VII. — Si le marchand dont il vient d'6Cie

âuestion ne se présente que trois mois après pour emander son remboursement, à combien son i compte sera-t-il réduit, les 10 fr. de rentes 4 1/2 p. 100 ayant été achetés au cours de 92*^,75 7 Réponse : 812^85.

VIII. — On suppose qu'un ouvrier dépose toos les dimanches 6 fr. à la Caisse d'épargne, mais qu'il retire ses fonds à la fin de chaque année pour les placer à 4 1/2 p. 100 et à intérêts composés. On demande de quelle somme il pourra disposer an bout de 30 ans?

Réponse : 1936^,22.

IV. — On suppose qu'un ménage d'ouvriers dépose tous les dimanches à la Caisse d'épargne, savoir : le mari 6fr. et la femme 3 fr.,maiB qu^lls retirent leurs fonds à la fin de chaque année pour les placer à 4 1/2 p. 100 et à intérêts composés. De quelle sonune pourront-ils disposer au bout do 30 ans: et quelle rente 4 1/2 p. 100 pourront-ils acquérir avec cette somme, la rente étant supposé au pair 7

Réponse: 29041'',88, qui permettraient d'acheter 1 ZOi^fSB de rentes.

X. — Quelle somme faudrait-il placer tons les dimanches à la Caisse d'épargne pendant 80 ans pour que, en retirant ses fonds tous les ans, et en les plaçant à 4 1/2 p. 100 et à intérêts composés, on pût disposer au Dout de ce temps d'un capital de 24 000 fr.?

Réponse : 7<',437.. . Il faudrait donc tâcher de déposer chaque dimanche 8 fr.

Dans ce cas le capital obtenu ne serait plus '2A 000 fr., mais 25 814'%55. [H. Sonneu]

CALCUL

CALCDL AL6BBBIQUB, AnUQVÉ^AVX PBO- BLÈMBS D'ABITHJIBTIQCE ET DE GBOMBTBIB DB L'BNSEIGNBMEZfr PBIMAIBB. — NoQS nV fons point à refaire ici le cours d*algèbre élémentaire à Toflage des écoles normales et supérieures, dont le plan et les déyeloppements essentiels lODt résumés dans ce dictionnaire même avec nne ai grande aatorité. — (V. Algèbre et Equations,)

Bais noos croyons devoir indiquer plus particu- Uërement les procédés pratiques par lesquels, Déme dans Técole primaire proprement dite (et à pioa forte raison dans les classes pour les adultes no peu avancés, dans les cours complémentaires, tels qne ceux du volontariat, et dans la préparation pour Tadmission aux écoles primaires supérieures), on pourra, on devra amener les élèves de plain-picd sur le terrain de Talgèbre et leur laire résoudre des problèmes par des équations tua leur laisser soupçonner quils font autre chose que de raritliméitque.

Nous supposons des élèves qui ne connaissent encore aucun des termes de la langue algébrique, et noos allons voir comment peu à peu et sans passer par l'ensemble de renseignement méthodique qui est nécessaire au maître, on peut leur, apprendre chemin faisant et les mots techniques et

s rèffles dont ils auront à se servir.

Problème 1. — Nous prenons pour exemple un problème d^aritlimétique comme en fait tous les joors on élève d* école primaire, un problème quelconque d'intérêt simple. L^élève sait la règle :

Pour trouver Cintérét (fun capital^ il faut muUi' ^ le capital par le taux et par le nombre de jovrt et diviser ie produit par 36 000.

Demandons-lui sil n*y aurait pas moyen d*écrîre en ibrégé cette longue phrase. Les mots multiplier, diviser, etc., peuvent être remplacés par les lignes oui lui sont familiers X» : * etc. Chacune des quantités qu*il doit passer en revue ne pourraitelle pas aussi être designée abréviativement par la lettre initiale de son nom : l'intérêt psr t, le capital par c, le taux par t, le nombre de Jours par n? La règle précédente peut donc se présenter ainsi.

