AC + AD
Corollaire. — Cette démonstration subsiste quelque petite que soit la base supérieure du trapèze. Le principe est donc vrai pour le cas où cette base se réduirait à un point ; alors le trapèze est un triangle : donc la droite qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle à la base et en est la moitié.
23. — Théorème de Pythagore. — A cet exposé des principales propriétés du triangle et du quadrilatère, nous devons joindre la relation qui existe entre les trois côtés d'un triangle rectangle, et qui est connue sous le nom de théorème de Pythagore.
Nous croyons faire plaisir aux maîtres en leur donnant ici de ce principe si important une démonstration moins théorique que celle qui se trouve déjà à l'article Aire, et assez simple pour être à la portée de tous les élèves de l'école primaire.
Nous l'empruntons à Sturm, mathématicien allemand du dernier siècle.
Citons d'abord le théorème : le carré fait sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est équivalent à la somme des carrés faits s>ur les deux autres côtés.
Pour le démontrer plaçons deux carrés ABCD et AFGH (fig. 23) l'un à côté de l'autre, de ma-
nière que le côté AH du plus petit soit sur le prolongement du côté AB du plus grand.
Prenons BK = AH et du point K tirons les droites KC et KG, ce qui détermine deux triangles rectangles BCK et KGH, dont il est facile de reconnaître l'égalité. Portons le triangle BCK audessous de la figure en appliquant le côté CB sur son égal CD; il prend alors la position CDI, le côté DI se trouvant sur le prolongement de AD. En même temps FI est égal à AD. Plaçons ensuite l'autre triangle KGH au-dessous du côté FG, en appliquant le côté KH sur son égal FI; il prend la position FIG, le côté GH coïncidant avec FG. La figure formée par les deux carrés est ainsi changée en un quadrilatère KC1G, dont les quatre côtés sont égaux; en outre l'angle K! est droit, puisque les angles K2 et K3 valent ensemble un angle droit. Le quadrilatère KCIG est donc un carré, et comme son côté est l'hypoténuse du triangle rectangle BKC, le théorème est démontré.
24. — De la syméteie dans les figures planes. — Soit une droite indéfinie MN (fig. 21) et un point
A. Abaissons de ce point sur MN la perpendiculaire AK et prolongeons-la d'une quantité KA'=KA; les deux points A et A' occupent des positions pareilles à droite et à gauche de MN: c'esc ce qu'on exprime en disant qu'ils sont symétriques par rapport à la droite MN.
Ainsi deux points sont symétriques l'un de l'autre par rapport à une droite, lorsque, situés des deux côtés de cette droite, ils en sont à la môme distance et sur une même perpendiculaire à cette droite.
Soit de môme BH et, CT perpendiculaires à MX ; HB' égal à HB et IG' égal à IC. Le triangle A'B'C est symétrique du triangle ABC par rapport à MN ; le trapèze B'C'KH est symétrique du trapèze BCKH, etc. La droite MN est Y axe de symétrie.
On voit que si l'on plie le plan de la figure le long de l'axe de symétrie, la partie supérieure de la figure, retombant sur l'autre, coïncide avec elle.
La nature nous montre cette symétrie dans la structure d'une feuille, dans la disposition des organes de notre corps; nous l'imitons dans l'aspect que nous donnons à la façade d'un édifice, dans l'ornementation des panneaux d'une boiserie, etc.
Au point de vue purement géométrique, les deux diagonales sont l'une et l'autre dos axes de symétrie dans le carré et le losange; la hauteur menée entre les deux côtés égaux dans un triangle isoscèle et la droite qui joint les milieux des deux bases dans un trapèze dont les côtés non parallèles sont égaux, sont des axes de symétrie.
25. — Construction d'un polygone égal à un polygone donné. — Le moyen le plus commode et le plus exact consiste à décomposer le polygone donné en triangles par des diagonales, et à construire successivement des triangles égaux à ceux du polygone donné et dans les mêmes positions.
