MULTIPLICATION — 1366— MULTIPLICATION

iv les deux facteur*. Ainsi 7 X 8 indique le produit de 7 par 8; do môme 360X75 Indique 1<' produit de 869 par 75.

s. — Le produit dr deux nombres rente le »idmc, dans quelque ordre qu'on les multiplie. Soit, par exemple( a multiplier .'> par 8, on obtiendra tontes les unités «lu produit, si l'on écrit .S unités sur une même ligne, et qu'on écrive 3 de ces lignes comme l'indique le tableau ci-dessous:

M ils, au lien de compter 5 unités par ligne horizontale et de les répéter 3 fois, on peut compter :: unités par colonne verticale et les répéter 5 fois. (." tableau représente donc inditréremment le produit de 5 par 3, ou le produit de 3 par 5. Le ement étant indépendant des nombres 5 et

conclusion s'applique à deux nombres quel-

conques; ce qui démontre la proposition énoncée.

On peut la vérifier sur la table de multiplication;

ainsi 7 X 8 et 8 X " donnent également 56 ; 6X5

et 5X't donnent également 30.

Cette -pupriété sert à faire la preuve de la multiplication. La preuve d'une opération est une seconde opération que l'on exécute pour s'assurer de l'exactitude de la première. La preuve de la multiplication se fait naturellement en prenant le multiplicateur pour multiplicande et le multiplicande pour multiplicateur; le produit doit être I même. Soit, par exemple, à multiplier 729 par 358, on obtient directement 260,982 ; et, si l'on

imence l'opération en changeant l'ordre des facteurs, on obtient le môme produit ; ce qui peut faire supposer que la première opération était exacte :

9. — Tout produit d'un nombre par un autre est à\t multiple du premier. Ainsi le produit de 17 par un nombre quelconque est un multiple de 17. Ainsi encore chaque ligne horizontale de la table ù - multiplication renferme les multiples successifs du nombre placé en tête de cette ligne ; il en est de même pour les nombres inscrits dans une même colonne verticale.

On peut avoir à faire le produit de plus de deux nombres; on peut demander, par exemple, de multiplier 4 par 3, de multiplier le produit par 5, et ce dernier produit par 7. C'est ce que l'on appelle des multiplications successives ; le dernier résultat est regardé comme le produit de tous les lacteurs employés. Dans l'exemple ci-dessus, ce résultat pourrait s'écrire :

On démontre que le produit final est indépendant de l'ordre des multiplications.

10. C S. — Dans un produit de plus de deux facteurs, on peut toujours intervertir l'ordre des deux premiers, puisque la multiplication dont il - ".mit précède toutes les autres, et que dès lors on n'a à considérer qu'un produit de deux facteurs.

Mais on reconnaît facilement que l'on peut in- ; irvertir l'ordre de deux facteurs consécutifs queli mques. Par exemple, au lieu de multiplier 4 par ., et' le produit par 3, on peut multiplier 4 par :i, et le produit par 5. Ecrivons, en effet, 5 fois le

.< i sur une mèm tOM 3 foi*

ligue; nous aurons ce tableau :

qui, lorsque l'on compte par lipics borizontales, présente bien le produit de i par 5, répété c'est-à-dire (4X5)x3. Mais si l'on compte par verticales, ce même tableau présente le produit de i par ri, répété 5 fois, c'esta-dire (4 X 3) x 5. Ces deux produits sont donc équivalents ; et le môme raisonnement peut s'appliquer à des nombres quelconques.

11 en ré-ulte que l'on peut intervertir l'ordro dr> deux facteurs consécutifs quelconques, et, avec cette faculté, on peut, par des permutations sucs, amener ebaque facteur à occuper dans le produit tello place que l'on voudra. On peut donc admettre comme démontré qu'un produit de plusieurs facteurs e^t indépendant île l'ordre de ces facteurs.

11. — Au lieu de multiplier un nombre sucerssivement par plu-i^ur-; facteurs, on peut le multiplier par le produit effectué de ce mêmes fa<> teurs. Par exemple : au lieu de multiplier 4 successivement par 5 et le produit par 3, on peut multiplier 4 par le produit effectué de 5 et de :j.

En effet, l'ordre des facteurs successifs étant indifférent, on a :

ou, en changeant l'ordre de ces deux facteurs,

ce qui démontre la proposition pour trois facteurs.

On retendrait de la même manière à un nombre de facteurs quelconque.

Corollaires. — I. Pour multiplier un produit par un nombre, il .suffit de multiplier par ce nombre un quelconque des facteurs du produit. Je dis, par exemple, que, pour multiplier par 11 le produit 4 x 5 X 3, il suffit de multiplier par 1 1 le facteur 5. On a, en effet, d'après les propositions précédentes,

4x5x3x11 = 4 X5xllx3 = 4x (5 X 11) X3

le signe (5x11) représentant le produit effectué de 5 par 11. Cette égalité démontre la proposition.

11. On rend un produit 2, 3, 4, etc. fois plus grand en multipliant par 2, 3, 4, etc. l'un des facteurs de ce produit.

12. — Quand tous les facteurs d'un produit sont égaux, ce produit est ce que l'on appelle une puissance de l'un de ces facteurs ; cette puissance est d'ordre marqué par le nombre des facteurs égaux.

Ainsi

3X3 représente la seconde puissance de 3 ; 3X3X3 la troisième puissance de 3 ;

3X3X3X3 la quatrième puissance de 3;

etc.

Pour écrire une puissance d'un nombre, on se contente décrire ce nombre, et l'on place à sa droite, et un peu au-dessus, un nombre que l'on appelle un exposant et qui indique le nombre des facteurs égaux. Ainsi, 32, 33, 3», 33..., représentent la deuxième, la troisième, la quatrième, la cinquième puissance de A, etc.

Il résulte de ce qui a è\é dit au numéro 11, que multiplier un nombre successivement par 2, 3, 4, etc. facteurs égaux à un autre nombre, revient à le multiplier par la seconde, la troisième, la qua-

MUSACÉES

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trième, etc. puissance de ce second nombre. Ainsi 4 X 5 X 5 x 5 revient à 4 X 53.