F =0, IF =0, IF
ox oy oz
ox oy oz '
le signe £ indique la somme de quantités analogues à celles qui suivent ; F veut dire projection
de F sur ox ; M F veut dire moment de F par rapport à ox.
Cas où le corps est mobile autour d'un point fixe. — S'il y a dans le corps un point fixe autour duquel il puisse tourner librement, on peut choisir ce point fixe pour le point d'application de la résultante partielle Rj; cette force est alors détruite par la résistance du point fixe supposée indéfinie. Pour l'équilibre il faudra que la seconde résultante partielle R2 passe également par le point A. ; en d'autres termes, les forces doivent se réduire à une seule passant par le point fixe A.
L'intensité de cette résultante totale est indifférente pour l'équilibre à cause de la résistance du point fixe; la seule chose importante, c'est que cette force passe par le point fixe. On voit donc que les trois premières équations d'équilibre, qui fournissent simplement l'intensité de la résultante, ne fournissent pas de conditions auxquelles les forces doivent satisfaire pour qu'il y ait équilibre ; il ne reste plus que les trois équations des moments qui fournissent l'aire et la position du triangle ayant le point A pour sommet et la résultante pour base. Ce triangle doit avoir une aire égale à zéro puisque la résultante passe par le point A ; ses trois projections sur les trois plans de coordonnées doivent être également nulles, les seules conditions que doivent remplir les forces se réduisent donc à
ox oy oz
Ainsi, quand un corps est mobile autour d'un point fixe, il faut et il suffit pour l'équilibre que ta somme algébrique des moments des forces par rapport à trois axes rectangulaires passant par le point soit nulle pour chacun d'eux.
Cas où le corps est mobile autour d'un axe fixe. — Supposons le corps mobile autour d'un axe fixe le long duquel il ne peut glisser, et en équilibre sous l'action de forces quelconques ; nous choisirons pour le point d'application A de la résultante partielle Rt, lequel est arbitraire, un point situé sur l'axe fixe ; cette force se trouvera détruite, et il est clair que la seconde résultante partielle R2 doit rencontrer aussi cet axe, sans quoi le corps ne serait pas en équilibre. Ainsi dans le cas actuel les deux résultantes partielles R1 et R2 doivent rencontrer l'axe de rotation ; peu importent leurs intensités, l'axe se chargera de détruire ces forces en leur opposant une résistance indéfinie ; donc les trois sommes de projections peuvent être quelconques et les trois premières équations d'équilibre peuvent être laissées de côté, elles ne fourniront aucune condition. Il n'en est pas de même des équations des moments. Si l'axe fixe a été choisi pour l'axe ox, les moments des forces Rt et R2 par rapport à ox doivent être nuls, puisqu'elles rencontrent toutes les deux l'axe, et c'est la seule condition qu'elles doivent remplir, car peu importe leur disposition par rapport aux deux autres axes.
La seule condition d'équilibre est donc :
ox
Ainsi quand un corps ne peut que tourner autour d'un axe fixe, il faut et il suffit pour l'équilibre que la somme algébrique des moments des forces données par rapport à cette droite soit égaleà zéro.
Si le corps pouvait glisser le long de l'axe ox, les résultantes Rj et P.2 ne tiendraient le corps en équilibre que si chacune était perpendiculaire à cet axe ; il faudrait pour l'équilibre que l'on eût une seconde condition :
MECANIQUE
MECANIQUE
^est-à-dire que la somme algébrique des protections des forces donnée t sur la droite te long le laquelle le corps peut glisser fût égale à zéro. Cas où le corps est assujetti à s'appuyer sur an plan fixe. — Si nous supposons qu'aucun frottement ne s'exerce entre le corps et le plan, il faudra que toutes les forces se réduisent à une seule, perpendiculaire au plan d'appui; son intensité du reste peut être quelconque, car le plan étant inébranlable détruira toujours cette force. Ainsi la somme algébrique des composantes perpendiculaires au plan peut avoir une valeur arbitraire, mais la somme des composantes parallèles au plan doit être nulle, sans quoi le corps glisserait sur le plan. Cette idée fournit les conditions d'équilibre qui en sont la traduction algébrique. Prenons pour plan des axes ox et og le plan rixe, et pour troisième axe la perpendiculaire oz à ce plan ; si nous projetons toutes les forces sur ox et sur og, la somme des composantes de chacun de ces groupes doit être séparément nulle, ce qui s'écrit en abrégé:
