Polygones semblables.— L'idée delà simili

POLYGONES

tude géométrique existe avec une assez grande netteté dans l'esprit des enfants. Qu'un d'entre eux s'amuse à copier en petit une image représentant, par exemple, un soldat sous les armes ; il sait très bien que s'il réduit la hauteur à la moitié, toutes les lignes de son dessin doivent être la moitié de celles auxquelles elles correspondent dans l'image. Ce n'est pas tout ; il a soin de conserver aux diverses parties de la plus petite ;îgureles mêmes courbures, les mêmes angles que dans l'autre. Ce sont là les deux conditions nécessaires de la similitude. De là résulte la définition suivante : on appelle polygones semb'ables deux polygones qui ont leurs angles respectivement égaiix et leurs côtés liomologues proportionnels.

L'expression côtés homo'ogues désigne deux côtés qui se correspondent dans les deux polygones, en d'autres termes, deux côtés qui sont adjacents à deux angles respectivement égaux.

Le rapport constant qui existe entre deux côtés homologues est souvent désigné par le nom de rapport de similitude des deux polygones. Par exemple si tous les côtés du plus petit polygone étaient les I des côtés homologues du plus grand, le rapport de similitude serait |.

27.— Théorème. — Si on coupe un triangle par une droit" parallèle à un côté, le triangle partiel ainsi form- est semblable au triangle total.

En effet soit DE parallèle à BC (fig. 25) ; les trois

angles du triangle ADE sont égaux aux trois angles du triangle ABC. De plus il a été démontré à l'article Lignes proportio7inelles (p. 1161 que les trois côtés du triangle partiel sont proportionnels aux trois côtés du triangle total ; par exemple si AD est les | de AB, AE est les f de AC et DE les | de BC. Donc les deux triangles sont semblables.

28. —Construction d'un triangle semblable. a un triangle donné.— Soit à construire un triangle

semblable au triangle ABC (fig 20). Cette construction peut être effectuée de trois manières.

1" Avec un côté et deux angles.

On tire A'B' égal par exemple aux l du côté AB ; aux extrémités on forme l'angle A' égal à l'angle A et l'angle B' égal à l'angle B ; le triangle A'B C ainsi obtenu est semblable au triangle ABC.

En effet prenons AD = A'B' = * AB et tirons DE parallèle à BC ; 1<' triangle ADE est semblable au triangle ABC, d'après le théorème précédent. Or le triangle A'B'C esl égal au triangle \hl. . car ils ont un i \ 11' . AU; adjacent à

deux i . ; donc A'B'C est,

comme ADE, semblable à S.BC.

?» Avec il t l'angle comprit entre eux.

On construit l'angle A' égal à l'angle A et On

fait par exemple A'B'= § AB et A'C = | AC; puis on tire la droite B'C. Le triangle A'B'C' est semblable au triangle ABC.

En effet prenons AD = A'B' = | AB et tirons DE parallèle à BC ; le triangle ADE est semblable au triangle ABC. Par suite le.côté AE est aussi les | de AC et par conséquent égal à A'C. Les deux triangles A'B'C et ADE sont donc égaux, comme ayant un angle égal (A et A') compris entre deux côtés respectivement égaux ; donc A'B'C est, comme ADE, semblable à ABC.

3° Avec les irais côtés.

On construit le triangle A'B'C avec trois côtés qui sont par exemple les 3 des trois côtés du premier; les deux triangles sont semblables.

En effet prenons AD = A'B' = | AB et tirons DE parallèle à BC ; le triangle ADÉ est semblable au triangle ABC. Or AD étant les | de AB, le côté AE est aussi les § de AC et par conséquent égal à A'C; de même DE est les | de BC et par conséquent égal à B'C. Les deux triangles A'B'C et ADE ayant ainsi leurs trois côtés respectivement égaux sont égaux; donc le triangle A'B'C est semblable, comme ADE. au triangle ABC.

De ce qui précède résultent les théorèmes suivants, qui constituent trois cas de similitude de deux triangles, tout à fait analogues aux trois cas d'égalité.

Deux triangles sont semblables :

1 Quand ils ont deux angles respectivement égaux ;

2" Quand ils ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement proportionnels ;

3° Quand les trois côtés de l'un sont proportionnels aux trois côtés de l'autre.

29. — Application. — 1° Supposons un terrain de forme triangulaire ABC (fig. 27), dont on voudrait connaître la surface.

Après avoir mesuré à la chaîne les trois côtés, on construit un triangle A'B'C semblable à celui du terrain, avec des côtés contenant par exemple autant de millimètres qu'il y a de mètres dans les côtés mesurés sur le terrain. On abaisse ensuite la hauteur A'D', et le nombre de millimètres qu'elle contient indique le nombre de mètres de la hauteur correspondante AD sur le terrain. Il ne reste plus qu'à multiplier entre elles les longueurs de BC et de AD et à prendre la moitié du produit.

Le triangle A'B'C est dit le plan de terrain.

2" C'est par une opération semblable qu'on peut trouver la longueur d'une distance BA qu'il ne serait pas possible de mesurer à la chaîne, comme dans le cas où les points A et B seraient séparés par un marais, une rivière, etc.

Sur le terrain on détermine une droite BC dont on obtient la longueur à la chaîne ; à l'aide du graphomètre on mesure les angles CBA et BC V- \\rc ce côté el ces deux angles on construit le triangle A'B'C semblable au triangle ABC; le côté B'A' mesuré à l'échelle du plan fait connaître la distance BA.