I. Progressions arithmétiques

1. — On appelle progression arithmétique ou par différence une suite de nombres tels, que chacun d'eux est égal au précédent augmenté d'une quantité constante qu'on appelle la raison. Les nombres qui composent une progression s'appellent les termes de cette progression.

On indique que des nombres sont en progres-

sion arithmétique en les séparant par un point, et en faisant précéder le premier du signe 4- . Ainsi les nombres :

forment une progression arithmétique dont la raison est 4. On a, en effet,

et ainsi de suite.

Problème. — Connaissant le premier terme et la raison d'une progression arithmétique, trouver la valeur d'un terme de rang quelconque.

Soit a le premier terme et r la raison ; en vertu de la définition,

le 2e terme est égal à a + r,

le 3e — à a + r-\-r, ou à... a + 2r, le 4e — à a + 2r + r, ou à. . a + 3/-,

et ainsi de suite. Chaque terme de la progression est égal au premier augmenté d'autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui.

Ex. — Calculer le 23e terme d'une progression dont le premier terme est 7 et dont la raison est 3. Le 23e terme en a 22 avant lui ; donc sa valeur est:

Trouver la valeur du 52e nombre impair. Les nombres impairs forment une progression arithmétique, dont le premier terme est 1 et dont la raison est 2 ; le 52e terme est donc :

2. — Moyens arithmétiques. — Insérer 1, 2, 3, 4,... moi/eus arithmétiques entre deux nombres donnés, c'est former une progression arithmétique dont les deux nombres donnés soient les termes extrêmes, et qui comprenne 1, 2, 3, 4... autres termes entre les extrêmes.

Proposons-nous, par exemple, d'insérer 6 moyens entre les deux nombres 5 et 19. Si la progression cherchée était écrite, le dernier terme 19 en aurait 6 + 1 ou 7 avant lui ; il serait donc égal au premier terme 5, augmenté de 7 fois la raison. Il résulte de là que la différence 19 — 5 des deux nombres donnés est égale à 7 fois la raison ; par suite, la raison est égale à

Ce raisonnement est évidemment général et conduit à la règle suivante :

La raison de la progression qu'on obtient en insérant des moyens arithmétiques entre deux nombres donnés est éga'e à la différence de ces deux nombres divisée parle nombre des moyens à insérer plus un.

La raison étant connue, les moyens se calculent facilement en ajoutant la raison successivement au premier terme, puis au deuxième, puis au troisième, et ainsi de suite. Dans notre exemple, la progression demandée sera :

Supposons, en particulier, qu'on veuille insérer un seul moyen arithmétique entre deux nombres; la valeur de ce moyen, qu'on appelle alors la moyenne arithmétique entre les deux nombres, est égale à leur demi-somme. En effet, si a et b sont les deux nombres donnés, les trois nombres

sont évidemment en progression; donc la demi-

PROGRESSIONS

est la moyenne arithmétique entre

les nombres a et b.

3. — Théorème. — Si l'on insère entre les termes consécutifs d'une progression arithmétique, pris deux à deux, le même nombre de moyens, on obtient une suite de progressions partielles dont V ensemble forme une progression unique.

Considérons la progression arithmétique :

-=-5. S. il. 14. 17. 20,

dont la raison est 3, et insérons 5 moyens entre les termes consécutifs pris deux à deux; la raison de la première progression partielle sera

8 — 5 , ' 1 — 8 , celle de la seconde sera de même

celle de la troisième. " „ '? etc. Mais les dif-

férences 8 — 5, 11—8, 14 — 11, etc. sont toutes égales à la raison 3 de la progression donnée ; donc les raisons des progressions partielles seront égales entre elles. D'autre part, le dernier terme de chacune des progressions partielles est an même temps le premier terme de la suivante ; donc les progressions partielles, écrites à la suite Tune de l'autre, formeront une seule et même progression. Ainsi, dans l'exemple que nous avons pris, les progressions partielles sont :

En les écrivant à la suite l'une de l'autre, on formera une progression unique.

