h 2 "= (0 + ^) 3> d*où xs
et, en effet, dans 8 «m le père aura 42 ans et le fils 14.
m. — Un marchand de vin a acheté une pièce de vin à raison de 0 fr.,75 le litre; et, après y avoir ajouté 30 litres d'eau, il a vendu le mélange à l fr. le litre, et a gagné ainsibO fr. Que le était la conte nonce de la pièce? Soit x le nombre de litres qui exprime cette contenance. Le prix d'achat sera Ofr.,7& . x; le prix de vente sera («+80). 1 fr.; on devra donc avoir
(x + 30).l'— 0^,75. ««SV, d'où ««=240.
La pièce contenait donc 240 litres.
IV. '-On a fondu 2 kil. de monnaie dor fran» eaise avec 3^,48 de monnaie d'or autridnenne, et Von a obtenu un alliage au titre de 0,953 ; quel était le titre de Vor autrichien? Soit x le titre demandé. Les 2 kil. de monnaie française contiennent un poids d'or pur exprimé par 2^ X 0,9 ou 1^,8. Les 3^,48 d'or autrichien contiennent un poids d'or exprimé par 3^,48 x x; le poidk de For pur contenu dans l'alliage est donc 1S8 + 3S48. x. En même temps, le poids totel de l'alliage est 2 kil. -t- 3S48 ou 5^48. Le titre de l'alliase est le quotient du poids de Tor pur par le poioui total; on doit donc avob
B 0,953, d*où X a 0,9834. • • •
V. — Deux trains partent en même temps, l'un de Paris, Vautre de Rouen, et vont à ta rencontre l'un de Vautte, avec des vitesses moyennes respectives de 40 et de 80 kilomètres à Vheure. On demande à quelle distance de Paris ils se croiseront, sachant que la distance de Paris à Rouen est de 137 kilomètres. Soit x la distance demandée^ Le temps employé par le premier train pour parcllli^
rir la distance x est exprimé en heures par ^ ; le
temps employé parle second train pour parcourir la
distance est exprimé de même par
Hais
ÉQUATIONS
ÉQUATIONS
ces deux temps doivent 6tre égaux ; on doit donc atoip X 137 — a?
d'où l'on tire x = 78»»-,28S. ..
VI. — Un marchand a acheté à 5 /r. le mètre une certaine quantité (T étoffe. Il en a vendu le quart à raison deQfr, le mètre, le quart du reste aj fr., le cinquième de ce second reste à 8 /r., et enfin tout le reste à 9 fr. Il a réalisé ainsi un bénéfice de 221 />'. On demande combien il y avait de mètres de cette étoffe. Soit x le nombre de mètres demandé. Le prix d^achat est 5 fr. X ^ ou 5 a;. Le prix de vente se compose de plusieurs parties. En premier lieu le quart de x à raison de 6 fr.,
ou - ar . 6. Il reste cette première fois -r x ; le
quart de ce reste est jr; a;, qui a été vendu à raison
de 7 fr., et a produit 7^ x • 7. Le second reste est
T X — T- X ou r^ X. Le cinquième de ce second reste 4 lu 16
est ~ X, qui a été vendu & raison de 8 fr., et a pro-
duît ^ X, 8.11 est resté alors ts x — sr; x ou — x,
oU 1d ov oU
soit -- X, qui ont été vendus à raison de 9 fr., et
g ont produit — x. 9. L'excès de la somme de ces
prix de vente partiels sur 5 x doit faire 321 fr. ; on a donc inéquation
d'où Ton tire x= 80.
6. — Quantités négatives, — Il peut arriver que la réduction d'une équation du premier degré conduise, pour l'inconnue, à une valeur numérique précédée du signe— , comme — 6j ~a; c'est ce que l'on appelle une quantité négative. Une pareille expression, qui n'a aucun sens par elle-même, indique généralement un vice dans l'énoncé du problème ; elle fait supposer que l'inconnue, si on l'a regardée comme additive, devrait au contraire être regardée comme soustractive, ou vice versa. Pour rectifier l'énoncé, on change x en — x dans l'équa- Uon du problème, ou — - x en -f x; et l'on cherche quelle modification il faut apporter à l'énoncé pour qu il conduise à la nouvelle équation. Comme le signe de l'inconnue se trouve ainsi changé dans toute la suite des calculs, on est conduit à la môme valeur que précédemment, mais changée de signe.
Supposons, par exemple, que l'on demande quel nombre il faut ajouter aux deux termes de la fraction 8 1
r^ pour obtenir une fraction équivalente à =. On
trouve immédiatement pour l'équation du problème
^=1, d'Où .= -«.
