BI

Q Al'

Cette proposition nous sera utile pour décomposer une force en deux autres forces parallèles, connaissant leurs points d'application.

Proposition III. — Le moment de la résultante de deux forces parallèles par rapport à un poi?it quelconque de leur plan est égnl à la somme algébrique des moments des composantes.

Nous admettrons ce théorème comme conséquence de celui relatif aux moments des forces angulaires ; nous considérons en effet les forces parallèles comme deux forces angulaires dont le point de rencontre s'est éloigné indéfiniment, et la proposition étant toujours vraie, quel que soit l'éloignement du point de rencontre, est encore vraie à la limite.

Proposition IV. — Deux forces parallèles et de setis contraires n'ont pas de résultante.

En effet, nous avons trouvé pour la distance BI :

BI = ABX

Fig. 17.

le moment de la force P (c'est la force F de la figure ci-contre) est PxOA ; celui de la seconde force Q (qui est la force — F de la figure) est QxOB ; ces deux moments de signes contraires ont pour somme :

(OB-OA)P = PXAB;

on voit donc que le moment d'un couple (fij. 18)

Fig. 18.

la force pour base et \e bras de levier pour hauteur ; ou bien encore par l'aire du parallélogramme qui aurait pour bases opposées les deux forces.

Problème. — Composer un nombre quelconque de forces parallèles appliquées à un corps solide.

Soient (fig. 19) les forces F,F',F",... appliquées

Fig. 19.

MKCANIQUE

MÉCANIQUE

aux points A,B.C,D d'un corps solide. Composons d'abord les deux premières F et F' ; leur résultante R, appliquée au point L, devra se composer avec F", ce qui fournira la résultante R2 appliquée en L2 ; en continuant ainsi, on obtiendra la résultante" définitive R appliquée au point L.

On voit donc que la résultante d'un nombre quelconque de forces parallèles et de même sens appliquées à différents points d'un corps solide est égale à leur somme, parallèle à leur direction, et agit dans le même sens que les forces proposées.

Si les forces parallèles n'étaient pas de môme gens, on composerait en une seule Rt les forces F, F', F", F"' qui tirent d'un côté, puis en une seule R2les forces Fi,Fi',F,",F, " qui tirent en sens contraire, et l'on aurait ainsi les résultantes partielles :

RÎ=F1 + F1' + F1"+F1"+...

Alors trois cas peuvent se présenter: 1° les résultantes partielles Rj et R2 sont inégales, elles se composeront en une seule et l'intensité de la résultante définitive sera :

R= (F + F'+...) - (Fj+Ft' +...);

e système de toutes les forces se réduira donc à une force unique.

2° Les forces Rj etR2 sont égales et directement opposées; leur résultante est nulle et toutes les forces appliquées au corps se font équilibre.

3° Les forces Rx et R2 sont égales, mais non directement opposées ; l'ensemble des forces proposées se réduit à un couple.

Centre des forces parallèles. — Etant donné un système de forces parallèles appliquées à un corps solide, si l'on incline successivement toutes les forces dans différentes direction*, de telle sorte qu'elles restent toujours parallèles entre elles et conservent leurs grandeurs et leurs points d'application, les résultantes du système dans ces différentes positions passeront toujours par le même point. Ce point s'appelle centre des forces parallèles.

Reprenons en effet la composition des forces parallèles F, F', F"...; la première résultante partielle Ri est appliquée au point Lt de AB dont la position ne dépend que des intensités de F et de F' et nullement de leur direction ; il en sera de même de la position du point L, d'application de la seconde résultante partielle R2, et ainsi de suite. On voit donc que la position du point d'application L de la résultante définitive R restera la même, quelle que soit la direction des forces parallèles.

Définition. — On appelle centre de gravité d'un corps le centre des forces parallèles, qui sont les poids de toutes les particules de ce corps.

Moments d'un système quelconque de forces parallèles appliquées en divers points d'un corps solide. — Projetons le système de forces parallèles 1\Q,S,T. et leur résultante R, sur un plan V parallèle a leur direction ; elles se projetteront en vraie grandeur. Prenons un point O quelconque de ce plan et abaissons de ce point des perpendiculaires p, q, s, t,... sur les projections de P, de Q,

de S...; les produits P/>, Qq R»' représenteront

les moments des forces P, Q... R par rapport au point O ou par rapport à l'axe OX perpendiculaire au plan V, et l'on aura, en considérant les forces parallèles comme un cas particulier des forces concourantes,

Rp+ )7 + Ss+... = Rr.

Ainsi, en donnant des signes convenables au moment, on peut dire encore ici que te moment de la résultante d'un système de forces parallèles par

rapport à un axe est égal à la somme algébrique des moments des composantes.

On donne souvent de ce théorème un autre énoncé, qui n'en diffère pas au fond, en introduisant une définition nouvelle, celle du moment il' une force par rapport à un plan parallèle à sa direction.

