Côtés de même grandeur, pentes égales

Fig. 10. — Côtés en pente comme 3 : 5.

Fig. 11. — Côtés en pente comme 1 : 7.

Pour compléter le carré (fig. 8), joindre S à H, par une diagonale qui déterminera le centre 0 sur l'axe.

Tracer de C en O, en la prolongeant, la 2e diagonale; sur ce prolongement, reporter du centre O la longueur CO on la diminuant d'un dixième environ (la diminution variera suivant la distance de l'élève au modèle), pour obtenir le quatrième angle D du carré.

Remarque. — On aura soin de faire remarquer aux élèves que ces procédés ne sont pas géométriquement exacts et qu'ils doivent être considérés comme des règles purement pratiques.

Cinquième exercice. — Pyramide droite à base carré? (fig. 12).

Tracer l'axe Ex; comparer aa à Ee (hauteur donnée du dessin); chercher le point A sur aa et construire le carré ABCD en perspective; en joignant ABCD au sommet E on terminera le tracé de la pyramide.

Sixième exercice. — Cube vretical. (Démonstration au tableau; modèle en fi!de fer copié par les élèves.)

PERSPECTIVE

Modèle en fil de fer; démonstration au tableau.) On donne la hauteur Ee de l'un des triangles de

baie (fig. "

Fig. 14.

On en déduit par comparaison la longueur ab ;. sur cette droite ab, chercher le point A et construire le rectangle en perspective ABDC.

Par le centre 0, faire passer la médiane ef (elle coupe les deux arêtes BA etDC un peu au delà de leur milieu).

Élever la verticale eE (hauteur donnée), joindre E/"et par le centre O élever la verticale Oo; en prolongeant eo on obtiendra le point F et l'on achèvera facilement le tracé.

Huitième exercice. — Cercle vertical inscrit dans un carré.

Le tracé géométral est d'abord reproduit par les élèves sur une dimension donnée (fig. 15).

Tracer l'axe vertical X (fig. 13) sur lequel on indiquera la hauteur du cube, soit : 15 centime- ! très.

Comparer la largeur MN avec la hauteur donnée.

Reporter la moitié de cette largeur à droite et à gauche de l'axe; tracer deux verticales indéfinies, AB et CD.

En comparant MP à PN, déterminer la troisième verticale EG indéfinie.

Reporter sur cette verticale la hauteur donnée (Om.i.) par ex.) de la figure.

Chercher la pente BG et construire le carré inférieur.

Avec la pente AE construire le carré supérieur.

Observation. — Ces deux opérations étant exactement faites, K se trouvera sur la verticale de H.

Recherche de la ligne d'horizon. — Dans l'exemple choisi, le carré supérieur est un peu plus fuyant en perspective que celui du bas; le rapport des hauteurs des deux bases du cube est en perspective de 2 à 3. Divisant la hauteur en 3 parties. MN, ligne d'horizon, se trouvera à la deuxième de ces parties.

Le professeur fera en outre remarquer que :

1° EC, AH, BK, GD, prolongées, se rencontreraient en un même point sur la ligne d'horizon.

Il en serait de mémo pour EA, GB, Cil, DK.

2° Que le point de vue est au milieu de la largeur du modèle sur la ligne d'horizon.

3e Connaissant simplement les pentes AE et CB on pourrait déterminer la ligne d'horizon.

Sbpi h mi: exercice. — Prisme triangulaire droit à oase isoscèle couché sur un plan .horizontal.

Tracer un carré parfait, les deux diagonales et les deux médianes EG et HK se coupent au centre du carré.

E,H,K,G, détermineront quatre points de contact du cercle.

Divisez OA en 7 parties égales, au delà du cinquième point de division portez 1/8 d'une division, vous obtiendrez un point du cercle. On opère de môme sur chaque demi-diagonale, ce qui donne 3 autres points.

Par ces huit points tracer le cercle en le rectifiant jusqu'à ce qu'il paraisse parfait à l'œil.

Tracé perspectif. — On demande ensuite aux élèves de mettre en perspective le modèle en fil de Fer fig. 10), ce modèle étant vertical.

Mettre premièrement en perspective le carré

ABC.D. Tracer les deux diagonales, élever en O la

verticale EG; tracer MN en divisant en deux par-

étrales AD et BC. (MN devra passer par le

point 0.)

PERSPECTIVE

Diviser chaque portion de diagonale en 7 parties. Par les 2/7 et les points de contact M,E N,G, déjà connus, faire passer le cercle.

PERSPECTIVE

Onzième exercice. — Cylindre d>oit à ba$>>s cirnvt/fires placé verticalement, d'après un modèle en fil de fer (fig. 19).

Fig. 16.

Neuvième exercice. — Cercle horizontal inscrit , dans un carré, à reproduire d'après un modèle en fil de fer (fig. 17).

Fig. 17.

On donne la plus grande dimension du cercle dessiné en perspective (AB=:0m,20j.

Chercher par comparaison le rapport de CD, diagonale du carré, à AB. Reporter C et D à égale distance de l'axe 0. Déterminer le point E, et construire le carré comme précédemment, on donnant à OF une grandeur égale aux y/ 10 environ de OE.

ParO, tracer une horizontale, et sur cette droite, de part et d'autre de 0, indiquer AB, diamètre du cercle.

Prendre les milieux m,7i,o,p, des côtés du carré en perspective.

Partager les demi-diagonales en 7 parties, faire une marque aux 2/7 en partant de l'angle extérieur.

Par ces huit points faire passer une ellipse qui représentera le cercle en perspective.

Dixième exercice. — Cône, à reproduire d'après un modèle en zinc (fig. 18).

Sur l'axe vertical indiquer EA, hauteur donnée, s'assurer de la largeur de la base BC comparée à AE. de la hauteur ho, ou AD comparée à BC. Tracer l'ellipse inférieure. Terminer le tracé du cône en menant par le sommet les arêtes EB et EC tangentes à l'ellipse de base.

Tracer l'axe GF, reporter à droite et à gauche la moitié du diamètre des cercles qui est donné. Établir la distance CA par rapport à CD, pour obtenir le rectangle C,D,A,B.

Tracer l'ellipse passant par CGD, puis celle passant par AB par rapport à la première.

Faire remarquer que les perspectives des cercles horizontaux sont d'autant plus déprimées qu'elles se rapprochent davantage de la ligne d'horizon.

Douzième exercice. — Cercles co?îceniriquesy d'après un modèle pu fil de fer (fig. 20,.

Fig. 20.

Chercher le rapport de CD à AB, longueur du diamètre donnée.

Tracer l'ellipse ABCD.

Trouver par comparaison la distance Ac par rapport à aO.

Trouver c et d en divisant OC et OD dans ia même proportion que AO et OB.

PERSPECTIVE

PESANTEUR

Remarque. — Ce procédé n'est qu'approximatif.

Treizième exercice. — Cercles verticaux parallèles, cylindre droit horizontal, d'après un modèle en fil d« fer (fig. 21).

Le diamètre AB étant donné, on déterminera le rectangle ABCD, en perspective, en comparant l'écartement EF des verticales AB et CD à leur longueur, traçant CD indéfinie en cherchant les inclinaisons BD et AC. Prenant les milieux E et F des deux axes verticaux, on obtiendra l'axe central EF de la figura.

Sur deux horizontales rnn et op on indiquera la largeur apparente de chaque cercle comparée à sa hauteur.

Ayant dans chaque cercle quatre points connus, on figurera ces cercles par des ellipses en les rectifiant jusqu'à complète satisfaction de l'œil.

Observation. — Pour les cercles en perspective : tracer le diamètre géométral, qu'il soit vertical, incliné ou horizontal, sur une perpendiculaire passant par le milieu de ce premier diamètre ; marquer la largeur apparente de l'ellipse.

Tracer le cercle en perspective par ces quatre points connus.

Quatorzième exercice. — Table à mettre en perpcctive d'après nature (fig. 22).

comparant à SS, construire le rectangle ABCil). Chercher ia position de a par rapport à Az, la saillie des points d et b. Construire le carré abcd. Par les points ABCD établir la base de chacun des pieds. En compléter le tracé et terminer par l'indication de l'épaisseur O.

Quinzième exercice. — Chandelier, à mettre en perspective d'après nature (fig. 23).

La distance SS donnée marque le point A sur

I on élèvera une verticale mdé&nie. Sur cette

verticale indiquer la hauteur ka dus pieds en la

Sur l'axe indiqué XX (hauteur donnée) chercher la dimension CC comparée à XX. Indiquer les hauteurs de B et A. Tracer la courbe inférieure, les épaisseurs Aa et B6. Terminer par le tracé des moulures.

Par la disposition des cercles il est facile, dans cet exemple, de déterminer la hauteur M\ de la ligne d'horizon. [Alexandre-Auguste Hirsch.]

PESANTEUR. — Physique, III. — Tous les corps, abandonnés à eux-mêmes, tombent vers la terre, sans avoir reçu aucune impulsion primitive. C'est un fait connu de tout le monde pour les solides et les liquides, et s'il est moins facile à constater pour l'air et les vapeurs, il ne s'applique pas moins à tous les corps gazeux sans exception. Comme tout mouvement suppose une force capable de le produire, on a donné le nom de pesanteur à la force qui fait tomber les corps.

Envisagée comme résultant de l'action du globe terrestre sur les corps que l'on éloigne de sa surface, la pesanteur n'est qu'un cas particulier du phénomène général de l'attraction *.

Considérée comme une force, elle doit avoir les trois caractères essentiels de toute force : la direction, l'intensité et le point d'application.

La pesanteur ne peut pas être assimilée à une impulsion unique, car les plus simpies observations prouvent que le mouvement de chute s'accélère graduellement ; elle agit donc d'une manière continue sur les corps ; et de plus, si rien ne contrarie son action, elle les fait tous tomber également vile, quelles que soient leurs dimensions ou leur nature.

Cette dernière proposition fut longtemps méconnue ; l'observation ordinaire indiquerait en effet que tous les corps tombant d'une môme hauteur n'arrivent pas à terre en même temps : les plus lourds arrivent les premiers; la balle de plomb met beaucoup moins de temps que le flocon de neige pour parcourir la môme distance. Mais ces différences de vitesse sont dues exclusivement à la présence de l'air. On le démontre très simplement a l'aide d'une expérience imaginée par Newton. Dans un tube de 2 ou 3 mètres de long on met de petits morceaux de plomb, de bois, de liège, de papier, de barbe de plume et on extrait l'air du tube. Si, quand il est vide d'air, on le retourne brusquement, on voit tous les corps

PESANTEUR

qu'il contient tomber en même temps ; mais si on laisse rentrer de l'air dans le tube, on voit reparaître les différences de chute qui existaient entre les corps.

L'influence de l'air se fait sentir également sur les liquides. Les différentes parties d'un jet liquide se divisent sous l'action de l'air, en tombant. Mais qu'on renferme de l'eau dans un tube dont on extrait l'air avant de fermer le tube, et que l'on retourne brusquement celui-ci, toutes les parties du liquide frapperont en même temps le fond, en produisant un bruit semblable au choc d'un corps solide : c'est l'expérience d'un marteau d'eau.

1. Direction de la pesanteur. — La rapidité de la chute pour les uns, la résistance de l'air pour les autres, empêchent de pouvoir déterminer la direction de la pesanteur d'après la chute libre des corps. Mais on l'obtient par l'appareil très simple connu de tout le monde sous le nom de fil à plomb. Que l'on suspende à l'extrémité d'un fil très flexible un petit corps comme un morceau de plomb : après un certain nombre d'oscillations, l'appareil sera en repos, le fil tendu par le corps. Il est bien évident que ce fil ne peut empêcher le mouvement de la balle de plomb à moins d'être dirigé suivant la ligne même que celle-ci tend à parcourir. Donc la direction de la chute du corps est donnée par le fil à plomb au repos.

Cette direction se nomme la verticale ; elle est constante en chaque lieu et perpendiculaire à la surface des eaux tranquilles. Comme la surface du globe terrestre est sensiblement sphérique, les verticales vont passer par le centre et sont en chaque point le prolongement du rayon terrestre. A cause de la grandeur relativement considérable de celui-ci, les verticales de deux endroits rapprochés sont très sensiblement parallèles. C'est sur cette remarque qu'est fondé l'emploi fréquent du fil à plomb et du niveau triangulaire des maçons pour établir la verticalité d'une arête ou d'un mur et l'horizontalité d'une surface.

2. Point d'application de la pesanteur. — Poids. — Centre de gravité. — La pesanteur agit sur tous les éléments matériels des corps : que l'on brise une pierre, chaque partie, si petite qu'elle soit, tombera comme le corps entier. On peut donc regarder chaque corps comme sollicité par autant de forces verticales qu'il contient de molécules matérielles. Toutes ces forces parallèles ont une résultante unique, appliquée en un point invariable de la position du corps. Cette force unique, résultante de toutes les actions de la pesanteur sur un corps, se nomme le poids de celui-ci, et le point d'application de cette résultante est le centre de gravité.

Des lors, pour contrebalancer l'effet de la pesanteur sur un corps, il faut opposer à la résultante de ses effets sur chaque point matériel une force égale et opposée à cette résultante, verticale comme elle. C'est de là qu'on peut dire, au point de vue purement physique, que le poids d'un corps c'est l'effort qu'il faut faire pour l'empêcher de tomber. Mais la pesanteur et le poids ne peuvent pas être confondus ; l'une est la cause, l'autre est l'effet.

La détermination du centre de gravité et la nécessite d'y appliquer une force égale et opposée à la résultante des actions de la pesanteur, pour arrêter la chute d'un corps, ont été examinés à l'article Equilibre*.

3. Intensité de la pesanteur. — L'expérience journalière prouve que la pesanteur est une force continue qui imprime aux corps un mouvement varié. Mais pourconnaître l'intensité de cette force, il fa;;t étudier de très près le mouvement qu'elle provoque sur les corps soumis à son action ; il faut donc d'abord déterminer expérimentalement les lois de la chute des corps.

! A. Lois de la chide des corps. — La rapidité de la chute crée une première difficulté, parce qu'elle rend pénible l'évaluation des espaces parcourus; [ la variation de la vitesse en crée une seconde, i puisque pour la bien constater il faudrait pouvoir, à un instant donné, supprimer la force qui produit le mouvement.

On n'expérimente donc pas sur la chute libre, à moins qu'on n'emploie l'appareil du général Morin, où un corps, guidé dans sa chute, trace sa marche sur un cylindre mobile animé d'un mouvement de vitesse connue. On déduit en effet les lois de la chute du corps de la comparaison de la marche qu'il a tracée, avec le temps pendant lequel il est tombé.

On préfère les appareils où le mouvement est rendu assez lent pour que les observations soient faciles et la résistance de l'air négligeable. Le plus ancien est le plan incliné de Galilée ; le plus employé est la machine d'Attwood.

1" Le plan incliné de Galilée était une sorte de gouttière demi-cylindrique creusée dans une pièce do bois que l'on pouvait incliner plus ou moins à l'horizon; le mobile était une balle de cuivre. Il paraît que Galilée employa pour le môme objet une longue corde bien tendue sur laquelle glissait un petit chariot à roulettes très mobiles. Dans cet appareil, à la chute directe était substituée la descente très ralentie le long du plan ; les vitesses possédées par le mobile aux différentes époques de son mouvement croissaient exactement comme en chute libre, seulement leurs grandeurs absolues étaient d'autant moindres que l'inclinaison du plan sur l'horizon était plus faible.

Dans tous les cas, les espaces parcourus dans le mouvement de descente furent trouvés proportionnels aux carrés des temps comptés depuis l'origine ; le mouvement était donc uniformément accéléré et la pesanteur une force constante.

