I. — PRUSSE

éco&BS woaMÂ&ss.

troisième classe (2 heures). — Théorie du triangle, du parallélogramme et du cercle. Problème de construction.

Deuxième classe (2 heures). — Théorie des figures équivalentes et des figures semblables, et manière de les calculer. Stéréométrie.

Première classe. -- Dans la leçon d'arithmétique, une partie du temps est emplovée à la répétition de la géométrie, ainsi qu*à la théorie de son ensei* gnement.

il. — SUISSE.

éootH rusAimii ma càsenm ■■ asm.

Pbehibb degré. — Au premier degré, la perception et la représentation des éléments des formes géométriques a lieu, soit dans les leçons d'instruction, soit dans celles d'écriture et de dessin.

Deuxième degré, — Cinquième année. — A. Eléments de détendue. — Perception intuitive de ces éléments (solides, surfaces, lignes, points). Formation des lignes, des surfaces et des solides par le mouvement générateur des éléments (points, lignes, surfaces et solides).

B. Lione droite. — Direction des lignes droites déterminées par des points; les différentes directions dans l'espace; direction des lignes relativement Tune à l'autre. Mesures do longueur ; mesurage des lignes droites. Pro)>lèmes pratiques.

Sixième année. — A. AnglCt carré, rectangle et triangle. — Formation, idée et propriétés générales. Problèmes pratiques.

B. Evaluation des surfaces. — Mesures de superficie, mesurage du carré, du rectangle et du triangle. Problèmes pratiques.

Troisième degré. — Septième année. — ParaUéh*

gramme, trapèse et polùgone.

Huitième année. — Prisme. — Perception des angles dièdres et polyèdres. Formation et propriétés du prisme. Mesurage de la surface du prisme. Mesures de volumes. Cubage du prisme. Problèmes pratiques.

Neuvième nnnée. — • A. Cercle. — Formation et propriétés. Mesurage du cercle.

B. Cv/tncfre. — Mesurage de la surface et cutage du cylindre.

{Remarque. — Eu égard aux besoins pratiques de la vie, on fera procéder h de nombreux mesurages et cubages cTobJets réels.)

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. — l. BuT ET UTI- UTÉ DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. — Si nOUS VOU-

lons, par exemple» représenter un parallélipîpède rectangle, comme un livre fermé, une boite de compas, etc., nous dessinons la figure I et nous disons que le parallélipîpède rectangle est un solide ayant pour bases deux rectangles égaux et parallèles, et pour faces latérales, quatre rectangles perpendiculaires sur les premien.

nous avons fait un dessin penpectif (V. Perspective)qni imite assex bien le solide en question, mais qui n'est pas conforme à la définition, puisque, au lieu de six rectangles que Ton devrait vohr, il y en a deux seulement, et quatre parallélogrammes.

Si nous voulons, par exemple, représenter un

S)rlindre, comme un tube, une colonne, etc., nous essinons la figure} et nous disons que le cylindre est un corps rond qui a pour bases deux cercles parallèles et égaux.

Ici encore, le dessin n'est pas exact puisque les bases sont des ellipses au lieu d'être des cercles. Prenons maintenant deux pians formant un angle dièdre droit, l'un hofHsontal, l'autre vertical, et plaçons un parallélipipède rectangle sur le premier : l'empreinte du solide, c'est-à-dire sa vue en

lîÉOMÉTRlE DESCRIPTIVE — 870 — GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE

plan ou projection horixontafe^ donnera u Ion- 1* Représenter exactement de$ figures de teswut ffueuretsa largeur; faisons glisser ensuite le so- au moyen de dessins traces sur un seul plan; Bde contre le plan Tertical : son empreinte sur ce 2* résoudre tous tes problèmes relatif^ à ces fioum, plan, c*est-à-dire sa vue en ExaminonsrapidementlaretrésenUtiondes figorei

élévation ou projection verticale, donnera sa longueur et son épaisseur, de sorte que les deux vuos réunies donneront exactement les trois dimen-

Examinons rapidement la représentation des figorei géométriques au moyen de la géométrie dtKriptif e, en commençant par la figure la pivs simple, qui est le point.

n. Li ponrr. — Pour construire tes p/rojedûmt dCun point de Fespaee sur deux plans, Cun hori' zontal et Vautre vertical^ on abaisse de ce pobU une perpendiculaire sur chaque plan: après quoi, SI ton rabat le plan vertical sur le prolongement du

?Um horixontni. en le faisant tourner autour de arête du dièdre drott. Us deux protections ds point sont sur une même perpendtculaire à cette arête, qu'on appelle ligne de terre.

La fleure 3 représente, en perspectiTe, un point A de 1 espace ainsi que le rabattement da plan

Fig. 1.

Fig. t.

sions du solide. Enfin, faisons tourner le plan vertlcal de manière à le rabattre sur le prolongement du plan borizontal : nous obtenons les deux vues Tis-a-TÎs Tune de Tautre sur un même plan.

