Q=R.AI

Si le point I était sur le prolongement de AB (fig. 14), les deux composantes seraient de sens contraires ; !a plus grande serait appliquée en A, qui est le plus voisin de I, et l'on aurait pour les intensités de ces forces les mêmes expressions que plus haut. On peut se proposer de décomposer une force F en trois autres parallèles F', F", F'" (fig. 21), dont

les points d'application sont B, C, D. Soit A le point où la force F coupe le plan BCD ; nous supposerons d'abord ce point dans l'intérieur du triangle BCD. Joignons AB et décomposons F en deux forces, l'une F' appliquée en B, l'autre R au point E où AB rencontre le côté DG. Nous décomposerons ensuite la seconde force R en deux autres F" et F'" appliquées aux points G et D. Comme toutes ces forces sont de même sens, nous devrons avoir :

F = F'-j-F"-fF"'.

Lorsque la force F perce le plan du triangle BCD en un point A' situé en dehors du triangle, les trois composantes ne sont plus dirigées dans le même sens.

Composition d'un nombre quelconque de forces situées dans le même plan. — Proposition. — Un système de forces dirigées arbitrairement dans un même plan se réduit toujours à une force résultante unique ou à un seul couple.

Soient, en effet (fig. 22), les forces F, F', F"... ap-

pliquéesauxpointsM,M', M".... d'un plan , choisissons arbitrairement dans ce. plan deux points A .et B, et joignons-les au point M; nous pouvons décomposer la force F en deux autres /'et f\, dirigées

MÉCANIQUE

la première suivant MA, la seconde suivant MB; de môme, joignant M'A, Mil, nous décomposerons F' en deux autres fet/l, et ainsi de suite jusqu'à ce que chacune des forces proposées ait été ainsi décomposée en deux autres passant l'une par le point A, l'autre par le point B. Le système proposé sera alors remplacé par deux groupes de forces; le premier composé des forces

f, f, f" .... appliquées au point A,

le Becond des forces

Ai A'i fi" •••• appliquées au point B.

Le premier groupe donnera une résultante unique R,, le second la résultante Bg, et il ne restera plus qu'à composer ces deux résultantes partielles B, et B? : si elles ne sont pas parallèles et de sens contraire, elles se composeront en une seule B qui sera la résultante unique du système proposé ; si elles sont parallèles et de sens contraire, elles donneront un couple; enfin, si les deux forces B( et Bs sont égales et directement opposées, les forces proposées se feront équilibre.

Rcuatrque. — La décomposition précédente de chacune des forces proposées en deux autres / et fi n'altère ni la somme des projections de ces forces sur un axe quelconque, ni la somme de leurs moments par rapport à un point quelconque du plan. — De même, lorsque l'on compose en une seule toutes les forces appliquées aux points A et B, la somme des projections et la somme des moments est conservée ; on conclut de là les deux propositions suivantes :

1° Lorsque l'on a réduit à une seule force ou à un couple l'ensemble de plusieurs forces situées dans un même plan, la projection de la résultante ou du couple résultant sur un axe quelconque est égale à la somme algébrique des projections des forces proposées sur ce même axe ;

2° Le moment de la résultante ou du couple résultant par rapport à un point quelconque du plan des forces est égal à la somme algébrique des moments des forces proposées.

Problème I. — Déterminer la résultante unique d'un système de forces dirigées dans le même plan.

On tracera dans leur plan deux axes rectangulaires OX, OY, et l'on décomposera chacune des forces en deux autres dirigées parallèlement à ces axes; la somme algébrique de ces projections suivant OX, sera :

Xj = F cos a + F' cos a' + ...

celle des projections suivant OY sera

Yj = F sin a + F' sin a' + . ..

et la grandeur de la résultante B serr.

R^V^ + Yi*.

Sa direction sera donnée par les deux égalités

sin a = -T7 =

a étant l'angle que fait B avec l'axe OX.

Quant à sa position dans le plan, elle sera donnée par le théorème des moments. On calculera la somme des triangles ayant pour sommet commun le poiiit O et pour base les forces; ce sera la surface du triangle ayant pour base la résultante, et l'on en déduira facilement la hauteur. Alors du point O comme centre avec cette hauteur pour rayon on décrira un cercle, et la résultante sera la tangente à ce cercle parallèle à la direction trouvée plus haut et dont le moment a le signe convenable.

Proposition. — l'our qu'un corps sollicité par plusieurs forces situées dans un même plan soit

en équilibre, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient à la fois remplies :

1° Que la somme algébrique des projections de toutes les forces sur deux axes quelconques tracés dans ce plan soit nulle pour chacun de ces axes;

2° Que la somme des moments de ces forces par rapport au point de rencontre de ces axes soit égale à zéro.

