OC<OA + AC; OA<OC + AC, OC>OA — AC

ainsi la distance des centres est plus petite que la somme des rayons et plus grande que leur différence,

III. Si deux circonférences sont séparées, la distance des ceidres est plus grande que la somme des rayons. Si l'une des circonférences est intérieure h l'autre, la distance des centres est plus petite que la différence des ray07is. Il suffit pour le reconnaître de faire la figure.

1 9. — Les propriétés des perpendiculaires démontrées aux numéros 13 h 19 fournissent le moyen de résoudre, avec la règle et le compas, divers problèmes relatifs à ces droites.

I. En un point A d'une droite XY élerer une perpendiculaire à cette droite. Prenez sur la droite, de part et d'autre du point A, deux longueurs égales AB et AC. Des points B et C comme centres, avec un rayon plus grand que AB, décrivez deux arcs de cercle qui se couperont en un point D. Joignez AD, ce sera la perpendiculaire demandée.

II. D'un point A, pris en dehors d'une droite XY, abaisser une perpendiculaire sur cette droite. Du point A comme centre, avec un rayon suffisamment grand, décrivez un arc de cercle qui coupe la droite XY en deux points'Bet C. De ces points comme centre, avec un rayon plus grand que la moitié de BC, décrivez deux arcs de cercle, qui se couperont en un point D. Joignez AD; ce sera la perpendiculaire demandée.

III. Diviser une droite AB en deux parties égales. Des points A et B, avec un rayon plus grand que la moitié de AB, décrivez deux arcs de cercle qui se coupent au-dessus de AB en un point C, et deux autres arcs de cercle qui se coupent en dessous en un point D. Joignez CD; cette droite sera perpendiculaire sur le milieu de AB.

IV. Diviser un arc de cercle en deux parties égales. Tirez la corde, et du centre abaissez une perpendiculaire sur cette corde; elle passera par le milieu de l'arc.

V. Diviser vn angle en deux parties égales. Du sommet de l'angle, comme centre, décrivez un arc compris entre les deux côtés; tirez la corde de cet arc, et du sommet abaissez une perpendiculaire sur cette corde; elle divisera l'angle en deux parties égales.

Remafique. — La droite qui divise un angle en deux parties égales s'appelle la bissectrice de cet angle.

20. — Det4x droites perpendiculaires à une même troisième ne peuvent se rencontrer quelque loin qu'on les prolo7ige, car autrement on pourrait, d'un même point, abaisser deux perpendiculaires sur une même droite.

Deux droites qui, étant situées dans un mênie plan, ne peuvent pas se rencontrer quelque loin qu'on les prolonge, portent le nom de droites parallèles. L'énoncé ci-dessus revient donc au suivant : deux perpendiculaires à une mé/ne droite sont parallèles etltre elles.

On admet que, par un point pris hors d'une droite, on ne peut lui mener qu'une seule parallèle. Cette parallèle est facile h obtenir. Du point donné, on abaisse une perpendiculaire sur la droite donnée, et, par ce morne point donné, on élève une perpendiculaire sur cette perpendiculaire ; c'est la parallèle demandée.

Lorsque deux droites sont parallèles, touie perpendiculaire à l'une est en même temps perpendiculaire à l'outre. Car si elle rencontrait cette autre sous un angle aigu ou obtus, on pourrait, par leur point de rencontre, lui élever ."i elle-même une perpendiculaire, qui serait parallèle à la première des deux droites données ; on pourrait donc, par un même point, mener deux parallèles à une même droite, ce que l'on regarde comme impossible.