Ces diff'érentes constructions sont indiquées par la figure 1 bis, qui représente une vue en plan et une tue en élévation d'une botte de com* pas.

En opérant de la même manière pour le cylin-

Fig. i bu.

Fig. t ùiê.

are, on obtient la figure 2 bis, que le lecteur comprendra facilement.

Nous avons fait, en second lieu, de la géométrie descriptive^ c*e8t-à«dire du dessin au moyen de la méthode des projections.

Nous voyons, par ces deux exemples simples, que le dessin orciinaire, quoique représenunt les corps d'une façon frappante pour 1 œil, même le moms exercé, est insuffisant pour en reproduire exactement la forme et les dimensions, tandis que la méthode des projections, qui exige une étude d'initiation, donne les images et les dimensions exactes des corps.

Vart des projections, comme on disait autrefois, existe depuis que les hommes bâtissent des édifices et construisent des machines. Toutes les fois qu'il a fallu confier à un ouvrier Texécution d'un claveau pour une voûte ou Tassemblage de deux pièces de bois, on a dû lui donner une vue en élévation et une vue en plan de ces objets, afin qu'il en connût les dimensions exactement. Mais ce qui était, à Torigine, un art à Tusage des architectes et des appareilleurs, est devenu, en outre, une science, appelée géométrie descriptive, à Tusage de tous, aussi bien du savant que du constructeur. Ost rillubtre Monge qui a posé les bases de cette science et qui s'en est servi pour résoudre les problèmes les plus intéressants.

La géométrie descriptive a donc un double but :

vertical sur le plan horixonlal et les projections a, a' de ce point. La fi^re 3 bis représente les projections du même point.

Fig. 8.

Plan, \9sfticaV

non, ks^4tb0niaL

?tg. % biê.

Les deux perpendiculaires Aa et Ao' sont les lignes projetantes du point A; elles forment un pian qui est perpendiculaire aux deux plans de projection et, par suite, k leur intersection LT. Ce

Elan est indiqué par le rectangle Ao'oa qui coupe T au pobit a et dans lequel

Aonafa, Ao'a ita,

d*oû ces deux règles importantes :

1* La distance dun point à sa pntjection horixontale est épate à la distance de sa projection verticale à la ligne de terre:

V La distance d'un notnt à sa projection verticale est égale à la distance de sa projection hori" zontale à la ligne de terre.

Problème. — On veut mettre en projection un point A de Tespace, situé à S mètres au-dessus dn plan horixontal et à 8 mètres en avant du plan vertical, et un point B de l'espace, dont les distances correspondantes sont 2 mètres et 4 mètres.

Il suffit de porter^ sur une j^erpendiculaire, en un point quelconque a de la ligne de terre (fig. 4), une longueur représentant 5 mètres au-dessus de cette ligne de terre et une longueur de S mètres en sens contraire, puis de porter, sur une autre

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE — 87i — GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE

r , , r , -„ Une ligne droite peut occuper plasieurs finfî-

songaeors représentant 2 mètres et 4 mètres, tiens particulières par rapport aux plans de j^m»

Fig. 4.

Fig. 5.

m. Lbs lignes. — Pour construire le$ projeelions d^u*»o H^ne quelconque de Cespace, on détermine les projections dCun certain nombre de points, que Ion réunit ensuite par un trait continu. Dans le eas particulier d'une liqne droite, il suffit de projeter deux points et de les joindre.

iMJJill

Fig. «

Ainsi les figures 6 et 6 àis représentent, en perspectiTO et en projection, une courbe queltonque ABC de Tespace, et les figures 1 cil bis représentent de la même manière une ligne droite AB de respace.

Fig. 7.

Fig. 7 6tf.

Jection. Ainsi, elle peut être parallèle au plan h»rizontal et oblique au plan vertical (Ex. : la ligne ab, a'I/, fig. 8) ; elle peut être parallèle au ^m Tortical et oblique au plan horizontal f Ex. : la ligne a6, cfb\ flg. 0) ; elle peut être parallèle aux dan

Flg. 8. Fig. •.•

plans de projection et, par suite> k la ligne 4e terre (Ex. : al, c^b\ fig. 10); elle peut être pev-

cl ô-

Fig. 10.

pendiculaire au plan horizontal et reposer sur ee plan horizonUl (Ex. : a, a'b\ fig. 11), ou perpendiculaire au plan horizontal sans toucher ce plan (Ex. : a, afbr, fig. 13) ; elle peut être perpendieelaire au plan Tertical et être appliquée ou non contre ce plan vertical (Ex. : ab, cr, flg. 13) ; enfle

Flg. Il,

elle peut être située dans nn plan dit de profii, c*e8tràrdire perpendiculaire aux deux plans de projection (£x. : ab^ a'O', fig. 14 et 14 bis).