Similitu le de dt ux poli/gone*. — L'égalité

des angles de deux triangles est une conséquence de

iportionnalité des trois côtés, et réciproque-

POLYGONES

ment; mais il n'en est pas de môme pour les autres polygones. Que l'on construise, par exemple, deux pentagones, en prenant les côtés de l'un égaux à la moitié des côtés de l'autre, et ces côtés étant formés par des tiges articulées autour des points où elles se joignent. On pourra allonger plus ou moins, et" dans un sens quelconque, les côtés de lun de ces pentagones; sa forme variera, sans que ses côtés cessent d'être proportionnels à ceux de l'autre pentagone : il ne sera donc pas semblable au premier.

Construction d'un polygone semblable à un antre. — Soit à construire un polygone sembla-

ble au polygone ABCDE (fig. 28), les côtés du deuxième devant être par exemple les | des côtés du polygone donné.

1° On décompose le polygone donné en triangles par V s diagonales AG et AD. On construit ensuite un triangle A'B'C semblable au triangle ABC, en lui donnant des côtés égaux aux | des côiés du triangle ABC; puis sur A'C un triangle A'C'D' semblable au triangle ACD et sur A'D' un triangle A'D'E' semblable au triangle ADE.

Le polygone ainsi formé A'B'CD'E' est semblable au polygone donné ABCDE. En effet, par suite de la similitude des triangles ABC et A'B'C, des triangles ACD et A'C'D', des triangles ADE et A'D'E', les côtés du deuxième polygone sont tous les | des côtés homologues du premier ; en même temps les trois angles qui ont leur sommet en A' sont égaux aux trois angles qui ont leur sommet en A ; les deux angles qui ont leur sommet en C sont égaux aux deux angles qui ont leur sommet en C, etc. Ainsi les angles des deux pentagones sont respectivement égaux et leurs côtés homologues sont proportionnels; donc les deux polygones sont semblables.

De là ce théorème : deux polygones composés d'un même nombre de triangles respectivement semblables et semblablemenl placés, sont semblables.

31. — Application. — Supposons que le polygone ABCDE ,fig 28) soit un champ, et qu'on ait mesuré à la chaîne les côtés et les diagonales. Si l'on a construit les triangles du deuxième polygone en remplaçant le mètre par le centimètre par exemple, le deuxième polygone sera le plan du terrain. En menant la hauteur dans chaque triangle du plan, on connaîtra les hauteurs correspondantes des triangles du terrain ; on pourra ainsi calculer la surface.

2° On peut construire le polygone semblable au polygone donné, sans recourir aux diagonales; c'est ce qu'il faut faire, quand le polygone donné est un terrain dans l'intérieur duquel il ne serait pas facile de pénétrer.

Pour cela on mesure les côtés à la chaîne et les angles au graphomètre. Puis on construit sur le papier un angle A'B'C égal à l'angle ABC, en donnant aux deux côtés A'B' et B'C autant de centimètres, par exemple, qu'il y a de mètres dans les côté-- AB et BC du terrain. Du point C on tire la droite CD' faisant avec C'B' un angle égal à l'angle BCD et on lui donne autant de centimètres

qu'il y a de mètres dans CD ; du point D' on tire la droite D'E' faisant avec D'C l'angle C'D'E' égal à l'angle CDE, et on lui donne autant de centimètres qu'il y a de mètres dans DE. Il ne reste plus qu'a tirer la droite A'E'.

Si les constructions faites sur le papier sont exactes, on doit trouver dans le côté A'E' autant de centimètres qu'il y a de mètres dans AE ; l'angle D'E' A' doit être égal à l'angle DEA et l'angle B'A'E' égal à l'angle BAE.

32. — Bemarque. — Les quelques exemples que nous avons cités suffisent pour montrer toute l'importance de la théorie des polygones semblables. Le lever des plans n'en est que l'application aux polygones figurés par les terrains. Quant aux détails des opérations pratiques à effectuer sur le terrain lui-même, nous renvoyons nos lecteurs à l'article Lever des plans.

[G. Bovier-Lapierre.]

POLYGOM:S RÉGULIERS. — Géométrie, XV.

— 1. — Divisons une circonférence en un nombre quelconque de parties égales, en six, par exemple,

Fig. l.

(fig. 1), et tirons les cordes AB, BC, etc., des six arcs.

Tous les côtés de l'hexagone ainsi formé sont égaux, puisqu'ils sous-tendent des arcs égaux; tous les angles ABC, BCD..., etc., sont aussi égaux, comme angles inscrits qui interceptent entre leurs côtés des arcs égaux (4 fois la sixième partie de la circonférence).

Un polygone qui a tous ses côtés égaux et tous ses angles égaux est appelé pdygone régulier.

On peut imaginer la circonférence divisée en un nombre quelconque de parties égales ; il y a donc des polygones réguliers de tout nombre de côtés.

2. — L'angle d'un polygone régulier est égal à la somme de ses angles divisée par le nombre des angles, c'est-à-dire par le nombre des côtés.

Voici les valeurs de ces angles pour les princi paux polygones :

Triangle équilatéral | a.dr. ou 60°.

Carré 1 90°.

Pentagone 1 § — 108°.

Hexagone l\ — 120°.

Octogone 1 | — 135°.

Décagone l| — 144°.

Dodécagone 1 | — 150°.

3. — La construction du polygone régulier à l'aide de la circonférence met en évidence les propriétés suivantes.

Le centre de la circonférence est également distant de tous les sommets du polygone régulier ainsi que de tous les côtés ; pour cette raison il est aussi appelé centre du polygone régulier.

Les droites égales menées du centre d'un polygone régulier à tous les sommets sont appelées rayons du polygone ; elles le divisent en triangles isoscèles égaux et elles sont bissectrices des angles du polygone.

Les angles égaux formés au centre du polygone régulier par deux rayons aboutissant aux extrémités d'un même côté, sont nommés angles