On appelle moment d'une force par rapport à un plan le produit de cette force par la distance de son point d'application u ce plan. Ainsi le moment de la force P (lig. 20) par rapport au plan V

Fig. 20.

qui lui est parallèle est égal à P X Aa; ce moment reste le même quel que soit le point du corps solide situé sur la direction de P auquel on suppose appliquée la force P.

Admettant cette définition, on peut dire que le moment de la résultante de plusieurs forces par rapport à un axe est égal à la somme des moments de* composantes.

En effet, prenons le cas de deux forces parallèles de même sens P et Q ; soit O le point de rencontre du plan V avec la ligne AB qui joint les points d'application, nous aurons, en prenant le moment des trois forces par rapport au point O :

R X CO = P X AO + Q x BO ;

mais les triangles semblables OAa, OBô, OCc, fournissent les valeurs :

OA = OCx^

OB = OCX^ Ce

et en substituant ces expressions dans la première égalité, on trouve, après avoir chassé le dénominateur:

RxCc = PXAa+ QxB6

On étendrait facilement cette proposition au cas d'un nombre de forces parallèles.

Il faut bien remarquer que ces moments par rapport au plan V ne sont autre chose que les moments des forces par rapporta un axe situé dans le plan V et perpendiculaire à la direction commune aux forces P, Q...En effet, si nous menons un plant perpendiculaire à V et parallèle aux forces, les distances Aa, B6, Ce, se trouvent reportées parallèlement à elles-mêmes sur le plan U aussi bien que les forces P et Q, quand on projette toute la figure sur ce nouveau plan U. Les distances Art, B6, sont donc précisément les distances d'un point quelconque de l'intersection des pi; ns U et V aux projections des forces P, Q..., ^ur le plan U, et l'on voit que les moments par rapport à un plan ne sont autre chose que les moments par rapport à un axe. La distinction nous paraît donc assez inutile; elle nous semble même fâcheuse parce qu'elle fait perdre de vue la généralité de cette proposition de géométrie qui s'applique aussi bien aux forces parallèles qu'aux forces concourantes, qu'aux forces dirigées arbi-

MÉCANIQUE

■trairement dans l'espace : si l'on projette sur un plan un système quelconque de forces et sa résultante, le triangle qui a pour sommet un point quelconque de ce plan et pour base la projection de la résultante est équivalent à la somme des triangles ayant même sommet et pour bases les projections des composantes.

Applications. — 1° Déterminer la position de la résulta?ite d'un système de forces parallèles à l'aide du théorème des moments.

Si l'on mène un premier plan V parallèle à la direction de ces forces P, Q, S, et si l'on mesure leurs distances p, q, s, au plan V, on aura pour le moment de la résultante :

Rr = Pp + Q7 + Ss

et l'on en tirera :

Pp + Qg + Ss-{

La résultante sera donc située dans un plan parallèle à V situé à la distance r. Si l'on mène maintenant un second plan V parallèle aux forces, on aura pour la distance r' de la résultante à ce plan V : •

P;/ + Qr/+Ss'+--.

La résultante R sera donc aussi comprise dans un plan parallèle à V et situé à la distance r'; R se trouvera donc à l'intersection de ces deux plans.

2° Déterminer la position du centre des forces parallèles ou du centre de gravité d'un corps.

SoientA,B, C,...lespointsd'application des forces parallèles F, F', F",...etL le centre des forces parallèles ; rapportons le système à trois plans de coordonnées rectangulaires XOY, XOZ, YOZ, et désignons par a, b, c les coordonnées du point A, par a', b', c' celles de B par x, y, z les coordonnées inconnues de L; nous aurons, en prenant les moments de F, F', F",... et de leur résultante R par rapport aux plans YOZ, XOZ, XOY :

Fa + F' a' + F''a" + ....

Fb -+- F'6' + F"b" + ....

Fc-j-FV+Fy + ....

Si nous supposons un corps pesant de poids P formé de n particules de poids égaux à p, nous aurons pour les coordonnées du centre de gravité :

np b + b' + b"

ses coordonnées sont les moyennes arithmétiques entre les coordonnées de ses différentes particules.

On en déduit :

1° Que le centre de gravité d'un corps qui a un centre de symétrie est précisément ce centre de symétrie ;

2° Que le centre de gravité d'un triangle est au point de rencontre de ses trois médianes;

3° Que le centre de gravité d'une pyramide est sur la droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base et au quart de cette ligne à partir de la base.

ISous ne pouvons indiquer ici tous les théorèmes remarquables sur les centres de gravité des surfaces et des volumes détinis géométriquement: nous renvoyons pour les énoncés et les démonstrations aux traités de statique.

Décomposition d'une force en d'autres forces parallèles. — Soit R la force donnée appliquée en I (fig. 13), il s'agit de la décomposer en deux autres forces parallèles appliquées aux points A et B situés sur la droite AIB et de part et d'autre du point I. Soient P et Q ces composantes inconnues ; nous avons déjà trouvé la relation

Bl'