. extxn

Cette expression aussi claire que concise est appelée/onmi/e; elle montre enmême temps ce oue c'est (fpîvm égalité. On indique à ce moment les dénomiutious de premier membre et de second membre données aux deux parties qui constituent Tégalité. Maintenant sersrt-il besoin d^arrêter les élèves pour leur faire, avant de passer outre, Texposé complet et théorique des propriétés d*une égalité? Xon, car ils les connaissent déjà implicitement par ^ l'arithmétique ; ils les appliqueront pour ainsi dire pu intaition au fur et à mesure qu*elles vont se présenter: on va le voir.

Dans régalité

OOXn 3G000 '

qu'arriverait-il si nous supprimions le dénomina- Viur du second membre ? Tous les élèves le diront ussitAt : ce second membre serait multiplié par ||S0ÛO. Par conséquent que faut-il fahre pour rétablir l'égalité? Multiplier aussi le premier nombre Pv deOuO. Voilà la nouvelle égaUté trouvée :

36 000 t«reX<Xn

Ceqoisignifle : le produit du capital par le tnux et ytfjs nombre de jours est égal d 36 000 fois eintérét. ^ cette occasion on apprend aux élèves que »nqae les facteurs d*un prodoit sont représentés ^ des lettres, on peut supprimer le signe X «Qtre eux, et écrire ctn au lieu de c X < X n. Ils ac ^^r«nt ainsi la règle dite t^gle des lettres de la ■«illiplication.

2*Partii.

Us ont tout àTheure affirmé sans hésiter qn*ofi peut multiplier les deux membres dune égalité par un même nombre sans altérer t/galité. Ils no seront pas plus embarrassés pour reconnaître qu'on peut pareillement les diviser par un même nombre hons altérer Ngaîité. Grâce à cette propriété, nous allons pouvoir dégager et énoncer à part la valeur de chacune des trois quantités en divisant successivement les deux membres de Tégalité

parfit, puis par en et par cf. La suppression des lettres qui figurent à la fois au numérateur et au dénominateur n'arien qui les surprenne ; ils entendent bien

que ^ » c. Donc nous obtenons les trois égalités :

En traduisant ces formules en langage ordinaire, les élèves y trouvent les règles à suivre pour connaître, sans répéter de longs raisonnements, le ca- {»ital, ou le taux, ou le nombre do Jours dans tous es problèmes d intérêt simple.

A ce moment on dit aux élèves qu^on appelle équation une égalité dans laquelle se trouvent une ou plusieurs lettres représentant des quantités inconnues ; que ces lettres sont ordinairement les dernières de Talphabet, x, v, s ; que tirer la valeur de rinconnue de Téquation où elle se trouve, c'est ce qu'on appelle résoudre une équation.

On les exercera à regarder une équation comme l'énoncé d*un problème écrit en langue algébrique, à le traduire en langage vulgaire. Par exemple l'équation

signifie : trouver un nombre tel que son triple diminué de 2 soit égal à son double augmenté de 3* Ces deux antres équations

3y — 7X es 4,

se traduiront ainsi : trouver deux nomliret tels que l'excès du triple du premier sur 7 fois le second soit égal à 4 et que le double du premier augmenté du quintuple du second soit égal à 22. '

Réciproquement on les habituera à écrire sous forme d'équation l'énoncé d*nn problème, ea s'attachant d'abord aux questions les plus faciles.

A ce principe fondamental : on peut multiplier ou diviser les deux membres d'une égalité ou d'une équation sans altérer Végalité, on Joindra avant d aller plus loin cet autre principe aussi érident que le premier : on peut augmenter ou diminuer tVune même quantité les deux membres d'une égalité ou ttune équation sans altérer Végalité des deux membres.

