IV. On a trois lingots qm contiennent

le premier 2 k. (for^ 3 k. (t argent, 4 k. de cuivre le second $ —. 4 — 3 — le troisième 4 — 5 — 9 ^

Combien faut-il prendre de chacun d'eux pour former un quatrième lingot qui cvntienne

75«» d:ùr, \W d^argent et 149*' de cuivre ?

Soient x, y, % les nombres de grammes de chacun des trois premiers lingots qu'il faut prendre pour former le quatrième. On remarque que, dans le premier lingot, il y a i^ d*or sur 2 -f 3 -h 4 ou 9^,

c'est-à-dire que Tor y entre pour r. Dans le second lingot Tor entre pour — , et dans le troisième pour — • ^ métal entrera en mômes pro-

portions dans les parties x^y.z qu'on prendra des trois lingots; on devra donc avoir

Nous ne croyons pas nécessaire de développer ici cette question.

1 3.— Equations du second degré, ^Vne équation à une inconnue est dite du second degré lorsque, après avoir fait disparaître les dénominateurs, Tinconnue y entre à fa seconde puissance.

La plus simple des équations du second degré est une équation de la forme x* a 49. On voit, dans ce sens, que x représente un nombre qui, élevé au carré, donne 49, ainsi x a=s 7 est une solution. Mais il est évident que x ss — 7 en est une autre, car, d'après la règle des signes, le produit de — 7 par — 7 est aussi + 49. On réunit ces deux solutions en écrivant

En raisonnant de même pour Targent et pour le cuivre, on obtiendra les équations

En réduisant tout au dénominateur 36, et multipliant par 36, on met ces équations sous la forme

8aî+ 9y+ 8z = 2700, 12x+12y + 10z = 3600, 16x + 15^ + 18*==: 5364.

En éliminant x entre (I) et (2) et entre (1) et (3), on obtient :

3y-|-4*=900 et 3y — 2z = 86, d*où s=?l44, puis ^»108.

Dès lors réquation (1) donne x » 72.

12. — Si Ton avait à résoudra quatre équations du pTsmifsr degré entre quatre inconnues, on ramènerait le problème au cas de trois équations à trois inconnues, en éliminant l'une des quatre inconnues trots fois, entre l'une des équations donu^/S et les trois aatres.

14. Lorsque, dans une équation du second degré, on a opéré toutes les réductions, elle ne peut contenir que trois espèces de termes : des termes en x*, des termes en x, et des termes indépendants de X. Telle est par exemple Téquation

que Ton peut écrire, en divisant par 8,

x*-lx + \ = 0. (3)

On ramène la résolution de cette équation à colle d'une équation de la forme (l) en remar-

quant que x* — ^ xsont les deux premiers termes

du carré d'un binôme dont le premier terme se-

rait X et le second - ; car on a :

Si donc nous ajoutons rr aux deux membres de réquation (3), ce qui n'altérera pas l'égalité, nous aurons

et, par conséquent, en extrayant la racine carrée des deux membres,

d*où enfin

= =tV/5|-t.

On conclut de ce calcul que, dani une équation de la forme (3), Vincounue est égale à la moitié du coefficient de la première puissance de x, changé de signCf plus ou moins la racine carrée du carré de cette moitié, suivi du terme indépendant de x, pris avec un signe contraire à celui qu'il avait dans le premier membre, ^

En réduisant sous le signe radical K , on

trouve „r. , dont la racine est ^ ; les deux valeurs

de rincunnuo sont donc

On peut vérifier, en effet, que ces deux valeurs satisfont à l'équation (1).

On pourra proposer aui élèves les exemples

ajs — 7x + i2=0, d'où a?=3 et x = 4*

ÉQUATIONS

5ii 9ar— 143 = 0, d'où x = n e» x = — G^*

7x» + 2x — 185=»0, d'où x=5 et «•= — ô^- Sj:!— 9x4- 6=0, d'où x=l et X — 2.

15. — Il peut arriver, dans ce calcul, qu'on ait à extraire la racine d'une quantité qui n'est point un carré exact; on sait que, dans ce cas, la racine ne peut être obtenue exactement ; c'est ce qu'on appelle une quantité incommensurable. Mais on peut en approcher autant qu'on le veut: on peut toujours trouver deux quantités commensurables, différant entre elles d'aussi peu qu'on le voudra, et dont les carrés comprennent entre eux la quantité dont on veut extraire la racine. Les valeurs approchées ainsi obtenues vont en se rapprochant, et tendent vers une limite commune qui est ce qu'on doit entendre par la valeur de la quantité incommensurable.

