. Les troubadours, dont le nom veut dire trouveur (du verbe provençal trobar), étaient des chevaliers, souvent de puissants seigneurs, des ecclésiastiques, des princes, qui consacraient leurs loisirs à la culture de la « gaie science » (el gai saber), et s'illustraient par leurs compositions poétiques. Ils ne se contentaient pas de chanter leur dame; la plupart d'entre eux se mêlèrent activement aux événements politiques contemporains, et exercèrent une puissante influence sur l'opinion, u Us avaient pris l'habitude de distribuer l'éloge et le blâme, se faisant parfois les interprètes des passions de la foule avec une liberté extraordinaire. Ils ont réellement posé d'un grand poids dans les actes de leur temps; ils ont surtout secondé la prédication religieuse en faveur des croisades en Orient. » CVapereau.)

On connaît les noms de plus de trois cents troubadours ; un choix de leurs œuvres a été public par Raynouard en six volumes. Parmi les plus remarquables, nous citerons Arnaud Daniel (xii" siècle), l'illustre troubadour du Périgord; Bertrand de Born, vicomte de Hautefort, dont les poésies enflammées poussèrent les fils de Henri II Plantagenet à la révolte contre leur père ; Pierre Vidal, de Toulouse, qui, après une existence aventureuse, obligé de s'exiler, prit la croix et suivit le marquis de Montferrat en Palestine; Folquet ou Foulques de Marseille, qui débuta par des poésies galantes, puis devint évêque de Toulouse et se signala par son ardeur à combattre les Albigeois ; enfin l'Italien Sordello de Mantone, qui avait adopté la langue provençale, ainsi qu'un certain nombre de ses compatriotes, et qui composa des satires pleines de vigueur et de hardiesse. Dante était un grand adm'raieur de la poésie provençale; aussi a-t-il donné une place à la plupart de ces troubadours dans sa Divine Comédie. Dans le Purgatoire, il fait dire à Virgile, on parlant d'Arnaud Daniel : « Colui