2° Machine d'Atlwood. — Voici le principe de cet appareil. Si aux deux extrémités d'un fil très fin, enroulé sur une poulie très mobile, on attache des poids égaux, l'équilibre subsistera dans toutes les positions possibles. Mais si l'on pose sur l'un d'eux P' un petit poids additionnel p, tout le système se trouvera mis en mouvement ; le poids P'+f descendra tandis que P s'élèvera; seulement, à chaque époque du mouvement, la vitesse sera beaucoup plus petite que celle dont, au même instant, la masse additionnelle p eût été animée. Dans les deux cas, en effet, la force motrice efficace est toujours l'action de la pesanteur; mais dans le premier, la masse à faire mouvoir est égale à 2P + p. Si on suppose que les deux poids égaux soient chacun de 4(JSI'.5 et le poids additionnel de 1 gramme, la masse à mouvoir sera de 100 ; par conséquent, la vitesse acquise au bout du même temps sera 100 fois moindre. On comprend ainsi qu'on peut ralentir le mouvement des corps qui tombent sans altérer les lois de ce mouvement ; tout dépend du rapport qu'on établit entre les poids égaux P et le poids additionnel p, ou plutôt

de la valeur du rapport ■

L'appareil est fait d'une forte colonne de bois haute de 2 mètres et demi environ et terminée à sa partie supérieure par une plate-forme qui supporte la pièce principale, c'est-à-dire la poulie. Et pour obtenir la plus grande mobilité possible, on fait reposer chacun des bouts de l'axe de cette poulie, non pas dans un coussinet fixe, mais sur les circonférences croisées de deux roulettes très légères. Le fil qui porte les poids passe à travers la plate-forme et descend parallèlement à une règle divisée le long de laquelle se meuvent des curseurs pleins et évidés. que l'on peut arrêter en un point quelconque à l'aide d'une vis de pression.

PESANTEUR

Pour compléter l'appareil, un compteur à secondes est attaché à la colonne ; il donne la mesure du temps dans les expériences et il règle le départ du mobile dont on observe la chute.

On commence par déterminer, à l'aide de tâtonnements, l'espace exact parcouru par le mobile en une seconde. Soit par exemple 8 centimètres. On porte le curseur plein d'abord à quatre fuis 8 centimètres, soit 32, ensuite à neuf fois 8 centimètres, soit 72, et dans chacun de ces cas on constate que le mobile met deux secondes d'abord, trois secondes ensuite pour venir frapper sur le curseur. On en conclut que les espaces parcourus par un corps qui tombe sont proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir. La conséquence à tirer tout d'abord, c'est que le mouvement imprimé par la pesanteur est un mouvement uniformément accéléré.

Reste à vérifier la variation de la vitesse. Pour cela, on met sur la masse qui doit descendre un poids additionnel de forme allongée ; et l'on place un curseur évidé au point où il arrive après la première seconde. L'ouverture annulaire du curseur laisse passer la masse principale, mais arrête le poids additionnel, en sorte que laction de la force accélératrice se trouve instantanément supprimée. Alors le mouvement devient uniforme et l'espace parcouru uniformément dans la deuxième seconde est double de celui qui l'a été pendant la première, d'un mouvement accéléré.

On recommence l'expérience en n'enlevant la masse accélératrice qu'après deux secondes de chute, et on constate que la vitesse acquise est double de ce qu'elle était à la fin de la première seconde.

La vitesse croît donc proportionnellement au temps.

La machine d'Atwood permet de constater toutes les conditions du mouvement varié, d'établir que la pesanteur est une force constante, et que l'accélération, ou la vitesse acquise à la fin de la première seconde, est double de l'espace parcouru pendant cette première seconde.

Cette accélération due à la pesanteur lui sert de mesure, et on lui donne le nom d'intensité de la pesanteur. On la représente habituellement par g, et si l'on appelle v et e ia vitesse et l'espace après un nombre de secondes égal à t, les formules de la chute des corps ou du mouvement varié sans vitesse initiale sont :

et en éliminant t.

v = \1 ge

La machine d'Atwood ne donnerait g qu'avec une valeur approximative. Les lois du pendule permettent d'en trouver une valeur plus exacte.

