AF AC

AD AB

Si les dimensions des rectangles étaient données en nombre, on calculerait la surface en multipliant entre elles la base b et la hauteur a, et on diviserait le produit par c.

Ici il s'agit de trouver la hauteur demandée par une construction géométrique.

Or on doit avoir :

cXf^ = ax4

En divisant les deux membres de cette égalité par a et par rf, on trouve la proportion ;

Ainsi la liauteur demandée rf est une i' proportionnelle aux trois droites c, a, h.

Pour la trouver, on porte sur un côté OX d'un angle quelconque (fig. 6), et h partir du sommet O,

les points A' et B' des droites parallèles à C'C. Ellcis divisent OV. en parties proportionnelles aux droites OA', A'ii', B'G', c'est-i-dire proportionnelles aux droites n, h, c.

ThèouIjme IV. — Lorsqu'une droite joignant deux côtés i/'un triangle est parallèle au troisième lea trois côtés du triangle partiel ainsi formé son] proportionnels aux trois côtés homologues da pre. mier triangle.

En effet, supposons AD égal aux - de AB (fi ,

AF sera les - de AC, et il reste à faire voir que

DF est aussi les - de BC.

une longueur OC = c, et à la suite iine longueur CA = a; sur le deuxième côte OY une longueur OB = t. On tire la droite CB et par le point A on mène la droite AD parallèle à CB. La droite BD est la droite cherchée.

Observations. — 1" On pourrait aussi porter les deux longueurs c et a l'une sur l'autre à partir du sommet, par exemple, OC = c et OA = o; on achèverait la construction comme précédemment, mais alors la quatrième proportionnelle cherchée serait OD.

2° Si, au lieu d'un rectangle donné, on avait un carré dont le côté serait a, le problème reviendrait à chercher une quatrième proportionnelle aux droites c, a et a; c'est ce qu'on énonce ordinairement en disant : chercher une troisième proportionnelle à deux droites G et A.

Théorème III. — Quand les côtés d'un angle sont coupés par plusieurs droites parallèles entre elles, les parties interceptées sur l'un des côtés sont proportionnelles aux parties interceptées sur l'autre.

En effet, tirons les parallèles A'A,B'B,CC'(fig. C),

et supposons que OA' soit, par exemple, les - de

OA. D'après le théorème II (coroll. 2), A'B' sera

les - de AB et OB' les - de OB. Par suite dans le

triangle OCC, B'C sera les - do BC, etc.

Application. — Ce théori'me fournit le moyen âe diviser une droite en parties proportionnelles S. des droites données. Soit, par exemple, à diviser une longueur oc en trois parties proportionnelles à trois droites o, b. c On mène de l'extrémité O de la droite donnée une droite quelconque OY, sur laquelle on porte ."i partir du sommet O les longueurs consécutives 0 A' = a, A'B' = b, B'C = c; on joint G à C par une droite et on mène par

Pour cela, on mène du point F la droite FK parallèle h AB, et à cause du parallélogramme BDFK la droite DFest égale à BK. Or FK, étant parallèle à AB, coupe les deux côtés CA et CB en parties proportionnnelles à ces côtés, et comme AF est les

- de AC, la partie correspondante BK, et par conséquent la droite DF qui lui est égale, est aussi les - de BC. Le théorème est ainsi démontré.

Corollaire. — Lorsqu'une droite joignant deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté, ce coté et la parallèle sont coupés en parties proportionnelles par des droites quelconques menées du sommet à ce côté.

En effet, soit DF parallèle à BC (fig. 8), et AD

égal aux- de AB. D'après ce qui vient d'être dé-

montré, DL sera les - de BH et AL les - de AH ;

par suite, LI sera les- de HK, etc.

Application. — Ce théorème fournit un second moyen fort commode pour diviser une droite en parties égales (flg. 9).

Soit à diviser la droite Z en 5 parties égales. Sur une droite indéfinie on porto cinq longueurs consécutives égales entre elles mais quelconques, ce qui donne la droite BC. Sur cette droite on construit un triangle équilatéral AB{;; sur les côtés AB et ai; on prend les distances AM et AN égales .'i / et on tire la droite MN qui se trouve égale à /. On mènt^ ensuite du sommet A des droites aux poitits d(^ division de la base BC; ces droites divisent MN en cinq parties égales.