21. — Deux parallèles AB et CD (fig. 14) sont partout également distante. En d'autres termes, si

dos points C et D, pris où l'on voudra sur l'une d'elles, on abaisse sur l'autre les perpendiculaires CA et DB, ces perpendiculaires seront égales. Pour le démontrer, élevons par le milieu I de AB la perpendiculaire IH, et faisons tourner la figure IHDH autour de IH pour la rabattre sur lACH. Les angles étant droits, IB prendra la direction de lA; et puisque I est le milieu de AB, le point B tombera en A. Les angles en B et en A étant droits, BD prendra la direction de AC, et le point D tombera quelque part sur AC. Or, les angles en H étant droits, HD prendra la direction de HC, et le point D tombera quelque part sur HC. Devant tomber h la fois sur AC et sur HC, le point D tombera au point C ; BD et AC coïncideront, donc ces droites sont égales.

22. — Deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles. Car si l'on mène une perpendiculaire à la troisième, elle sera perpendiculaire aux deux premières; ces dernières étant ainsi perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.

2-3. — Deux droites AB et CD (fig. 15) snyit parallèles si, étant coupées par une sécante EFGH, elles forment avec celle sécante des anqles intérieurs AFG, CGF supplémentaires. En efl'et : les angles BFG et CGF étant tous deux le supplément de AFG, sont érraux entre eux. De même, les angles EGD, AFG étant tous deux le supplément de CGF, sont égaux entre eux. Il en résulte que les branches FB et GD sont placées par rapport il EH, d'un côté de cette droite, de la môme manière que les branches GC et FA sont placées de l'autre. Si, par conséquent, ces deux branches se rencontraient, les deux autres se rencontreraient aussi;

LIGNES

et les deux droites distinctes AB et CD auraient deux points communs, ce qui est impossible. Donc

pliant dès lors la figure le long de cette perpendiculaire, on fera coïncider les extrémités des cordes, et par suite les arcs interceptés entre les parallèles; donc ces arcs sont égaux.

Le théorème subsiste lorsque l'une des parallèles est tangente; car la perpendiculaire abaissée du centre sur la corde passe alors par le pnmt de contact, et, en pliant encore la figure le long de cette perpendiculaire, on fait encore coïncider les. doux arcs. . , j » i

28 — On appelle angle insn-it un angle dont le sommet est sur la circonlérence et dont les côtés sont des cordes. ■.-, ,

Tout angle inscrit a pour mesure la moitié de i'arc compris entre ses côtés. Supposons d abord que le centre O du cercle soit situé sur 1 un des

ces droites ne se rencontrent pas, et sont par conséquent parallèles.

RÉCIPROQUEMENT. Si deux p'iralleles AB et (.U sont coupées par mie sécante EFtJH, tes angles intérieurs AFG et CGF sont supplémentaires. Car, si cela n'était pas, on pourrait toujours, au point F, faire avec FG un angle égal au supplément de CGF, et la droite ainsi menée serait parallèle a CD, en vertu du théorème dh-ect. On pourrait donc, par un même point F, mener deux parallèles à une même droite CD, ce qui est impossible. , „ .

24. — Remarques. I. Les quatre angles en i et les quatre angles en G forment deux groupes qui se correspondent; et l'on nomme corresponrjrmls les angles qui, dans CHS deux groupes occupent des positions analogues. Tels sont les angles Abbet CGF, ou AFG et CGH ; tels sont encore les angles EFB et FGD, ou BFG et DGH. . i On appelle angles aUerncs-intemes ceux qui sont situes intérieurement aux parallèles, de part et d'autre de la sécante; tels sont AFG et FGU, ou bien liFG et CGF.

IL Si les angles intérieurs AFG et Clil' som supplémentaires, les angles alternes-internes Al'U et FGU sont égaux comme étant tous deux le supplément de CGF. Et les angles correspondants AhG et CGH sont égaux entre eux comme étant tous deux égaux à FGD.

Réciproquement, si les angles alternes-internes sont égaux, ou si les angles correspondants sont égaux, les angles intérieurs sont supplementai-

ifl II résulte de ces remarques et des théorèmes ci-dessus que : 1° Si deux parallèles sont coupées par une sécante, les angles intérieurs sontstipplémentaires, les angles alternes-internes sont égaux. les angles correspondants so7it égaux; -r Si tune de ces relations ■l'angles a lieu, les droites coupées par lu sécante sont parallèles.