En effet, pour que le corps soit en équilibre, il faut et il suffit que les forces appliquées se réduisent à deux forces égales et directement opposées; et lorsque ceci a lieu, la somme des projections et la somme des moments est nulle. Ces conditions sont de plus suffisantes, car si la première est remplie, les forces ont une résultante nulle ou se réduisent à un couple ; mais si la seconde condition est aussi remplie, les forces ne peuvent se réduire à un couple ; par conséquent, si les deux conditions précédentes ont lieu à la fois, le corps est en équilibre.

Composition d'un nombre quelconque de forces dirigées arbitrairement dans l'espace. — Proposition 1. — Un nombre quelconque de forces peut toujours se réduire à trois forces appliquées en trois points donnés à volonté dans le corps.

En effet (fig. 23) soit F l'une des forces données

Fig. 23.

appliquée au point M; joignons ce point à trois points arbitraires A, B, G, et décomposons la force F en trois autres dirigées suivant MA, MB, MC; faisons de même pour les autres forces F', F", F'".... Xous aurons en définitive un premier groupe de forces appliquées en A, un second en B, un troisième en C... Chacun de ces groupes donnera une résultante unique, et nous obtiendrons ainsi une force B appliquée en A, une force R' appliquée en B, et une force R7 passant par le point C. La réduction d'un système quelconque de forces à trois sera donc effectuée.

Proposition IL — U?i nombre quelconque de forces peut toujours se réduire à deux dont l'une passe par un point donné. — Béduisons d'abord le système proposa à trois forces B, B', B" appliquées aux points A, B, C choisis arbitrairement.

Menons un plan par la force B' et le point A (fig. 2 i),

un second plan par la force R'' et le point A; ces deux plans se couperont suivant la droite AD ; choisissons sur AD un point A' quelconque et traçons les lignes AC, AB, puis A'Oet A'B. La force R' pourra se décomposer en deux autres que l'on

MÉCANIQUE

MECANIQUE

transportera l'une en A, l'autre en A'. On peut de même décomposer la force R" en deux autres dirigées suivant les prolongements de AG et A'G et transporter ces composantes aux points A et A'. On n'aura donc plus en définitive que deux groupes de forces appliquées aux points A et A'; le premier groupe se réduira à une seule force Rj et le second groupe à une seconde force R2 ; nous aurons donc achevé la réduction à deux forces Rj et R2 du système de forces appliquées au corps solide. Il est important de bien se rappeler que l'une des résultantes partielles Rj passe par le point A choisi arbitrairement.

Remarque. — Lorsqu'on réduit un système de forces d'abord à trois, puis à deux résultantes partielles comme nous venons de le faire, on n'altère ni la somme des projections des forces sur un axe, ni la somme des moments. On peut donc dire :

1° Que la somme des projections sur un axe quelconque des résultantes Rj et R2 est égale à la somme des projections des forces primitives ;

2° Que la somme des moments de ces deux résultantes Rj et R2 par rapport à un axe quelconque est égale à la somme des moments de forces proposées.

Proposition III. — Pour que des forces quelcoa-

?ues appliquées à un corps solide se fassent équiibre, il faut et il suffit :

1° Que la somme des projections des forces proposées sur un axe quelconque soit égale à zéro;

2" Que la somme des moments de ces forces par rapport à un axe quelconque soit également nulle.

D'abord ces deux conditions sont nécessaires, car si les forces F, F', F' se font équilibre, les résultantes Rt et R2 doivent être égales et directement opposées ; la somme de leurs projections et celle de leurs moments sont donc séparément égales à zéro.

En second lieu ces conditions sont suffisantes : en effet, lorsque la première condition est satisfaite, les deux résultantes partielles R! et R2 sont égales, parallèles et dirigées en sens contraires ; elles se détruisent donc ou bien forment un couple; mais si la seconde condition est aussi remplie, Rj et Rj ne peuvent former un couple. Donc lorsque les deux conditions précédentes ont lieu à la fois, Rj et R2 tiennent le corps en équilibre, et il en est de même des forces proposées qui forment un système équivalent.

Des six équations d'équilibre. — On rapporte le corps et les forces qui le sollicitent à trois axes de coordonnées rectangulaires ox, oy, oz ; il est facile de voir que si la somme des projections des forces sur ces trois axes est séparément nulle pour chacun d'eux, la somme des projections sur un axe quelconque sera certainement nulle; de même si la somme des moments des forces appliquées est nulle pour chacun de ces axes, la somme des moments de ces forces pour un axe quelconque sera nulle également.

Les conditions que doivent remplir les forces appliquées à un corps pour tenir ce corps en équilibre ne sont donc pas en nombre infini ; elles sont au nombre de six, savoir :

La somme des projections des forces sur ox = 0

— — — oy = 0

— — — oz = 0.

La somme des moments par rapport à. . . ox = 0

On les écrit en abrégé de la manière suivante :