VALE

OVALE

lement un axe ; 2° on donne les deux axes, comme dans l'ellipse.

I. Ovale a un axe. — 1° Soit AA' l'axe donné. On le divise en 3 parties égales (fig. 1); des points de division C et D pris pour centres, on décrit avec AG pour rayon deux circonférences qui se coupent; des deux points d'intersection I et E on mène les diamètres IM' et IN', EM et EN; puis du point E pour centre, on décrit avec EM pour rayon un arc de M en N, et de I pris pour centre, avec le même rayon, un arc de M' en N'. On obtient ainsi l'ovale AMNA'N'M', composé des deux arcs égaux MN et M'N' dont le rayon est double du rayon des deux autres.

Il est bon d'observer que le quadrilatère CIDE est un losange.

2° On divise l'axe AA' en 4 parties égales (fig. 2),

iiîl )A-

E4 Fig. 2.

et des trois points de division C,G,D pris pour centres, on décrit avec AC pour rayon trois circonférences qui se coupent deux à deux. Par le centre C de la première et chacun des deux points où elle est coupée par la seconde on mène deux droites; on fait de même par le centre D de la troisième et chacun des deux points où elle est coupée par la seconde. Ces droites en se rencontrant déterminant un losinge CtDE. Du point E pris pour centre avec EM pour rayon on décrit un arc de M en N ; puis du point I pris pour centre et avec le même rayon on décrit un arc de M' en N'. On a ainsi l'ovale AMNA'N'M', composé des deux arcs égaux MAM' et NA'N' raccordés par les arcs égaux MN et M'N'.

3° Si l'on veut avoir un ovale plus étroit que les deux précédents, on partage AA' en 5 parties égales (fig. 3j. Des points de division C et D, on

Fig. 3.

décrit avec CA pour rayon deux circonférences; puis des mêmes centres, avec la distance CD pour rayon, deux arcs passant en C et en D et se coupant aux points I et E. De chacun de ces deux

points on mène des droites par les centres C et D, ce qui forme un losange CIDE; puis du centre E avec EM pour rayon on décrit un arc de M en N, et du centre I avec le même rayon un arc de M' en N'. On obtient ainsi l'ovale AMNA'N'M'.

II. Anse de panier. — Dans la construction des ponts à voûte surbaissée, les ingénieurs préfèrent souvent la forme de l'ovale à celle d'une vraie ellipse, non seulement parce qu'elle se trace rapidement sur le papier, mais encore par la plus grande facilité qu'elle fournit pour l'exécution des panneaux destinés à la taille des voussoirs. Dans ces circonstances, ce n'est pas seulement le grand axe qui est donné par la largeur de la rivière, le petit axe est aussi déterminé par la hauteur que doit avoir le pont. On a donc cherché à former au moyen d'arcs de cercle des ovales dont les deux axes sont donnés. La moitié de l'ovale située d'un côté du grand axe est vulgairement appelée anse de panier; parmi les divers procédés employés pour décrire cette courbe, nous en indiquerons trois des plus simples.

1° Anse de panier à 3 centres. — Soit AA' le

''D Fig. 4.

grand axe (fig. 4), et OB, perpendiculaire au milieu de AA', la hauteur de la voûte.

Sur AA' pris pour diamètre, on décrit une demicirconférence qu'on divise en 3 parties égales aux points H et H' ; on mène les cordes AH, HG, GH', H'A' et les rayons OH et OH'. Puis du sommet B on tire BM parallèle à GH et BM' parallèle à GH' ; on mène, du point M, la droite MD parallèle au rayon HO, et de M' une parallèle au rayon H'O, qui doit aboutir au même point D du prolongement de BO.

Le triangle AMC est semblable au triangle équilatéral AHO; donc CM est égal à CA ; de même le triangle DMB est semblable au triangle isoscèle OHG; donc DM est égal à DB. D'après cela on décrit du centre C avec CA pour rayon l'arc AM, puis du centre D avec DM pour rayon un arc de M en B et en M', et enfin du centre C l'arc M'A'. On obtient ainsi l'anse de panier AMBM'A' à trois centres C, D, C

Cette construction est due à Huyghens, célèbre mathématicien hollandais du xvne siècle.

2° Anse de panier à 5 centres. — On divise en 5 parties égales AK = KH = HH', etc., la demi-circonférence décrite sur AA' comme diamètre (fig. 5) ; on mène les cordes AK,KH,HG,GH\ etc., et des rayons aux points K,HG,H',K'. On prend à volonté sur AO un point C, par exemple au milieu de AO, et par ce point on mène une parallèle au rayon KO. Du point M où elle rencontre la corde AK, on mène une parallèle à la corde KH, et du sommet B une parallèle à la corde GH; ces deux parallèles se rencontrent en un point N. De ce point N on tire une parallèle au ra3on HO ; elle coupe la droite MC et la direction du petit axe aux points F et D.

Par la similitude des triangles ACM et AKO, des triangles MNF et KHO, des triangles NBD et

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