AB-|-BI<AM + MI BG + C0<BI-|-IN-1-N0 CD < CO -H OP -I- PD

Ajoutant en inégalités membre h membre, et supprimant les termes communs aux deux membres, on obtient

AB -H BC -f CD < AM + MI -t- IN-fNO -f OP -I- PD

< AM -1- MN + NP -f PD c.o. F.D.

REMAnQBE. — La démonstration étant indépendante du nombre des côtés de chaque ligne brisée, peut être étendue au cas où ces lignes brisées auraient un nombre infini de côtés infiniment petits ; par conséquent, on peut dire que si, dun point à un autre, on mène deux lignes courbes convexes, dont l'une enveloppe l'autre, la courbe convexe enveloppnnte est plus longue que la courbe convexe envelappée.

.3. — On nomme circonférence de cercle une courbe plane dont tous les points sont également distants d'un point intérieur nommé centre. La distance du centre à un point quelconque de la circonférence est ce qu'on appelle le rayon. Une droite qui passe par le centre et se termine de part et d'autre i la circonférence est ce que l'on nomme un diamètre. Tout diamètre est donc le double du rayon.

Une circonférence de cercle se iracc à l'aide du compas. Sur le terrain, on substitue au compas un cordeau tendu, fixé au centre par une de ses extrémités, et armé à l'autre d'un piquet qui sert de traçoir.

Joui diamètre divise la circonférence en deux parties éijides ; car, si l'on plie la ligure le long de ce diamètre, les deux parties devront coïncider ; autrement, il y aurait des points inégalement distants du centre.

Toute portion de circonférence se nomme un arc de cercle ; la droite qui joint les extrémités se nomme la corde; on dit que la corde sous-tend l'arc. Toute corde qui ne passe pas par le centre divise la circonférence en deux parties inégales, l'une plus grande que la demi-circonférence, l'autre plus petite.

Une même corde sous-tend toujours deux arcs, mais c'est toujours du plus petit de ces deux arcs qu'il est question, h moins que l'on n'exprime positivement le contraire.

Toute corde est plus petite que le diamètre; car, si l'on joint le centre aux deux extrémités, la corde, qui est une ligne droite, sera plus petite que la somme des lignes de jonction qui forment une ligne brisée, et qui sont des rayons, c'est-îidire qu'elle est plus petite qu'un diamètre.

4. — Deux circonférences de même rayon sont égales ; car, si l'on transporte l'une de manière h. faire coïncider les centres, les circonférences devront coïncider, sans quoi il y aurait des points inégalement distants du centre.

On peut remarquer que lorsque deux circonférences égales ont même centre, on peut faire tourner l'une d'elles autour de ce centre sans que la coïncidence cesse d'avoir lieu.

Dans le même cercle, ou dans des cercles égaux, à deux arcs égaux correspondent des cordes égales; car, s'il s'agit, par exemple, d'arcs pris dans des cercles égaux, il est évident que l'on pourra faire coïncider les arcs égaux et que dès lors les cordes coïncideront,

Dnns un même cercle, à un plus grand arc correspond une plus grande corde.

LIGNES

Soit AB > A'C (fig. 2). Prenons, h partir du point A, l'arc AC = A'C; la corde AC sera égale à

isolé, la lettre du sommet suffit, et l'on dirait l'angle A.

la corde A'C. Joignons OB + OC, qui coupera AB en un point I. On aura

AI-fIC>AC et OI + IB>OB

Ajoutant ces inégalités membre à membre ; remplaçant AI + IB par AB, et 01 + IC par OC, ou par son égal OB, il vient

AB + OB>AC + OB ou AB>AC

Ces deux propositions démontrent leurs réciproques; c'est-à dire que :

Deux cordes égales sous-tendent des arcs égaux; et, à une plus grande corde con-espond nu plus grand arc.

5. — Pour comparer entre eux les arcs d'une même circonférence, on suppose cette circonférence di- | visée en 360 parties égales, à cliacune desquelles on donne le nom de deyré, chaque degré en 60 parties appelées mimites, et chaque minute en 60 secondes. Pour évaluer un arc on dira, par exemple, un arc de 68 degrés 43 minutes et 1" secondes, ce qu'on écrit 6s° 43' 17". Le quart de la circonférence, ou 90 degrés, forme ce qu'on appelle un quadrant.

Dans le système décimal, le quadrant se divise en 100 grades, chaque grade en 100 minutes, et chaque minute en 100 secondes. Un arc ainsi évalué s'exprime immédiatement par un nombre décimal. Ainsi, 81 grades, 73 minutes et 25 secondes s'écrira 81i",7325.

Pour convertir un nombre de grades en de-

grés, il suffit de le multiplier par -— , puisque

90 degrés font 100 grades. Ainsi, 81«f,7325 donne,

en multipliant par —,

73°,55925 ou 73°33'33",3.

Réciproquement, pour convertir un nombre de

degrés en grades, il suffit de multiplier par — -,

après avoir converti préalablement les minutes et secondes en décimales du degré. Ainsi

Dans la considération des angles, on n a point égard h la longueur des cotés.

7. — On compare les angles entre eux à l'aide des arcs de cercle décrits de leur sommet comme centre avec un même rayon.

On remarque d'abord que, si deux anqUs interceptent des arcs égaux sur des circonférences de même ragon décrites de leur sommet comme centre, ces angles soJit égaux. Car, si l'on fait coïncider les centres, et qu'on fasse tourner l'une des circonférences autour de ce centre jusqu'à ce que les arcs égaux coïncident, les côtés des deux angles coïncideront deux à deux ; les deux angles sont donc égaux.

Cette proposition sert îi faire en un point d'une droite un angle égal à un aagle donné. Il suffit de décrire du point donné, et du sommet de l'angle donné, comme centre, des arcs du même rayon, et de prendre sur le premier, à partir de la droite donnée, une ouverture de compas égale à la corde de l'arc intercepté par l'angle donné.

On montrerait de même que, si deux angles sont égaux, ils interceptent des arcs égaux sur les circonférences de même raijon décrites de leurs sommets comme centres.

Cela posé, si l'on suppose une circonférence divisée en 360 degrés, et qu'on mène des rayons à tous les points de division, les angles consécutifs formés par ces rayons seront égaux. Il en serait de même si l'on subdivisait chaque degré en 60 minutes, ou chaque minute en 60 secondes. L'angle au centre qui intercepte un arc d'un degré est ce qu'on appelle un angle de un degré; celui qui intercepte un arc d'une minute est un angle de une minute, etc. De cette manière, un angle au centre quelconque est exprimé en degrés, minutes et secondes, de la même manière que l'arc qu'il intercepte ; s'il intercepte un arc de 28° 4j' 16", c'est un arc de 28° 45' 16", etc. On exprime cette relation générale en disant qu'vii angle au centre a pocr mesure l'arc compris entre ses côtés.

8. — La mesure effective des angles s'effectue, sur une surface de peu d'étendue, à l'aide de l'instrument qui porte le nom de rapporteur. Il se compose d'un demi-cercle dont la circonférence, ou limbe, est divisée en degrés. Soit XOY (fig. 4)

68" 43' 17", ou

ou encore 68° 72139..

multiplié par --, donne 78«',1358..

6. — On appelle angle le plus ou moins d'écart de deux droites qui se rencontrent ; ces droites sont les cotés de l'angle, et leur point de rencontre en est le sommet. La fig. 3 représente l'angle formé par les deux droites AB et AC. On est convenu de désigner un angle par trois lettres,

dont l'une est celle du sommet, et les deux autres l'angle à mesurer. On porte l'instrument sur cet sont prises sur les deux côtés; mais la lettre du angle, de manière que son centre tombe au somsommet doit occuper le milieu ; ainsi, l'on dira ' met O, et que le diamètre AB coïncide avec la l'angle BAC ou CAB. Cependant, si l'angle est l direction OY de l'un des côtés de l'angle. Le

LIGNES

côté OX vient alors coiiiiur lo limbo en un certain point M, et l'on note le nombre de degrés compris entre les points A et M. Ce nombre est la mesure de l'arc AM, et par suite celle de l'angle proposé.

Sur le terrain, on emploie un instrument analogue qui porte le nom de (jraphomètre. — V. Arpentage (Instruments d').

9. — Un angle de 90° est ce qu'on appelle un angle droit; tel est l'angle principal d'une équerre. Un angle plus petit qu'un angle droit s'appelle un angle aigu. Un angle plus grand qu'un angle droit est un angle l'htu.i. Deux angles sont dits supplémentaires, lorsque leur somme vaut doux angles droits; ils sont dits complément/lires, si leur somme vaut un angle droit.

10. — Lorsqu'i/np droite OG (fig. 5) en rencontreune mitre AB, la somme des angles,\DiKcv:Nts

AOC + BOC équivaut à deux angles droits. Car, si du sommet commun O de ces angles on décrit une demi-circonférence ACDB, ces angles auront pour mesure les arcs Atl et BC, dont la somme équivaut i deux quadrants.