Nous donnerons pour exemple l'équation

d'où l'on tire

= f:^yfZ

Si l'on calcule la racine de 5 & un dix-millième près, on peut écrire

ou X = 13,6154... et X = 12,38f5...

16. — Il peut arriver aussi que, dans la valeur de X obtenue, le radical porte sur une quantité négative; dans ce cas le problème n'admet aucune solution. Il n'existe aucune quantité réelle, soit positive, soit négative, dont le carré soit négatif;

ainsi une expression telle que k— 3, K--7, etc., ne représente rien de réel; c'est ce que l'on appelle une quantité imaginaire. Cependant les valeurs imagmaires obtenues pour x satisfont à l'équation qui les a fournies, pourvu que l'on convienne d'appliquer aux quantités imaginaires les mêmes règles de calcul qu'aux quantités réelles ;

K — 1 étant regardé simplement comme une expression dont le carré est — I.

On peut môme se servir des quantités imaginaires pour démontrer certaines propriétés des quantités réelles ; mais ceci n'entre point dans notre sujet.

17. — Voici quelques exemples de problèmes conduisant k une équation du second degré à une inconnue :

I. — Une personne, qui a 120000' de capital, en a fait deux parts qui lui rapportent l'une 2800' par an et tautre 2 500'; on demande à quel taux la premiéi*e est placée, sachant que la seconde e^t placée à un taux plus élevé de V,

Soit X le taux demandé. La première part rapportant annuellement 2 HOO', on aura cette première part en multipliant l'intérêt par 100 et divisant par le taux, ce qui donne

On trouvera de même que la seconde part a pour expression

En écrivant que la somme de ces deux parts forme le capital de 120 OOu', on a l'équation

ÉQUATIONS

H?2222+?5o^=iîoooo

ou encore I2x« — 41x — 28 = 0,

d'où l'on tire x » 4, et une valeur négatire étrangère à la question.

II. — Partager 13 en deux parties telles que 2 fois le carré de la première plus 3 fois le carré de la seconde fasse ?42.

Soit X la première partte ; la seconde sera 13— x; et l'équation du problème sera

Efléetuaot les calculs et réduisant, on obtient

d'où l'on tire xsb5 et x:

III. — Partager \\ en deux parties teHtsque la somme de leurs cubes fasse 407.

Soit X la première partie; la seconde sera 11 —f; on aura donc

x»4.(ll— x)» = 407,

on, en développant et réduisant

d3x* — 863x-f 924 = 0, ou encore x« — llx + 28 = 0,

d'où l'on tire x = 4 et x = 7.

Ces deux solutions ne correspondent qu'à on même mode de partage, parce que les deux paru entrent symétriquement dans le calcul.

18. — Il n'entre pas dans le cadre de cet arUr:>; de traiter d'une manière générale des équations do second degré à 2 inconnues. Nous nous contente rons de donner deux exemples de ce calcul :

I. — Trouver la base et la hauteur dtvn wtangle sachant que son périmètre a 38 mètres et qtse sa surface est ae 84 mètres carrés.

Soient x la base et y la hauteur ; on aura les deu équations

2x -f 2y ss 38 et xy = 84.

La première peut s'écrire x-f-y = 19, d*eù y = 19 — X.

Si l'on met pour y cette valeur dons la seconde équation, elle devient

x(19 — x) = 8t ou X»— 19x-f-84«0,

d'où x=7 et x=12,

par suite y = 12 et y = 7.

II. — Pour clore un terrain de 360» de tour, ça a employé des planches toutes de même largeur, ri Vfin remarque que si les plancher avaient eu Sa^ timètres déplus en largeur, on aurait employé ^^ planches de moins. On demande le nombre d k largeur des planches employées.

Soient x la largeur des planches, exprimée en centimètres, et y le nombre des planches employées; on a d'abord

xy = 36000. (i)

La seconde condition est exprimée par réqnation

ou xy H- 6y — 200x — 1200 = 36000

Or, en remarquant que, en vertu de l'équation (i;i celle-ci se réduit à

6y— 200x=1200 ou 3y— 100x«600 (?)