ALEXANDRIE
ALGÈBRE
de saint Wibrod ; un poème sur les évoques et les saints de cette église d'York, où il avait été élevé et qu'il n'oublia jamais ; 280 pièces de vers ; enfin un recueil de 232 lettres, dont 30 adressées à Char lemagne, les autres aux hommes les plus distingués de son siècle ; c'est dans cette correspondance que l'on peut apprécier l'étendue de son savoir, son amour pour le vrai et le beau, les excellents conseils qu'il donne au prince chaque fois qu'il a l'occasion de plaider auprès de lui la cause de la justice, des pauvres, des opprimés, des prisonniers, enfin les motifs de sa reconnaissance et de son admiration pour celui qu'il nomme « la félicité du royaume, le salut du peuple, la splendeur des églises, le protecteur de tous les fidèles du Christ ».
Cf. Francis Monnier, Alevin et Churlemagne. Paris, 1863. — Dom Remy Ceillier. Alcuin dans son Histoire générale îles auteurs sacrés, t. XII. Paris, 1862. — F. Hamelin, Essai sur la vie et les ouvrages a' Alcuin. Paris. I87d.
[L. Maggiolo.] ALEXANDRIE (École catéchétique d'). — Si nous mentionnons ici cette école fameuse, ce n'est pas que nous puissions avec quelque certitude parler de son influence sur l'enseignement populaire. Mais elle forme en quelque sorte la transition entre les deux mondes, entre les deux méthodes générales d'éducation dont l'une a fait la société antique, l'autre la société moderne.
Fondée vers l'an 180 par Panténus, stoïcien converti au christianisme, elle atteignit son apogée sous la direction de Clément d'Alexandrie (211) et d'Origène (254), tous deux théologiens, illustres par leur science et par leur piété, mais tous deux aussi moins hostiles que la plupart des docteurs chrétiens aux études profanes, aux lettres anciennes, à la philosophie grecque en particulier. Tout en faisant de l'étude de l'Écriture sainte l'objet essentiel des études, les catéchistes alexandrins faisaient enseigner et parfois enseignaient eux-mêmes les connaissances accessoires, depuis la grammaire et la dialectique jusqu'à la musique et à l'astronomie. Le dernier professeur célèbre de l'école catéchétique fut Didymus, qui enseigna jusqu'à la fin du ive siècle : aveugle de naissance, il avait appris à lire et à écrire à l'aide de lettres en relief, et il était devenu un des premiers mathématiciens de son temps.
Au point de vue pédagogique, l'influence de l'école d'Alexandrie, si elle avait, prévalu au sein de l'Eglise chrétienne sur celle du clergé d'Occident , eût pu être immense : en prévenant l'excès d'indif- , férence ou de mépris pour la philosophie et poulies lettres anciennes, pour la Grèce classique en particulier, elle eût peut-être commencé dès les i premiers siècles du christianisme l'œuvre civilisatrice qui ne s'accomplit que bien plus dîfficii lement, mille ans plus tard, sous le nom de Rei naissance *.
j Alfred LE GiiAND. — Roi des Anglo-Saxons, ,871-901. Il fut pour ce peuple encore à demi barbare ce qu'avait été Charlemagne un siècle auparavant pour les peuples francs et germains. Nous n'avons à retracer ici ni la partie militaire, ni la partie politique de son règne, mais nous lui devons une place comme au premier fondateur des écoles dans un pays jusque-là étranger à toute culture intellectuelle. Alfred lui-même disait qu'il y avait « dans son royaume très peu d'hommes capables de comprendre leur office en anglais ou detr-duire une lettre écrite en latin ; je ne me rappelle pas, ajoute-t-il, en avoir trouvé un seul au sud de la Tamise quand j'ai commencé mon règne. » Aussi fit-il venir des savants étrangers, l'évoque de Reims llincmar, l'abbé Grimbald, le fameux théologien Jean Scot. Lui-môme, comme Charlemagne, donna l'exemple de l'étude; il avait près de quarante ans quand il apprit le latin, et il y fit de tels progrès, qu'il put traduire en langue saxonne les ouvrages \
qu'il crut le plus utile de faire connaître à ses sujets : une histoire de l'Eglise, un abrégé d'histoire générale auquel il joignit de curieuses notes géographiques, un traité de philosophie de Boèce, quelques méditations de saint Augustin, enfin le Pastoral ou livre des soins pastoraux, écrit par le pape saint Grégoire à l'usage du clergé. Le pieux monarque y ajouta une préface, où on le voit se préoccupant avec une véritable ardeur des moyens de répandre l'instruction parmi son peuple. Pour y contribuer, il envoya une copie de cette traduction à tous les évêques du royaume ; trois de ces copies existent encore. Peu de souverains ont laissé un exemple plus touchant de leur sollicitude pour l'instruction publique que ce roi qui se fait à la lettre le premier instituteur de ses sujets. Et l'on comprend que le peuple anglais soit fier de trouver au début de son histoire un roi dont les deux plus chères pensées ont été résumées en ces deux belles maximes qu'on lui attribue, l'une : « Les Anglais doivent être à toujours libres, aussi libres que leurs pensées ; » l'autre : « Les fils de tout homme libre doivent savoir lire et écrire. »
ALGÈBRE. — Cette partie des mathématiques, dont le nom même est la transcription défigurée d'un mot arabe, et qui sous sa forme première a été importée d'Arabie en Europe vers le treizième siècle, est une sorte d'arithmétique plus générale qui permet de faire entrer dans le calcul les quantités inconnues comme si elles étaient connues.