CoBOLLAinE. Lorsque deux angles adjacents sont égaux, ils sont droits. Tels sont AOD et BOD.

RÉCIPROQUEMENT. Si (leti.v aug/fs adjacents AOC et BOC sont supplémentaires, leurs côtés e.xlcrieurs AO et CO sont en ligne droite. Car, si la somme des arcs AC et BC équivaut à une demicirconférence, la droite qui joint les points A et 1! est un diamètre, et passe conséquemment par le centre ; donc OA et OB ne forment qu'une même ligne droite.

11. — La somme des angles successifs AOB, BOC, COD, DOE (fig. C), formés en un même poi?it d'un

même côté d'une droite, est égale à deux, angles droits. Car la somme des arcs AB, BC, CD, DE qui mesurent ces angles équivaut à deux quadrants.

La somme des angles successifs AOB, BOC, COD,

DOE, EOA (fig. "), formés autour d'un point, équivaut à quatre angles droits. Car la somme des

arcs AB, BC, CD. DE, EA, qui mesurent ces angles, équivaut à quatre quadrants.

12. — Lorsque deux droites se coupent, les angles opposés par le sommet sont égaux. Soient, en

effet, deux droites AB et CD qui se coupent en un point O.

On a :

AOC -t-COB = 2 droits et COB-f- BOD = 2 droits

d'où :

AOC -1- COB = COB -f BOD

ou simplement :

AOC = BOD

On démontrerait de même que AOD = COB.

13. — Lorsque deux droites se coupent, si l'un des (liiatreanglesqu'eltes forment est droit, hs troisnntres S07it droits aussi, comme étant adjacents au premier, ou comme lui étant opposés par le sommet. Deux droites qui se rencontrent ainsi .'i angles droits sont dites perpendiculaires entre elles.

Dans la pratique, c'est avec i'éguerre que l'on mène ou que l'on vérifie les perpendiculaires. Cet instrument se compose, en ofTet, de deux règles assemblées à angle droit. On pourrait aussi se servir du rapporteur, puisque avec cet instrument on peut faire des angles do 1)0° ; mais nous verrons plus loin des procédés plus précis pour tracer les perpendiculaires.

Par un point donné on ne peut mener qiCune seule }ieri>endic%ilaire à une droite donnée.

Cela est d'abord évident, si le point donné est sur la droite donnée; car si, par ce point, on a mené une droite faisant avec la droite donnée des angles adjacents égaux, toute autre droite menée par ce point ferait avec cette même droite donnée des angles adjacents inégaux.

Supposons, eji second lieu, que le point donné soit extérieur à la droite donnée. Soit O (fig. 9)

Fig. 9.

ce point, et AD la droite donnée. Soient, s'il était possible, OC et OB deux perpendiculaiies h AD. Faisons tourner la figure autour de AD, de manière que le point O vienne se rabattre en O'. Les angles en C étant droits, les lignes CO et CO' sont en ligne droite. Si les angles en B étaient droits aussi, OBO' serait aussi une ligne droite; on pour-

LIGNES

rait donc d'un point O à un autre 0' mener deux droites distinctes, ce qui est impossible.

Remabqi'e. oc étant supposée perpendiculaire à AD, OB est dite oblique par rapport à la même droite.

14. — Si par lin point O (fig. 9) rxtérieur à une droite AD, on mène la perpendiculaire OC et différentes olilicjues OB, OD, OA : X" la perpendiculaire est plus eo'irtc ijue toute oljUque; 2° deux obliques OB et OD, qui s'écartent également du piedC de la perpendiculaire, sont égales; 3° de deux obliques OD et OA qui s'écartent inégalement du pied de ta perpendiculaire, celle gui s'en écarte le plus est la pUis longue.

Faisons tourner la figure autour de AD de manière que le point O vienne se rabattre en O' ; on auraO'A = OA; 0'B = OB ; 0'C = OC ; 0'D=OD. Cela posé :

r La ligne OCO' étant droite, on a :

OCO'<OBO' ou 2 0C<2 0B, ou OC<OB.

2° Faisons tourner la figure OCD autour de OC; les angles en C étant droits, la ligne OD prendra la direction CB; et, puisqu'elles sont égales, le point D tombera en B; donc OD coïncidera avecOB; donc ces obliques sont égales;

;i • La ligne brisée OAO enveloppant OBO' qui a les mômes extrémités, on a :

OAO' > OBO' ou 2 0A>20B ou OA>OB.

