LIGN. PROPORTIONNELLES — 1166 — LIGN. PROPORTIONNELLES

Application. — Division d'une droite en parties égales.

La division d'une droite en 2, 4, 8, 16 parties égales revient à mener une perpendiculaire par le milieu d'une droite ; c'est le théorème précédent qui fournit le moyen de diviser une droite en un nombre quelconque de parties égales.

Soit il diviser une droite AB en trois parties égales {fig. 2). D'une extrémité B on mène une

Fig. î.

droite indéfinie BX, faisant avec AB un angle quelconque. Sur cette droite, on porte :\ partir de B, à l'aide du compas, trois longueurs BB, BS, ST égales, mais d'une longueur arbitraire ; on joint le dernier point T à l'autre extrémité A et, par les autres points S et R, on mène des droites parallèles à AT : ces parallèles coupent la droite AB en parties égales.

Nota. Cette division se fait très promptement, si on trace les parallèles à l'aide de la règle et de réquerre.

Théorème II. — Quand un triangle est coupé par une droite parallèle à l'un de ses côtés, tes deux antres côtés sont diviséi par cette droite en parties proportionnelles.

En effet divisons le côté AB (fig. 3) en parties

égales, cinq par exemple, la partie AD est les -de

l'autre partie DE. Si du point D on tire DF parallèle ,\BC, AF sera aussi les- de FC.

En effet si, parles points de division du côté AB, on mène des droites parallèles à BC. elles partagent le côté AC en cinq parties égales, et comme il y en a deux dans AF et 3 dans FC, on voit que AF est

les I de FC.

Donc les deux parties du côté AC sont proportionnelles aux deux parties du côté AB ; c'est ce qu'on exprime par la proportion suivante :

db'

' FC

Corollaires. — r Les parties AD et AF sont les y des côtés correspondants AE et AC ; les parties

BD et CF sont les - de ces côtés ; donc les côtés

AB et AC sont coupés en parties proportionnelles entre elles et proportionnelles à ces côtés. On a ainsi :

AD AB'

'ac

BD Ail'

'ac

2° Si le côté AB était par exemple les - du côté

AC, chacune des cinq parties égales de AB serait

les- de chacune des cinq parties égales de AC;

par conséquent, AD serait les - de AF et BC les -

de CF; donc les deux parties situées d'un même côté de la sécante parallèle sont proportionnelles aux deux autres parties, ce qui donne la proportion :

DB AB

FC AC

3° Réciproquement, si une droite qui coupe un triangle divise deux côtés en parties proportionnelles, elle se trouve parallèle au troisième côté.

En effet, les points D et F, par exemple, divisent chacun des côtés AB et AC en deux parties

dont l'une est les -^ de l'autre. Or, la droite menée

du point D parallèlement à BG doit couper aussi

le côté AC en deux parties dont l'une soit les - de

de l'autre; elle doit donc aboutir au point F; car c'est le seul qui divise le côté AC en deux parties

dont l'une est les - de l'autre, et par suite la droite

qui joint les points D et F n'est autre que cette parallèle.

Applications. — 1 ° Dans un triangle (fig. 3) on a AB

«) = 20 millimètres, AC = 26 millimètres et AD = f

o de AB ; calculer les longueurs des quatre parties déterminées sur les côtés AB et AC par la droite DF, menée du point D parallèlement à BC. On a d'abord :

2° Problème. — Trouver la hauteur d qu'il faut donner à un rectangle ayant une base cpour que sa surface soit équivalente à celle d'un autre rectangle dont la base est b et la hauteur a (fig. 4).

puis

trouve ;