On examinera dans les deux paragraphes ci-dessous d'abord la place que fait actuellement à l'algèbre la législation scolaire des divers pays, ensuite les conditions, le caractère et le but de l'enseignement de cette science dans les écoles normales.
1. Législation. — L'algèbre figure au nombre des objets d'enseignement obligatoires dans les écoles normales de Prusse, de Bavière, de Hambourg, de Saxe, d'Autriche, d'Angleterre, de Danemark, de Hollande, de Suisse. Elle est également enseignée dans presque toutes les écoles normales d'instituteurs et d'institutrices des États-Unis et fait partie des matières d'examen pour le brevet définitif.
Elle est obligatoire dans les Reulschulen, dans les écoles secondaires et industrielles de Prusse, de Suisse, de Hollande, d'Espagne, ainsi que dans les hôhere Bùrgerschulen de Hambourg, d'Autriche, de Saxe et dans la plupart des high schools anglaises et américaines. Elle est en outre facultative dans un grand nombre d'écoles primaires supérieures et d'écoles complémentaires, en Hollande, en Suisse, en Allemagne, en Angleterre.
En France l'algèbre ne figure pas dans le programme des écoles normales, ni à plus forte raison dans celui des écoles primaires. Mais elle fait partie des cours d'études des écoles Turgot à Paris et elle entre aussi dans l'enseignement secondaire spécial.
2. Directions pédagogiques. — Chez nous, il peut encore paraître étrange de voir figurer l'algèbre dans un ouvrage consacré à l'instruction primaire ; mais c'est qu'on se représente l'algèbre dans toute son ampleur et jusque dans ses développements savants.
Ce n'est pas ainsi qu'elle doit être traitée dans les écoles normales. Mais, en laissant de côté les parties élevées de cette science, on en peut étudier à un point de vue principalement pratique les premiers éléments : les quatre opérations principales, la résolution des équations du premier « t du second degré. Ces notions suffisent pour prendre une idée des procédés généraux de l'algèbre, pour résoudre certains problèmes qu'on a le tort de proposer quelquefois en arithmétique, et qui, sans le secours des méthodes algébriques, ne sont le plus souvent que de véritables casse-tête, pour faire commodément certaines applications de la géométrie élémentaire, enfin pour traiter des ques tions d'arithmétique appliquée, telles que les in-
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térèts composés, les annuités, les amortissements.
La plupart des signes abréviatifs de l'algèbre sont déjà usités en arithmétique ; il est donc facile de montrer dès le début, par la résolution de quelques problèmes très simples, comment, en remplaçant les données numériques par des lettres de l'alphabet, on peut généraliser la méthode, et arriver à des formules générales dans lesquelles on n'a plus, pour chaque cas particulier, qu'à remplacer les lettres par des nombres.
L'addition et la soustraction ne présentent aucune difficulté. Mais il faut insister sur ce que les lettres représentent toujours des nombres entiers ou fractionnaires (quelquefois môme incommensurables, tels que \l%2, y/3, etc.), et faire vérifier fréquemment les opérations en remplaçant les lettres par des valeurs numériques.
La règle des signes dans la multiplication doit être d'abord établie sur des polynômes tels que a — b et c — d, dans lesquels on suppose la partie additive plus grande que la partie soustractive ; cela n'offre aucun embarras, et, une fois la règle établie avec cette restriction, on montrera qu'elle s'étend à tous les cas, et même à des monômes isolés, en vertu de cette tendance, caractéristique de l'algèbre, à généraliser ses procédés. Une fois la multiplication expliquée, l'exposition de la division sera très facile.