On en fera l'application à la résolution d'une équation simple comme l'équation ci-dessus :

Supprimant les Hx au deuxième membre pour

Sue rinconnue a; ne se trouve qu'au premier, on evra diminuer ce premier membre aussi de 22» ce qui donne

Puis, pour faire disparaître le terme connu ^ 3 qui est au premier membre^ il suffit d'augmenter ce premier membre de 2 : car alors 2 — 2 se dé-

CALCUL

traisent ; on augmentora aussi le deuxième membre de 2 et on a alors

On déduit de là la règle de la transposition des termes : pour faire passer toi terme aun membre dans Vautre, on le supprûne dans le membre où il est et on l'écrit dans Cautre avec un signe contraire, c'est' à-dire en lui donnant -h quand il avait — ef — quand il avait -h.

Du premier principe on déduit la règle par la-

2uelle on peut chasser les dénominateurs d*une quation, ce oui rend les calculs plus faciles : pour chasser les tiino*Hinateurs d*une équation, on réduit tous les termes^ les termes entiers aussi bien nue les termes fractionnaires, au même dénominateur, et on supprime ce dénominateur commun.

Pour terminer la résolution, il n*y a plus qu'à opérer la réduction en un seul terme des nombres d X qui sont dans un membre et celle des nombres connus qui sont dans Tautre et à tirer enfin la yaleur de l'inconnue par une simple dlTision.

Ce n*est pas le moment de parler du changement qui surrient dans la nature de Téquation, 2uand la quantité par laquelle on multiplie les eux membres est rinconnue elle-même ou une quantité qui contient Tlnconnue.

Maintenant, pour mettre de la précision dans le langage, il importe qu'ensache bien que les termes sont les quanutés séparées par les signes -h ou ~, et qu*on ait une Idée nette de l'origine et de la nature du terme appelé négatif, uest d'un problème familier qu'il couTient de la déduire. On supposera, par exemple, qu'un homme n'ayant que 5 francs doive 8 francs ; ce qu'il possède à ce moment peut être représenté par 6—8. En donnant ses b francs, il n'a plus que zéro et une dette de 3 francs, et on lui étera ces 8 francs ^uand cela sera possible ; pour le moment on l'indique en écrivant 0 — 3 ou plus simplement — 3, puisque le séro est ici tout à fait inutile. Le terme négatif — 8 représente donc le reste d'une soustraction dans laquelle le plus grand nombre devait être retranché du plus petit. Dans ce cas on retranche le plus petit du plus grand, et on dorme au reste le signe —. J)n terme négatif peut être regardé comme exprimant une dette, tandis que le terme positif exprime un ayoir.

Nous pourrions suivre maintenant l'ordre méthodique du cours d'algèbre pour joindre à chaque partie de ce cours les applications du calcul algébrique qui s'y peuvent rapporter. Mais nous croyons faire mieux ressortir la portée de ces applications et la possibilité pour le maître d'en tirer les plus heureux effets, même pour dès élèves étrangers à l'algèbre proprement dite, en donnant quelques exemples de problèmes dans lesquels, comme dans le précédent, le calcul algébrique abrège ou éclaircit singulièrement les opérations de l'arithmétique pure. — V. aussi dans le Dictionnaire, à la suite de l'article Algèbre, notre paragraphe sur la préparation aux examens.

Problème 1 . -— On veut faire do l'argent au titre de 0,835 en fondant ensemble de l'argent au titre de 0,9 et du cuivre. Combien faudra-t-il prendre d'argent au titre de 0,9 et de cuivre pour avoir 1 kilogramme d'argent au titre de 0,835? (Problème donné à Paris en 1877 aux aspirantes; brevet su' périeur. — V. d-dessus, o. 302.)

Soit X le nomore de grammes d'argent a 0,9. Le poids d'argent pur qu'il renferme est x X 0,9. Le quotient de co nombre divisé par le poids tot^i 1000 grammes devant être le titre 0,835, on a l'équation :

Multipliant les deux membres par 1 000, puis par 10, on trouve :

Le poids d*argent est donc 927''.778.

Celui du cuivre est looo — 927,778= 72"',222.