B. Pendule. — Un fil à plomb suspendu à un point fixe revient dans la verticale après une série d'oscillations qui peuvent se continuer longtemps quand lasuspension est suffisamment parfaite; c'est le pendule ordinaire. On ie forme aussi d'une masse pesante supportée par une tige dont l'extrémité supérieure est traversée d'un petit prisme d'acier reposant par son arête sur un plan fixe. La position d'équilibre correspond au cas où la verticale du centre de gravité passe par le point ou l'axe fixe. Comme le mouvement oscillatoire dont l'appareil est animé quand il a été écarté de cette position est évidemment dû à l'action de la pesanteur, on conçoit que son étude puisse conduire à l'appréciation de l'intensité avec laquelle la pesanteur agit. C'est à Galilée qu'est due la première étude du mouvement pendulaire ; son attention avait été attirée sur ce sujet par l'observation du mouvement d'une lampe suspendue à la voûte d'une église ; il soumit le phé-

nomène à une étude attentive et vérifia par de nombreuses expériences les lois que sa première observation lui avait fait pressentir.

Pour établir ces lois, on applique les principes de la mécanique au mouvement du pendule simple, que l'on suppose formé d'un point matériel suspendu à l'extrémité d'un fil inextensible et sans pesanteur. L'oscillation simple est le mouvement d'une position extrême à l'autre, l'amplitude est l'angle compris entre les deux positions extrêmes.

Si alors on désigne par l la longueur du pendule rapportée au mètre, par t la durée d'une oscillation rapportée h la seconde, et par g l'intensité de la force accélératrice, ces trois quan-

nt = *>/l.

tités sont liées entre elles par la relatio

Cette formule, qui convient aux petites oscillations, à celles qui ne dépassent pas 10 degrés, montre que la durée d'une oscillation ne dépend pas de son amplitude ; on exprime ce résultat en disant que les petites oscillations sont isochrones; c'est la loi fondamentale que Galilée avait d'aburd découverte.

Ajoutons que c'est cette propriété de l'isochronisme des petites oscillations que Huyghens a utilisée en adaptant le pendule aux horloges pour en régulariser la marche.

L'emploi du pendule à la détermination de l'intensité absolue de la pesanteur se présente de luimême. En effet, de ia formule qui donne la durée

d'une oscillation, on tire g = — •• Ainsi. pour

avoir g, la vitesse acquise au bout d'une seconde par les corps qui tombent librement, il faudrait, s'il était possible, mesurer avec soin la longueur l d'un pendule simple, déterminer le temps t de son oscillation, et substituer ces valeurs dans la formule précédente.

En réalité, on opère toujours avec des pendules composés, formés d'un grand nombre de points, dont l'oscillation est plus rapide que celle des pendules simples de même longueur, puisque les points les plus rapprochés de l'axe tendent à osciller plus vite que les points inférieurs et accélèrent le mouvement de l'ensemble. Mais les géomètres ont donné des règles pour calculer la longueur du pendule synchrone au pendule composé, c'est-à-dire la longueur d'un pendule simple qui fait son oscillation dans le même temps que le pendule composé donné, et c'est la longueur de ce pendule simple qui entre dans le calcul .

Des nombreuses expériences faites à Paris, on a trouvé pour g la valeur 9m,808, d'où l'on déduit 0m,993 pour la longueur du pendule simple qui battrait la seconde.

C. Variations de l'intensité de la pesanteur. — Si l'intensité de la pesanteur était la même pour tous les points de la surface du globe, un même pendule qu'on transporterait en différents lieux oscillerait toujours de la même mauière. L'expérience démontre que la durée de l'oscillation change avec la latitude ; elle augmente à mesure que la latitude augmente, tout en restant sensiblement la même pour les points d'un même parallèle. D'une manière générale, l'intensité de la pesanteur est plus faible sur une montagne que dans la vallée ; elle est surtout sensiblement plus faible à l'équateur que dans la région des pôles.

(iette variation s'explique facilement lorsqu'on regarde la pesanteur comme un cas particulier de l'attraction universelle. Les corps les plus près du centre de la spiière sont le plus attires. Et les lois du pendule viennent fournir une preuve de l'aplatissement de la terre au pôle.

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