4. — Somme des termes d'une progrfssion arithmétique. — Démontrons d'abord la propriété suivante :

Dans une progression arithmétique limitée, lu somme de deux termes également distants des extrêmes est égale à la somme des extrêmes.

Prenons, par exemple, la progression :

dont la raison est 5, et considérons d'abord le second terme 7 et l'avant-dernier 32 ; le second terme 7 surpasse le premier de 5 etl'avant-derniir 32 est inférieur de 5 au dernier, de sorte qu'on a :

si l'on ajoute membre à membre ces deux égalités, on trouve :

Plus généralement, considérons deux termes quelconques équidistants des extrêmes, par exemple celui qui a trois termes avant lui et celui qui en a trois après lui; ce sont ici les termes 17 et 22. D'après la règle donnée ci-dessus pour trouver un terme de rang quelconque pris dans une progression, le ternie 17 est égal au premier terme 2, plus 3 fois la raison ; on a donc :

Si nous prenons à part la progression formée par les quatre dernii rs termes, le dernier terme •s' de cette progrès ion partielle sera égal au premier 22, plus S fois la raison; par suite, 22 sera égal 9 37, moins 3 fois la raison :

Ajoutons ces deux égalités membre à membre, et nous aurons enfin :

ce qui démontre la propriété énoncée.

5. — Proposons-nous maintenant de trouver la somme des termes d'une progression arithmétique, par exemple, de la progression :

En désignant cette somme par S, on aura :

renversons l'ordre des termes, la somme ne chan géra pas et nous aurons encore :

Ajoutons maintenant ces deux égalités membre à membre, en groupant ensemble les termes qui occupent le même rang dans les seconds membres ; il viendra ainsi :

le nombre des groupes étant égal au nombre des termes de la progression. Mais les termes que nous avons groupés et compris entre parenthèses sont des termes également distants des extrêmes ; leur somme est doue égale à la somme des extrêmes, comme nous venons de le démontrer. Il résulte de là que le second membre de l'égalité précédente vaut autant de fois la somme des extrêmes qu'il y a de termes dans la progression ; et comme ce second membre est le double de la somme cherchée, nous arrivons enfin à la règle suivante :

La somme des termes d'une progression arithmétique est égale à la demi-somme des termes extrêmes multipliée par le nombre des terme*.

Il arrive souvent, dans les applications, qu'on donne le premier terme, la raison et le nombre des termes ; il faut alors, pour obtenir la somme des termes, calculer d'abord le dernier terme pur la règle donnée plus haut.

Exemples. — 1° Calculer la somme des n premiers nombres entiers.

Les termes extrêmes sont 1 et n, leur demi-

somme est — r — ; donc la somme des n premiers nombres entiers est, d'après ce qui précède :

Xn-.

en d'autres termes, cette somme est égale à la moitié du produit des nombres entiers consécutifs n et n + 1. Ainsi, la somme des 99 premiers nombres entiers est :

2° Trouver la somme des n premiers nombres impairs.

Je calcule d'abord la valeur du nc nombre impair, c'est-à-dire du ne terme d'une progression dont le premier terme est 1 et dont la raison esl 2; en appliquant la règle connue, on trouve :

Il faut ensuite trouver la somme d'une progression de 7i termes, les termes extrêmes étant 1 et in — 1 ; la somme des extrêmes est 1 +2/i — 1 ou '-'/, la demi-somme de ces extrêmes est n; donc la somme des n premiers nombres impairs o>t n X n ou n*, elle est égale au carré de n. Pir

PROGRESSIONS

exemple, la somme des 25 premiers nombres impairs est égale au carré de 25 ou à 625.

(j. Formules. — Soit a le premier terme d'une progression arithmétique, r la raison, l le dernier terme, n le nombre des termes et S la somme des termes ; ces cinq quantités sont liées entre elles par les équations suivantes :

qui permettent de résoudre la plupart des problèmes qu'on peut se proposer sur les progressions arithmétiques.