Problème 2. — On partage une somme de 10 OOO francs entre quatre personnes. La l** aura 3 fois autant que la2*, mouis 2 000 francs ; la 3« aura 8 fois autant que la 3*. moins 3000 francs ; la 8* aura 6 fois autant que la 4*, moins 4 OOo francs. Quelle est la part de chaque personne? ^ (Problème donné dans V Académie de Besançon, 1878. — Aepiruntes ; brevet supérieur, — V. ci-dessus, p. 802.)

Désignons par « le nombre de mmca que doit avoir la 4* personne; la part de la 8« sera 6x —

La 2* aura (6x — 4 000) X 8 — 8000. Le prodoit de fs« — 4 00n par 8 doit être égal à 8 fols ux, moins 8 fois 4 OOo ; car 6 x devant d'abord être diminué de 4000, le produit 18« est trop fort de 3 fois 4 000 ou de 12000. On a donc pour la part de

18x— 12000^8000 ou I8x— 15000.

La première aura

(18x — 15000) X 2 — 2000 c'est-à-dire

88x— 30000 — 2O0O ou 38x-- 82000.

La somme des quatre parts devant être égale I 10000, on peut écrire :

x+6a;-4000-fl8X'lSOOO-^86x— 82000= 10000.

Par la réduction on a

puis

61x» 10000 -4- 51 000, eix = Cl 000,

d'où

GlOOO Cl ■

La part de la 4* est donc de 1 000 francs. On trouvera ensuite : pour la 3* , 2 000 francs. — pour la 2*, 3 000 francs, —pour la 1**, 4 000 francs.

Observation. — Des explications données plus haut, il est bon de déduire la règle suivante : f^fur multiplier par un nombre positif une quantité composée de plusieurs termes^ on multiplie chaque terme au multiplicande, en lui conservant son signe, par le multiplicateur.

Problème 8. — A quel moment, entre 2 heures et 3 heures, les deux aiguilles d'une montre sont-elles en ligne droite ?

Paris, 1876. — Aspirants; brevet simple. —V. ci-dessus, p. 284.)

Les deux aiguilles peuvent être : 1* Tune sur l'autre ; 2* l'une sur le prolongement de l'autre.

Premier cas. — Soit x le nombre des minutes du cadran qu'aura à parcourir la grande aiguille à partir de 2 heures, c'est-à-dire à partir do n* 12, pour atteindre la petite entre le n* 2 et le n* 3. Le nombre de minutes parcourues par cette dernière aiguille sera x — 10. Or, la vitesse de Is grande aiguille étant 12 fois plus grande que celle de la petite, le nombre x de minutes que parcourt la première vaut 12 fois le nombre x ~ 10 de minutes parcourues dans le même temps par la seconde*

On peut donc écrire l'équation

x=»(x — »0)XI2.

CALCUL — 323

En effectmni la maltiplication, on trouTe «.12a;— 120, pids 130» lia;,

CALCUL

:l!2=ioLo, 11 11

Les deux aignilleB sont donc Tane ma l'antre à MO- If.

druxieme cas, — Désignons par x le nombre de minâtes comprises entre le n* 12 et le point où la innde aiguille est sur le prolongement de la petite ; le nombre des minutes parcourues dans le môme temps par la petite est ar — 10 — 30 ou x — 40. Comme dans le cas précédent, x vaut 12 fois c-iO| et on a Téquation

x«(x-40)Xa

OntrouTe ensuite

a;8l?x — 480, 480 -> ilx,

Ainsi, les deux aiguilles sont Tune sur le prolongement de Tautre à 4^ 43- {j,

yrohléme 4. — Une personne place lesf d*un capital à 4,75 •/• et le reste h 5,5 •/. ; elle retire iio&i 493'%7S o'intérftt au bout de 72 jours. Quel est ce capital?— (l^roblème donné dans Y Académie de Ufon, 1876. — Atpirants; brevet simple — V. ci-dessus, p. 286.)

Remarquons d'abord que 7^ Jours sont la &• par* tie de l'année, et représentons par x le capital

clurcbé : lee j de ce capital sont -j^ et le reste

D'après la régie ordinaire, l'intérêt de la l** partie serait pour 1 an 3.TXU5.

poor72 Jours il sera