Mais si Ton change x, en — - x on obtient la nou- ▼elle équation
8 — X 1 . , 5j--^ = j, qui donne x-+8.
On rectifiera donc renoncé en demandant quel nombre il faut retrancher des deux termes delà frac-
tion — pour obtenir une fraction équivalente à • :
dès lors x«8 est bien la solution du problème,
car si l'on retranche 3 aux deux termes de la £rae-
tion donnée, on obtient r-- qui équivaut en effet à p.
Les solutions négatives s'interprètent très facUement quand l'inconnue est susceptible d*ètre comptée dans deux sens opposés, comme un gain ou une perte, un temps compté postérieurement ou antérieurement à une époque déterminée, une longueur susceptible d'être portée à la suite d'une autre dans un sens ou dans le sens contraire. Noos ne saurions, sans sortir des limites imposées à cet arUcle, donner des exemples de ee genre d^interprétation .
6. — Mais le besoin de généraliser les formules a fait introduire les quantités négatires dans le calcul, d'après les mêmes règles que pour les quantités positives. Ainsi, |)our ajouter a a la quantité — 6, on l'écrit à la suite de a en lui conserrant son signe, et l'on a a — 6 pour le résulut de Taddition. De même pour soustraire — b de a, onl'écrit à la suite en changeant son signe, et Ton a a+ b pour le résultat de la soustraction. On a vu à l'article Algèbre la rèele des signes dans la multiplication et dans la dfivision ; cette règle, introduite par les opérations sur les polynômes, s*étend aux monômes isolés. Il en résulte que les formules algébriques s'appliquent non seulement à des valeurs entières ou fractionnaires, mais poaitiTes, des lettres qui y entrent, mais encore à des Taleors négatives de ces mêmes lettres. Cette généralité est un des caractères de l'algèbre; mais nous n'insisterons pas davantage sur ce point, parce (^u'on a rarement à en faire usage dans les questions de pure arithmétique.
7. — Equations du premier degré à deux ifh connues. — Une équation à deux inconnues est dite du premier degt^é lorsque, après qu'on a fait disparaître les dénominateurs, ces inconnues n'y entrent qu'à la première puissance et n'y sont pas multipliées entre elles. Une pareille éouation, quand on fait passer les termes inconnus dans un membre et les termes connus dans l'autre, et qu'on opère les réductions, se présente toujours sous la. forme
ax-f6y = c (1)
a^b^c étant des coefficients entiers ou fractionnaires, numériques ou algébriques, positifs on négatifs.
Si un problème à deux inconnues ne fournissait Qu'une seule équation pareille, la question serait évidemment indéterminée: car on pourrait, dans une équation de la forme (l), attribuer à y une valeur arbitraire, et l'on en déduirait la valeur carrespondante de x. Pour que le problème soit déterminé, il faut qu'il fournisse deux équations, s'il comporte deux inconnues. La méthode de solution consiste alors à déduire de ces deux équations à deux inconnues une équation ne renfermant plus qu'une inconnue; c'est ce que l'on appelle éliminer une inconnue.
Supposons, par exemple, qu'un problème ait fourni les deux équations
bx + lysslO et 6x — 5y«17.
On n'altérera pas ces deux équations en multipliant tous les termes de la première par le coefficient 5 de y dans la seconde, et tous les termes de la seconde par le coefficient 7 de ^ dans la première, ce qui donne
25x-f3S^ = 350 et 42x — 3S^«n9.
Si l'on ajoute alors ces deux équations membre à . membre, on obtient •
ÉQUATIONS
ÉQUATIONS
équation qai ne renferme plus qae l'inconnae x, et d*où l'on tire a « 7. Si alors on remplace x par 7 dans Tane ou l'autre des équations primitives, on en tire également y » 5.
Si, dans les deux équations, les termes en y avaient été de même bigne, il aurait fallu, après les multiplications indiquées, les soustraire au lieu de les ajouter, pour éliminer Tinconnue y. Ce mode d'élimination, le plus simple de tous, est connu sous le nom de méthode par multiplication en croix.
8. — Voici quelques exemples de problèmes conduisant à deux équations du premier degré à deux inconnues.
I. — On a deitx espèces de pièces de monnaie étrangère : 5 pièces de la première espèce et J pièces de la seconde font 18 />*. ; et 18 pièces de la première surpassent de r',05 5 pièces de la seconde ; Quelles sont les valeurs de ces aettx espèces de pièces ? En appelant x et y ces valeurs, la première condi» tien conduit à Téquation
et la seconde à Téquation
18x»»5y+lS05 ou ISx — 5y»l,05.