L'analogie des fractions algébriques avec les fractions ordinaires sert à en fixer promptement la théorie dans l'esprit des élèves. Il importe seulement d'insister sur ce que, dans les fractions algébriques, les termes peuvent être eux-mêmes des fractions ; et l'on exercera les élèves à vérifier les règles du calcul des fractions algébriques en attribuant aux lettres des valeurs numériques fractionnaires.
La résolution d'une équation du premier degré à une inconnue est des plus faciles. Dans la résolution d'un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, on emploiera de préférence la méthode qui consiste à multiplier en croix par les coefficients de l'inconnue que l'on veut éliminer ; cette méthode évite les dénominateurs, et se prête mieux à la discussion.
Il y a une marche générale à suivre pour la mise en équation des problèmes : c'est d'indiquer les opérations que l'on effectuerait si l'on voulait vérifier les valeurs des inconnues. Il faudra multiplier les exemples. Nous donnons en outre le conseil de ne pas chercher à diminuer le nombre des inconnues ; ce procédé n'est avantageux qu'en apparence, car il oblige à faire de tête les éliminations que l'on eût faites avec la plume si l'on avait employé toutes les inconnues que le problème comporte.
L'interprétation d'une valeur négative est facile et intéressante toutes les fois que la quantité dont il s'agit peut être comptée dans deux sens opposés, comme un gain ou une perte, une longueur mesurée vers la droite ou vers la gauche, un temps compté postérieurement ou antérieurement à une époque. Dans tous les cas on découvrira l'interprétation, s'il y en a une, en changeant, dans les les équations, le signe de l'inconnue pour laquelle on a obtenu une valeur négative, et en cherchant les modifications qu'il faut apporter à l'énoncé pour l'appliquer aux équations ainsi modifiées.
Les cas d'incompatibilité de deux équations ou d'indétermination du problème se reconnaissent sur les équations elles-mêmes quand on opère la multiplication en croix dont nous avons parlé plus haut, car les premiers membres deviennent identiques ; si les seconds ne le sont pas, il y a incompatibilité ; s'ils le sont, il y a indétermination. Ces
deux cas répondent aux formes — et — que
0 0^ prennent les valeurs générales. Mais il n'est pas nécessaire d'insister beaucoup sur ce point.
Avant d'aborder les équations du second degré, il importe de bien insister sur le double signe -±z de la racine carrée d'un nombre. La résolution d'une équation du second degré à une seule inconnue devra être étudiée d'abord sur des équations à coefficients numériques ; et ce n'est que lorsque les élèves seront suffisamment exercés qu'il sera utile de leur faire résoudre quelques équations littérales très simples. On pourra faire alors la discussion de l'équation générale , et s'en servir pour apprendre aux élèves à reconnaître la nature des racines sans résoudre l'équation.
A l'occasion des valeurs renfermant un radical du second degré portant sur un nombre qui n'est pas un carré parfait, on s'arrêtera un peu sur le sens à attribuer au mot incommensurable. On montrera par exemple que, bien qu'on ne puisse pas obtenir exactement la racine carrée de 3, on peut toujours trouver deux quantités fractionnaires différant entre elles aussi peu qu'on voudra, et dont les carrés comprennent entre eux le nombre 3 ; à mesure que ces quantités fractionnaire.} se rapprochent l'une de l'autre, elles tendent vers une limite commune, et c'est cette limite qui, par définition, est la racine carrée de 3. Ainsi les quantités incommensurables doivent être considérées comme limites de quantités commensurables.
On insistera peu sur les valeurs imaginaires. Cependant il sera bon de montrer que les racines imaginaires satisfont à l'équation d'où elles sont tirées, pourvu qu'on leur applique les mêmes règles de calcul qu'aux quantités réelles. Ce sera un nouvel exemple de la généralité de l'algèbre.
On pourra traiter quelques problèmes qui conduisent à deux équations à deux inconnues, dont une du second degré ; par exemple, chercher la base et la hauteur d'un rectangle, connaissant sa surface et son périmètre. Mais il sera prudent de ne pas pousser trop loin les exercices de ce genre.
Dans tout le cours il est important de multiplier les problèmes ; plus les élèves deviendront habiles à les résoudre, moins ils s'effraieront de l'emploi de l'algèbre. Ils verront que beaucoup de questions qui, traitées par l'arithmétique seule, leur avaient imposé un travail intellectuel considérable, et parfaitement inutile, deviennent au contraire extrêmement simples quand on a recours aux équations algébriques. On leur montrera, par exemple, combien certains sujets qui ont donné lieu à des échecs nombreux aux examens du brevet semblent inextricables par l'arithmétique et faciles à l'aide des procédés algébriques. Ils conserveront le souvenir de cette comparaison, et pourront en tirer parti dans leur carrière d'instituteur. [H. Sonnet.]
