VOLUMES (MESURE DES

2° Une pyramide SFGHIK, ayant pour base B, pour hauteur 1;2 A, et pour volume :

3° Une série de pyramides ayant pour bases les faces latérales du polyèdre. Considérons-en une, SABFG par exemple, et, pour plus de clarté, détaclions-la (fig. 15). Le triangle ombré SMX est la portion de la section moyenne MNPQK emportée par la pyramide. Si, sur la base ABl-'G, nous joignons AN, nous déterminons un triangle AMN qui, d'après une remarque précédente (n° 14), est le quart du trapèze. Il en résulte que la pyramide SAM\, qui a ce triangle pour base, est le quart de la pyramide totale SABKG. Mais cellelii (SAMN peut cire regardée comme ayant pour base le triangle ombré et pour hauteur '/j/i. Son volume

AMN X /</C.

La pyramide totale, quadruple, a donc pour volume :

4AMXx/i/u.

Chacune des autres pyramides disposées autour du point S' dans l'intéiieur du polyèdre proposé, a une expression analogue. Dans l'addition de leurs volumes, le sixième de la hauteur multiplie la somme des triangles analogues au triangle ombré, c'est-Ji-dire la section moyenne JINPQR ; de sorte que l'ensemble de ces pyramides vaut :

4C X lijG.

Donc, en définitive :

Vol.tot. = Bx^ + iX^' + 4Cx^ = ^(B + i + 4C).

Cette expression est parfois désignée sous le nom de formule t/et trois 7ih'eaiix. Elle s'applique, comme il a. déjà été dit, au tronc de pyramide et, par voie de conséquence, au tronc de cùne. Elle est également applicable au prisme triangulaire tronqué, et remplace toutes les formules particulières dont on peut se servir dans ces différents cas, formules que nous allons en déduire, d'ailleurs, à simple titre d'exercice.

Appliration au tas fie sable. — Cuber un tas de sable dont la base inférieure a G mètres de long sur 4"° ,40 de large, la base supérieure a^iSO sur 0°,80, et la hauteur lm„'>(l.

Dimensions de la base moyenne C :

B -)- è -f 4C = TMÔ V = 1,6 X 1,50 X 74,40 = 0,50 X 37,20 = 18°',C00.

Application au tronc de pyramide. — Calculer le volume d'une borne de (i™,7.S de hauteur, ayant pour bases des hexagones réguliers dont les cùtés égalent respectivement 0°',40 et 0'°,18.

Le coté de l'hexagone de section moyenne égale 1/2 (0,40+0,18) =0,;'9. La surface d'un hexagone régulier est donnée par la formule :

S = 3/2R-V3 = 2,598XR^ (V. Aires).

4C = 2,598 X 0,58^= .'..Sg^ X 0,3364

= 0,25X 1,299 X 0,5288i On'%n2'""'.

Voyons maintenant quelle formule spéciale on peut donner pour le tronc de pyramide. Supposons d'abord un tronc à bases carrées, et soient A et a les côtés des deux bases. La section moyenne C a pour côté '/2 (A + a) et pour surface '/^ (A + a)*.

Donc :

La formule des trois niveaux donne alors : T(A2 + a» + A! + 2A« + o2) = ^(2A'+2Aa+2AS),

; {A'2 + «2 + ka).

Mais Aa peut être considéré comme V A'' x a* ou une moyenne proportionnelle entre les deux surfaces de bases. Dès lors, on peut dire que le volume de ce tronc égale le tiers de la hauteur, multipliimt la somme de la grande base, de la petite et d'une moijenne proportioivielle entre les deux bases ; expression applicable à toute autre espèce de pyramide tronquée, car on montrerait, comme au n" 3 et au n° 8, qu'une pyramide tronquée quelconque équivaut au tronc à bases carrées équivalentes et d'égale hauteur.

11 est surperflu de faire remarquer que la règle ci-dessus ne convient qu'à la pyramide tronquée, c'est-à-dire à un volume à talus dont les basesont des dimensions proportionnelles.

Application au tronc de cône. — Trouver la capacité d'un cuvier tron-conique ayant 0'",sO de diamètre à l'ouverture, 0'",52 au fond, et 0°',45 de profondeur.

Les rayons des bases sont 0",40 et 0'",26. Celui delà section moyenne est '/s (0,40 + O,2e; = 0,33.

B = 7tX 0,402 =3,1416x0,16 6 = 11X0,262 = 3,1416x0,007(1 4C = i: X ",662 = .3, 14 1 6 X 0,4356

V = l/g x 0,45 X 3,1416X0,1.632 = 0,15X3,1416X0,3311=0,156 V = 156 litres.

En traitant comme dans l'alinéa précédent la formule des trois niveaux, on voit qu'elle donne, pour un tronc de cône :

■ V = ys-Kh (R2 + )-2 + R,.).

Application au prisme triangulaire tronquf. — Considérons le tronc de prisme triangulaire comme couché sur l'une de ses faces (fig. 16). La base B

Fig. te.

est alors le trapèze sur lequel le solide repose. La base b se réduit à l'arête opposée ; sa .surface est nulle. En appelant a,a' les deux arêtes AB.CD et a" l'arête EF, la section moyenne est un trapèze dont lescôtésparallèlesvalpntrespectivement '/^(a+^i") et '/s («'+'"'")• D'ailleurs, la hauteur de ce trapèze est la moitié de la hauteur du trapèze ABCD.

Par exemple, proposipns-nous de trouver la contenance d'un grenier ayant pour aire un trapèze dont les côtés parallèles, distants de 4 mètres, égalent 7'",20 et 5'",60; la hauteur du grenier est de 2,10, et le failage EF a 4™, 40 de long.

VOLUMKS (MESURE DES)