Pour éliminer y, on multipliera donc la première équation par 5 et la seconde par 2, et Ton ajoutera membre à membre, ce qui donne
61x>»67S10 d'où a? = l»,10. ,
Remplaçant ensuite x par l'^,10 dans la première, on en lire y ss 3^,75.
II. -— TfHMiver une fraction telle otte, si l'on augmente ses deux termes de 3 unités, elle devienne
équivalente à --ti ^' Çue, si l'on diminue au contraire ses deux termes d'une unités elle devienne équivalente à -r-.
Soient x le numérateur et y le dénominateur de la fraction cherchée ; les deux conditions de renoncé conduisent inmiédiatement aux deux équations
= T. et
ou, en faisant disparaître les dénominateurs et réduisant à la forme (1) ci-dessus :
6x — 5y = — 3 et 4a; — 8y « -f- 1.
Multipliant la première par 3, la seconde par 5 et retranchant membre à membre, on obtient
2x-b14, tfoù xssT.
Remplaçant alors x par 7 dans une des deux équv tions précédentest.on en tire y» 9.
La fraction demandée est donc «^ ; ce qu*il est
facile de vérifier.
III. — Un bassin reçoit l'eau par un robinet A, et Veau €en écoule par un robtnet B. Si le robinet A est ouvert pendant 3 heures, et le robinet B pendant A heures, le bassin contiendra 40 litres de plus; si le robinet A reste ouvert pendant b heures et le robinet B pendant 6 heures, la quantité d'eau aura auamenti de liO litres. On demande combien chacun ae ces robinets débite d'eau dans une heure. Six est le débit du robinet A, et y celui du robinet B, les deux conditions de renoncé seront exprimées par les équations
Zx — iy^AO et 5r — 6y = 120.
Pour rendre égaux ces deux coefficients de y, U
n^est pas nécessaire ici de multiplier la première équation par 6 et la seconde par 4 ; il suffit de multiplier la première par 3 et la seconde par 2, ce qui donne :
9x— 13y»120 et lOx « 12y == 240,
et, en retranchant la première de la seconde, «=? 1 20. La première des deux équations primitives donne alors y -s 80.
IV. — St ton augmente de i* la base d'un rec» tangle, mais qu'on €Uminue sa hauteur r/e 2°>, sa surface diminue de M^ : si Von diminue au contraire sa base de 2* et qv^on augmente sa hauteur de l^, sa surface diminue de 1^;on demande sa base et sa hauteur, sachant que sa surface a pour expression le produit de sa base par sa hauteur. Soient x la base et y la hauteur.
Les deux conditions de renoncé sont exprimées par les équations
(«-f l)(y— 2)«:ay— 52 et («-2)(y-fl)=xy— 7.
En effectuant les multiplications Indiquées, et réduisant, on obtient
2» — yssSO et 2y — x — 5.
Multipliant la première par 2 et ajoutant membre à membre, U vient
3x«105, d'où x=35.
La première des deux équations donne alors y = 20.
V. — Un nombre est composé de deux chiffi^es tfont la somme absolue est lu; si Von retourna ce nombre, il diminue de 18 unités. Quel est ce nombre?
Soit x le chiffre des dizaines et y le chiffre des unités. La première condition fournit immédiatement l'équation
La seconde condition est exprimée par
10« + y»=»lQy-f «+18 ou Ox — 9y«18,
ou encore x — y «= 2.
11 s'agit donc de trouver deux nombres dont la somme est 16 et la différence 2 ; on les obtient en additionnant membre à membre, ou en retranciiant, ce qui donne X =s 9 et y = 7. Le nombre demandé est donc 97.
VI. — Un voyageur qui a marché dune manière régulière pendant un certain nombre de jours remarque que, s'il avait fait 4 kilomètres de plus par jour, et qu'il eût marché un Jour de moins, il aurait fait en tout 6 kilomètres de plus; aue si au contraire il avait marché un jour de plus, mais qt^tl eût fait 2 kilomètres de moins par four, ii aurait fait en tout 8 kilomètres de plus. On demande comhien il a marché de jours, et combien il faisait de kilomètres par jour. Si x représente le nombre de Jours de marche et y le nombre de kilomètres faits par Jour, les deux conditions du problème seront exprimées par les équations
(y+4)(x-l)=xy-|-6 et (y-2)(x-|-I)— xy+8
on, en simplifiant,
4x*y — 10 et y — 2x=sslO.
Comme y a le même coefficient numérique dans les deux équations, mais avec un signe contraire, on élimine immédiatement cette inconnue en ajoutant les deux équations membre à membre, ce qui donne 2x = 20, d'où x — 10. Par suite y «-^ 30.
