n peut se présenter une chrconstance dont
ÉQUATIONS
ÉQUATIONS
fl est bon d'ôtre préTenu. Les deux éqaations proposées étant mises sous la forme ox + by =s c, il peut arriver que les coefficients des deux inconues soient proportionnels ; et alors, en multipliant en croix^ comme il a été expliqué plus haut, les premiers membres des deux équations deviennent identiques. Il faut alors distinguer deux cas : ou les seconds membres deviennent identiques aussi, et, les deux éouaUons se réduisant à une seule, le problème est vidéterminé : ou les membres sont différents, et alors les équations proposées sont inC'fnpatibleSf et le problème n'admet aucune solution.
Soient, par exemple, los deux équations
IOjt — 26v = m et 15ar — 39y»n.
En multipliant la première par 8 et la seconde pir '2, on obtient
8(kc — 78y = 3m et 8(te — 78y — 2n.
Les premiers membres étant identiques^ si 8m est égal à 2n il y a indétermination ; si 8m est différent de 2n il va incompatibilité.
10. — Équation» du premier degré à plus de S incoîmues. — Une équation à plusieurs inconnues est du premier degré lorsque, après avoir fait disparaître les dénominateurs, les inconnues n'y entrent qu*à la première puissance et n*y sont pas multipliées entre elles. Une équation du premier degré à trois inconnues, ouand on a fait passer tous les termes affectés de Tinconnue dans un même membre, les quantités connues dans Tautre, et opéré les réductions, est de la forme
flx + ôy -f ex =s </,
a, 6, c, d étant des quantités connues. Lorsqu'un problème comporte trois inconnues, il faut qu'il lournisso trois opérations, car, s'il n*en fournissait que deux, on pourrait attribuer une valeur arbitraire à l'une des inconnues et l'on aurait deux équations pour déterminer les deux autres. Supposons donc que l'on ait trois équations du premier degré entre les trois inconnues x, y, z, on ramène ce cas à celui de deux équations à deux inconnues, en éliminant l'une des trois inconnues, z par exem-
Sle, deux fois, entre l'une des trois équations et les eux autres. Quand les inconnues rc et y ont été déterminées, on substitue leurs valeurs dans l'une quelconque des équations primitives, qui donnera la valeur de z.
Supposons, par exemple, qu'un problème ait conduit aux trois équations
2j? + 3y — 2« = 8 aa: — 4y-f-4x«14 6ar -h 2y + 3x = 31
Si l'on multiplie la première par 2 et qu'on l'ajoute à la seconde, on obtient
Si l'on multiplie la première par 3 et la troisième par 2 et qu'on les ajoute, on irouTe
Ces deux équations en x et v donnent x es 2 et y s 3, et, en mettant ces valeurs dans l'une quelconque des équations proposées, on en tire s •=. 5.
11. >- Voici quelques problèmes conduisant à trois équations du premier degré à trois inconnues :
I. — Un bassin reçoit l'eau par trois roàmets. Si on les ouvre respectivement p* ndant 2, 3 e/ 4 heures, on orient un "ébit de 798 litres ; >iles temps sont respectivement 3, 4 et 2 heur s, le débit est d** 861 litres^ et si les temps sont respectivement 4, 2 et
3 heures, le débit est de 876 litres. On demamde combien chacun des robinets fournit d'eau par heure? En désignant par «, v, z les trois Ineonnues, on a immédiatement les trois équations
En éliminant s deux fois, entre la seconde et lei deux autres, on obtient les deux équations à deci inconnues
2 ni donnent x « 120 et y =» 90. Ces valeurs mises ans l'une des trois équations primitives donnent xa 72.
II. — Un nombre est composé de trois chiffnt dont la somme est 21; si ton permute les aeuj pretnier^ chiffres à gauche, il augmente de 180; ^t si on le retourne complètement, il augmente de ^; guet est ce nombt^ ?
Soit r le chiffre des centaines, y le chiffre des dizaines et z le chiffre des unités.
La première condition donno
La seconde donne
lOOy + JOx -f z = lOOx + lOy -I- z -f 180 ou 80y — 90a:=180,
ou encore y — jp = 2. (2)
La troisième fournit l'équation lOOz + l(ty + a?«B lOOx + lOy -I- z + 305
ou plus simplement
lî)
Ici la méthode d'élimination se simplifie ; car oo tire des équations (2) et (3) :
y=B«-f-2 et z = x + 4,
▼aleurs qui, substituées dans (I), donnent
x»S, d'où y = 7 et z = 9.
Le nombre demandé est donc 579.
III. Un marchand opère dans sot commerce m trois qualités de drap : dans une semaine il a vendu 60 mètres de la première qualité et AO de la stconde, et acheté lio mètre* de la troisième; dm une autre semaine il a vendu 20 mètres de la première, 100 mètres de la troisième, et acheté '0 mètres de la seconde; dans une troisième semaine, il a vendu 60 mètres de la seconde et 40 mètres de la troisième, et acheté 80 mètres de la première; la recette a surpassé la dépense deXi^frla première semaine, de A80 flf, la seconde, et de 798 fr. la troisième. On demande le prix aachei de chacune de ces trois gualités de drap, sachant que le prix de vente a dépassé de 20 pour 100 U prix dfaehat.
Soient X, y, z les prix d'achat d'un mètre de cbacune de ces qualités de drap ; le prix de veste s'en déduira en s'augmentant de 20 p. 1(A'«
c'est-k-dire de - ; le prix de vente sera donc pour o
chacune rx, - y et - z, ou 1,2t, l,2y l,2i.W»
lors los trois conditions fournies par renoncé donneront les trois équations:
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