25. — Deux am/les qui ont leurs cotes parallèles chacun à chacun et L'ouverture dirigée dans te même sens, sont égaux. Car si l'on prolonge 1 un des côtés du premier jusqu'à sa rencontre avec le côté du second qui ne lui est pas parallèle, on forme un troisième angle qui est égal comme correspondant à chacun des angles donnés.

Si les angles avaient l'ouverture tournée dans un sens différent, ils seraient supplémentaires.

26. — Deux angles qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux ou supplémentaires. Car si l'on fait tourner l'un d'eux à 90" autour de son sommet, ses côtés deviendront parallèles à ceux du second angle.

27. — Deux parallèles interceptent sur une circonférence des arcs égaux. Si, en effet, on abaisse du centre une perpendiculaire sur les deux cordes, elle les divisera chacune en deux parties égales, et le point où elle rencontrera la circonférence sera le milieu commun des arcs sous-tendus. En

côtés de l'angle. Soit ABC cet «|'?^,^- "«"""' '^ diamètre DE pnrallèle i AB; I ansU- DOC sera égal h ABC puisqu'ils sont correspondants^L angle au centre COD a pour mesure l'arc CD. Or CD -- «E. comme interceptés par dos angles égaux, I.UU et BOE et BE = AD comme arcs interceptes par aesparallèles. Donc CD = AD ; c'est-i-dire que CD.qui est la mesure de l'angle ABC, est la moitié de l'arc AC intercepté entre les côtes de 1 angle ins-

"si le centre tombe dans l'intérieur de l'angle nroposé, on mène par son sommet un diamètre qui le divise en deux angles partiels rentrant dans le cas précédent. Chacun de ces angles partiels a

! pour mesure la moitié de l'arc qu il intercepte;

i l'angle total a donc pour mesure la somme de ces mesures, c'cst-i-dire la moitié de l'arc compris entre les côtés de l'angle inscrit.

Si le centre tombe en dehors de 1 angle, en menant un diamètre par son sommet, on forme deux andes inscrits rentrant dans le premier cas, .et dont la différence est l'angle propose ; on arrive encore de la sorte à la même conclusion. i\).-L'a7,gleA^C(6e.r,) formé par une tangente-

AU et par une corde BC ahoutis.wntaupointde tangence, a pour nieswe la moitié ''-^ ' «'''^ ^mC «,„ i tendu iiar cette corde. Menons, en effet, par le loint C t dCite CD'parallèle .1 AB ; l'angle inscrit BCD sera égal à ABC comme correspondant, et aura pour mesure la moitié de BU. Ur, liu es. égal à B»(C comme arcs interceptes par des parallèles. Donc ABC a pour mesure la moitiû ac

^'ïuMAnQUE. L'angle A'BC étant le s"PP>ém«« de ABC, la somme de leurs mesures doit lairo

LIGNES

lieux quadrants. L'angle ABC ayant pour mesure la moitié de BmC, l'angle A'BG doit avoir pour mesure la moitié du reste do la circonférence, ou la moitié de BDC. Ainsi le théorème s'applique à un angle obtus comme à un angle aigu.

30. — On appelle segment d'un cercle la partie de ce cercle comprise entre un arc et sa corde. Ainsi J'espace ABB'B"CA (flg. 18) est un segment. Il en

l-ig. is.

est de même de AMCA. Tout angle qui a son sommet sur un arc de cercle, et dont les côtés aboutissent aux extrémités de sa corde, est dit inscrit daiis le segment compris entre cet arc et cette corde. Ainsi l'angle ABC est inscrit dans le segment ABB'B'CA, et l'angle AMC est inscrit dans le segment AMCA.

Tous les angles inscrits dans un même segment sont égaux, puisqu'ils ont pour mesure la moitié de l'arc sous-tendu par une môme corde; et le segment est dit capable de l'angle dont il s'agit. Ainsi, par exemple, les angles ABC, AB'C, AB' C, etc., sont tous égaux, et le segment est ditcapable de la valeur commune de ces angles.

Deux angles, tels que ABC et AMC, inscrits dans les deux segments opposés correspondants à une même corde AC, sont supplémentaires, puisque la somme de leurs mesures est la moitié d'une circonférence entière, ou deux quadrants.

Tout angle inscrit dans une demi-circonférence est un angle droit, puisqu'il a pour mesure la moitié d'une demi-circonférence, c'est-à-dire un quadrant.

31. — Cette propriété fournit un moyen de mener une tangente à une circonférence 0 (fig. 19) par un point A extérieur à cette circonférence. Pour cela joignons AO ; et sur cette droite comme dia-

LIGNES PROPORTIONNELLES. —Géométrie, IX. X. — Définilio'is. Le rapport de deux lignes est le quotient qu'on obtient en divisant entre eux les nombres qui expriment les grandeurs de ces deux lignes mesurées avec la même unité. Par exemple, la largeur d'une table étant de 81 centimètres et sa longueur de l'°,25, c'est-h-dire 125 centimètres, le rapport entre la largeur et la lon-

gueur est —7) ce qui signifie que la largeur est

égale à 84 fois la V2à° partie de la longueur. Entre

1?5 la longueur et la largeur, le rapport serait —-1 ce

qui signifie que la longueur est égale à 125 fois la

1*5 84^ partie de la largeur. Le rapport^- estïinverse

du rapport — 7-

On appelle proportion une égalité entre deux rapports. Si, par cxemple.le rapport entre deux droites a et é est égal au rapport de deux autres droites c et d, on peut écrire

Cette égalité est une proportion, et on dit que les deux droites a et A sont proportionnelles aux deux autres droites c et d. (\. Proportion.)

La théorie des ligues droites proportionnelles est une des plus importantes de la géométrie plane ; nous allons en présenter l'exposé avec la simplicité qu'elle doit avoir dans l'enseignement primaire, et en faisant suivre chaque principe des applications dont il est susceptible.

TnÉoiiÈME I. — Lorsque lei deui côtés d'un angle sont coupés par «es droites jiaralléles entre elles, si les parties inlerceptées sur un côté sont égales, l"s parties interceptées sw l'autre sont aussi égales entre elles.

Supposons les droites AA',BB' et CC parallèles (fig. 1 ;, et OA' = A'B' = B'C ; les parties OA,AB et BC seront aussi égales entre elles.

mètre, décrivons une circonférence qui coupera la première en deux points B et B'. Tirons AB ; ce sera une tangente à la circonférence O. Car, si l'on joint BO, l'angle ABO, inscrit dans une demi-circonférence, sera droit, et AB étant perpendiculaire à l'extrémité du rayon OB sera tangente à la circonférence 0.

On aurait une seconde tangente en joignant AB'. [H. Sonnet.]

Fig. 1,

Pour le démontrer considérons-en deux seulement, AB et BC par exemple, et menons les droites AH et BK parallèles au côté OY. Ces droites sont égales l'une h A'B' et l'autre à B'C, comme étant les côtés opposés des parallélogrammes HAA'B' et KBIi'C ; elles sont donc égales entre elles. Maintenant, imaginons qu'on porte, le triangle BCK sur le triangle ABU, en appliquant le côtéBK sur le côté Ail qui lui est égal; le côté BC se placera sur la direction du côté AB, puisque les angles CliK et BAH sont égaux à cause du parallélisme des cotés BK et AH, et l'extrémité C se trouvera .sur cette direction. De môme, les angles CKB et BUA étant égaux comme ayant leurs cotés respectivement parallèles, le côté KC prendra la direction de HB et l'extrémité C se trouvera sur cette direction. Ainsi le point C, devant être à la fois sur IIB et sur AB,se trouvera à leur intersection B. On voit par là que les deux triangles coïncident, ce qui montre que les côtés AB otBC sont égaux.