Il en résulte OA > OD.

I j. — S/, par le milieu C d'une droite AB (fig. 10), on lui élève une perpendiculaire CD : 1° tout

égale distance des extrémités de AB. est perpendiculaire sur le milieu de AB.

point O pris sur celte perpendiculaire sera également distant des extrémités A ef B de la droite; 2° tout point K, pris en dehors de la perpendiculaire, sera inégalement distant de A ei de B.

1° On aura OB = OA comme obliques s'écartant également du pied de la perpendiculaire.

V Joignons KA etKB; la première de ces droites rencontrera CD en un point O, et si l'on joint OB, on aura OB = OA. Mais on a :

KB<KO-fOB ou KB<K0-1-0A

c'est-à-dire KB < KA.

Ce qu'il fallait démontrer.

Remarques. I. On réunit ces deux propositions en une seule en disant que : la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est le lieu GÉoMÉTiuyi-E de tous les points qui sont à égale disttince des extrémités de la droite.

II. Deux points suffisant pour déterminer une droite, on peut dire que si une droite a deux de ses points à égale distance des extrémités d'une droite, elle est perpendiculaire sur le milieu de la droite,

16. — Le milieu C (fig. II) d'un arc AB, le milieu I de sa corde et le centre O du cercle sont toujours sur mie même perpendiculaire à cette corde. Car les arcs CA et CB étant égaux, il en est do même de leurs cordes; le point C est donc également distant de A et de B; il en est de même du centre 0 ; la droite OC ayant deux de ses points à

rig. 11.

ConoLLAiKEs. 1. S( du centre O d'une circonférence on abaisse une perpendiculaire sur une corde, elle divise cette corde, et l'arc sous-tendu, chacun en dfux parties égales.

II. Si sur le milieu d'une corde on lui élève une perpendiculaire , cette perpendiculaire passe par le I entre et par le milieu de l'arc que sous-tend la corde.

Ce dernier corollaire offre un moyen de faire passer une circonférence par Irais points donnés .\,B.C qui ne sont pas en ligne droite. Il suffit de joindre AB et AC, et d'élever sur le milieu de chacune de ces cordes deux perpendiculaires qui passent toutes deux par le centre. Le centre demandé sera donc le point d'intersection de ces deux perpendiculaires.

Si les trois points donnés étaient en ligne droite, les deux perpendiculaires ne pourraient se rencontrer, sans quoi on pourrait d'un même point abaisser deux perpendiculaires sur une même droite. Il en résulte qu'Kwe droite ne saurait rencontrer une circonférence en plus de deux points.

17. — Une droite AB (fig. 12), perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon OC, n'a qu'un point com-

tiiun avec la circonférence. Car si l'on joint le centre 0 à un point quelconque D de la droite AB, la droite OD sera une oblique plus grande que la perpendiculaire OC; le point D est donc situé hors de la circonférence.

Une droite qui, comme AB, n'a qu'un point commun avec une circonférence, est dite tangente à cette circonférence, et la circonférence est tangente à la droite. Toute droite qui rencontre une circonférence en deux points est dite sécunte par rapport à cette circonférence.

RÉcipnoQfE DU THÉoiiÈiiE PRÉCÉDENT. Toutc tangente -\B à une circo?iférence O est per/endiculaire à l'extrémité du rayon OC qui aboutit au point de contact. Car tout point D de cette droite, dilïérent du point C, étant situé hors du cercle, le rayon OCniesure la plus courte distance du centre à la droite; c'est donc la perpendiculaire abaissée du centre sur cotte droite.

18. — Si deux circonférences 0 et C (fig. 13) ont un point A commun hors de la ligne OC qui joint leurs centres, elles en ont nécessairement un second. Faisons, en efi'et, tourner la figure 0.\C autour de OC jusqu'il ce que le point A vienne se rabattre en A'; on aura OA' = OA et C.\' = CA; le point

LIGNES

\' appartiendra donc i la circonféronco O et ;\ la circonférence ('..

CoiioLLAiRES. 1. Si deux circonférences se louchent, et n'ont qu'un point commun, ce point est situé sur la ligne des centres. Si les circonférences se touchent extérieurement, la distance des centres esc la somme des deux rayons. Si les circonférences se touchent intérieurement, la dislance lies centres est la différence des rayons.

H. Si deux circonférences sont sécantes, on a :

on a aussi :

d'où: