M0 F = + F X OA, M0 F' = F' X OA

Cette convention est utile pour généraliser le3 formules et pour réduire à un seul plusieurs énoncés.

Proposition. — Etant donné un nombre quelconque de forces concourantes situées dans le même plan et leur résultante, le moment de celte résultante par rapport à im point quelconque du plan des forces est égal à la somme algéorique des moments des composa?ites.

Considérons d'abord le cas de deux forces concourantes F et F', appliquées au point A ; soit lî leur résultante et O le centre des moments (fig. Uj ; il faut démontrer que

R x OP" = F X OP + F' X OP'.

Pour cela il suffit de remarquer que chacun deces produits représente le double de l'aire d'un

MÉCANIQUE

Fig. 9.

triangle ayant pour sommet le point O et pour base la force considérée ainsi :

FXOP = 2 tri OAF,

F'xOP' = 2triOAF\

R X OP" = 2 tri OAR ;

tout revbnt donc à démontrer que

tri OAR = tri OAF+ tri OAF'

Prenons OA (fig. 10) pour base commune à ces triangles, abaissons des points F, F' et R les per-

pendiculaires FH, F'H', RK sur la direction OA: et menons FL parallèle à OA ; nous aurons :

RK = KL + LR = HL + F'IF

Ainsi la hauteur du triangle OAR est égale à la somme des hauteurs des deux aulres ; ce triangle OAR est donc équivalent à la somme des triangles OAF et OAF', et le moment de la résultante est égal à la somme des moments des composantes.

Dans le cas de la figure, les trois forces tendent à produire autour du point O des rotations fictives de même sens, et les trois moments sont positifs ; si les rotations étaient de sens contraires, l'énoncé du théorème serait encore exact, en tenant compte des signes que nous sommes convenus d'attribuer aux moments.

Soit maintenant un nombre quelconq ue de forces F, F', Fv,.... concourantes et P. leur résultante; nous composerons d'abord F et F' en une seule R1; et nous aurons:

il faudra composer maintenant Rt et la troisième force F", ce qui donnera une résultante R9, pour laquelle

M0R* = MoRi + Mo F", ou

et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on ait composé toutes les forces. Nous aurons donc en définitive:

M0 R = M0 F + Mfl F' + M0 F" + M, F'" ■+■ ....

et la généralité du théorème est démontrée.

Utilité du théorème des mounnts. — La proposition piécédente, connue sous le nom de théorème

de Varignon, permet de trouver la direction de la résultante d'un système de forces concourantes : si l'on a calculé l'intensité de cette résultante et son moment par rapport à un point O, on en conclura le bras de levier de cette force ; il suffira donc de décrire du point O pris pour centre une circonférence avec ce bras de levier pour rayon et de mener parle point A, où concourent toutes les forces, des tangentes à cette circonférence ; celle de ces deux tangentes dont le moment aura le même signe que la somme algébrique des moments des composantes F, F', F"... sera précisément la résultante cherchée.

Moments de forces concourantes non situées dans le même plan. — Si les forces angulaires F, F', F*,... que l'on compose, ne sont pas situées dans un même plan, on ne peut plus dire que le triangle ayant pour sommet un point O quelconque et pour base la résultante est équivalent à la somme des triangles ayant même sommet et pour bases les forces F, F', F". Mais ce théorème est encore exact si l'on projette sur un même plan le système des forces F, F', F".... et R.

Définition. — On appelle moment d'une fore? par rapport à un axe AB (fig. 1 H le moment de la

Fig. 11.

projection de la force sur un plan perpendiculaire à l'axe, le centre du moment étant le point où l'axe rencontre le plan de projection. Ainsi le moment de la force F' par rapport à l'axe AB s'obtient en projetant F' en F" sur un plan RR' perpendiculaire à AB et faisant le produit de F" par sa distance AS au pied de l'axe AB.

Proposition. — Si l'on considère un système de forces concourantes dirigées arbitrairement dans l'espace et leur résultante, le moment de cette résultante par rapport à un axe fixe quelconque est égal à la somme algébrique des moments des composantes.

Considérons d'abord (fig. 12} deux forces F et F'

MÉCANIQUE

concourant au point A ainsi que leur résultante I\, et projetons le parallélogramme ABCD sur un plan V; nous obtiendrons un parallélogramme abcd dont les cotés fetf sont les projections de F et de F' et dont la diagonale r est la projection de R. Si donc nous rapportons cette figure contenue dans le plan V à un point 0 quelconque de ce plan, nous aurons:

M0r = M0/-r-Mor

Mais, par définition, le moment de f par rapport au point 0 est précisément le moment de F par rapport à l'axe OX, nous aurons donc :

M/]R = M/1F-rM„F'.