Théorème. — Dans tout parallélogramme
1° Les angles opposés sont égaux;
2° Les côtés opposé >• so?it égaux;
3" Les deux diagonales se loupent en leur milieu.
Soit le parallélogramme AI3DC (fig. 19).
Fig. 10.
1» Les angles opposés B et C, par exemple, sont ., : r;u- ils ont leurs côtés parallèles et d en sens inverse.
2° Les deux triangles \< l> el VBD, déterminés
par la diagonale AD, sont égaux; car ils ont un
pour une môme raison.
L'égalité des deux triangles montre donc AB est égal à CD et que AC est égal à BD.
3° Dans le parallélogramme ABcD (lig. 20) con
que
Fig. 20.
sidérons les deux triangles opposés AOB et DOC. Le côté DC est égal àAB; les angles alternesinternes CDO et OliA sont égaux, puisque DC et AB sont parallèles; pour une raison semblable les angles alternes-internes DGO et OAB sont aussi égaux. Les deux triangles ayant un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux sont égaux; par conséquent leurs côtés analogues DO et OB sont égaux, ainsi que les deux autres côtés analogues AO et OC.
18. — Théorème. — Réciproquement si on construit un quadrilatère avec des côté-: opposés égaux, ces cô'ès se trouvent parallèles et le quadrilatère est un parallélogramme .
Supposons AB = DC et AC = BD (fig. 19,, et tirons la diagonale AD. Les deux triangles ADB et ADC sont égaux, comme ayant leurs trois côtés respectivement égaux ; donc les angles analogues A, et Dj sont égaux et par conséquent les droites AC et BD qui les forment avec la sécante AD sont parallèles. De même les côtés AB et DC sont parallèles, à cause de l'égalité des angles A2 et D2.
Remarque. — Il résulte de ce théorème que le losange est aussi un parallélogramme.
19. — Théorème. — Si o?ico?is!ruit un quadrilatère en lui donnant deux côtés opposés égaux et parallèles, les deux autres côtés le sont aussi et le quadrilatère est un parallélogramme.
Supposons AB égal et parallèle à CD dans le quadrilatère ABDC (fig. 19). Les deux triangles ADB et AL)C ont un angle égal (A2 et D2) compris entre deux côtés respectivement égaux; ils se trouvent par conséquent égaux ; donc les côtds AC et BD sont aussi égaux et par suite parallèles.
20. — Remarques sur les diagonales. — Dans le carré les deux diagonales sont égales et perpendiculaires entre elles.
Dans le rectangle elles sont égales, mais obliques l'une à l'autre.
Dans le losange elles sont inégales, mais perpendiculaires entre elles.
Ces remarques sont utiles pour la construction de l'un de ces quadrilatères, à l'aide des deux diagonales.
21. — Trapèze. — On nomme trapèze un quadrilatère dans lequel deux côtés opposés sont parallèles (fig. 21).
Les deux cotés parallèles BC et AD sont les bases; on appelle hauteur la perpendiculaire qui mesure la distance des deux parallèles.
22. — Théorème. — Dans tout trapèze la droite qui joint les milieux des deux côtés non parallè-
POLYGONES
POLYGONES
les est parallèle aux bases et est égale à leur demisomme.
Soit dans le trapèze ABCD (fig. 22) la droite
joignant les milieux M et G des côtés AB et DC. Tirons par le point G la droite FE parallèle à BA, jusqu'à la rencontre de la base BC et du prolongement de l'autre base AD, ce qui forme le parallélogramme ABFE. On reconnaît facilement que les deux triangles DGE et GFC sont égaux, comme ayant un côté égal (DG et GC) adjacent à deux angles respectivement égaux; et par suite EG est égal à GF et DE égal à FC. Les côtés AM et EG, moitiés des droites égales AB et EF, sont donc égaux, et comme en outre ils sont parallèles, la droite MG est aussi égale et parallèle à AE. On a alors :
