Moyens géométriques.— Insérer
77iO:, ens géométriques entre deux nombres donnés, c'est former une progression géométrique dont les nombres donnés soient les termes extrêmes, et
qui comprenne 1, 2, 3, 4, autres termes entre
les extrêmes.
Proposons-nous, par exemple, d'insérer cinq moyens géométriques entre les nombres 7 et 448. Si la progression cherchée était écrite, le dernier terme 448 en aurait 5 -f- 1 ou 6 avant lui ; il serait donc égal au premier terme 7 multiplié par la sixième puissance de la raison. 11 résulte de là
que la sixième puissance de la raison est égale au quotient de 448 : 7 ; donc enfin la raison est égale à la racine sixième de ce quotient, c'est-à-dire à :
= Vti4 =2.
De ce raisonnement, qui est évidemment général, ou déduit la règle suivante :
La raisoyi de la )>rogressio7i formée en insérant des moyens géométriques entre deux nombres domiés , s'obtient e7i divisant le second par le premier et en exlraya7\t de ce quotient une racine dont l'indice est égal au 7io>nbre des 77ioyens à Ï7isérer plus un.
La raison étant connue, les moyens géométriques se calculent en multipliant successivement le premier nombre par la raison, puis le produit obtenu par la raison, puis ce nouveau produit par la raison, et ainsi de suite. Dans notre exemple, la progression demandée est :
Supposons en particulier qu'on veuille insérer un seul moyen géométrique entre deux nombres ; la valeur de ce moyen, qu'on appelle alors la mo7/enne géo77iétr>que ou la 77ioye7ine proportionnelle entre les deux nombres, s'obtient en extrayant la racine carrée du produit de ces deux nombres. En effet, si a et b sont les deux nombres donnés, les trois nombres
a, \jab, b,
forment une progression dont la raison est \/,
V a ainsi qu'il est aisé de le vérifier.
9. — Théorème. — Si l'on insèi'e entre les termes C07isécutifs d'une progression géométiique, pris deux à deux, wi même nombre de moyens, on obtient une suite de progressions partielles dont l'ensemble forme une progression unique.
Considérons la progression géométrique:
dont la raison est 3, et insérons 4 moyens entre les termes consécutifs pris deux à deux. La raison de la première progression partielle sera, d'après
la règle précédente, \ /; celle delà seconde sera
îcédente, * /•
de même
•m. ffi
celle de la troisième,
etc.
6 18 54 Mais les quotients -, —, — ,••• sont tous égaux a
2 6 18 la raison 3 delà progression donnée ; il en résulte que les raisons de toutes les progressions partielles seront égales entre elles; leur valeur commune est \3- D'autre part, le dernier terme de chaque progression partielle est en même temps le premier terme de la suivante; donc toutes ces progressions partielles, écrites à la suite l'une de l'autre, forment une seule et même progression,
dont la raison est y 3- Voici, pour notre exemple, toutes ces progressions partielles :
tt 2: 2\3: 2\32: 2y3j: 2 y 3*: 6, -h- G : 6 y 3 : 6 y 3* : 6 y 33 : 6 \ 34 : 18,
■h-is: 18 \3 : is v3«: îsVi"; is \ -> : 54,
en les écrivant à la suite l'une de l'autre, on obtient une progression unique.
PROGRESSIONS
PROGRESSIONS
10. — Somme des termes d'une progression géométrjoue. — Considérons d'abord une progression géométrique croissante, et désignons ses termes successifs par a, o, c,,... g, h, t, sa raison par q, et la somme des termes par S; nous aurons:
Multiplions tous les termes de cette égalité par q, et remarquons que, les nombres ", b, c,.... formant une progression géométrique dont la raison est q, on a :
nq = b, bq = c, hq=l;
il viendra alors :
Sq=b+C+ + h + l+lq,
q étant plus grand que 1 . S9 est plus grand que S : retranchons la première égalité de la dernière, et supprimons les termes b,c, h, l, qui se détruisent; nous aurons :
Sq — S=/q — a,
S(7-l) = lq-a; d'où l'on tire enfin :
formule qui s'énonce ainsi :
La somme des termes d'une progression géométrique croissante s'obtient en multipliant le dernier terme par la raison et retranchant le premier terme de ce produit, puis en divisant cette différence par l'excès de la raison sur l'unité.
Supposons maintenant que la progression donnée soit décroissante, c'est-à-dire que la raison q soit plus petite que 1. La méthode précédente s'applique encore, avec cette seule différence qu'il faudra retrancher la valeur de Sq de celle de S ; on arrivera ainsi à la formule :
ou bien
a — Iq
qui se traduira par la règle suivante :
La somme des termes 'l'une progression géométrique décroissante s'obtient en multipliant le dernier terme par la raison et retranchant ce proiuit d" premier terme, puis t-n divisant cette différence par l'excès de l'unité sur la raison.
Exemples. 1° Trouver la somme des termes de la progression :
dont la raison est 3.
On a
2° Trouver la somme des puissances successives du nombre a depuis la première jusqu'à la 11e, a étant > 1.
Ces puissances forment la progression géométrique croissante :
dont la raison est a; la somme S est donc :
ç."nXr> — a (r'on — \) a — 1 a — 1
Si a = 1 et n = 10,
3" Un maréchal ferrant, qui a employé 32 clous pour ferrer un cheval, demande l centime pour le i«* clou, 2 centimes pour le 2' clou, 4 centimes
pour le 3e clou, 8 centimes pour le 4e clou, et ainsi de suite en doublant toujours. Quel est le montant de la somme qu'il réclame?
Les nombres de centimes correspondant aux clous successifs forment une progression géométrique de 32 termes, dont le premier terme est 1 et dont la raison est 2. Le 32e terme sera donc, d'après la règle connuo, 1 x 231 = 231 ; par suite, la valeur de la somme S sera :
ce qui donne la somme énorme de 42049672 fr. 95. Cet exemple montre avec quelle rapidité croissent les termes d'une progression géométrique dont la raison est plus grande que I .
4° Trouver la somme de la progression géométrique décroissante :
7ïïô ' îuo2 'ïUô3 " ïôô4" 'ïôô*
La raison de cette progression est la somme demandée est :
; par suite,
l'iu iou* -ioo ' 1O06
yj
1UJ
ou encore,
99 'j'Jxluu5
Remarquons que la progression donnée équivaut à la fraction décimale :
11. — Formules. — En désignant par a le premier terme d'une progression géométrique, par / ls dernier terme, par n le nombre des termes, par q la raison et par S la somme des termes, on a les formules suivantes :
l = aqn~\
&=£ ou S
lq
suivant que q est plus grand ou plus petit que 1. Ces formules permettent de résoudre un grand nombre de problèmes sur les progressions géométriques.
12. — Des progressions géométriques indéfinies. — On peut toujours supposer qu'on prolonge indéfiniment une progression géométrique dont on connaît le premier terme et la raison ; ces suites indéfinies jouissent de propriétés qu'il est utile d'établir.
Théorème. — Dans une progression géométrique croissante indéfini-', la différence de deux termes consécutifs va toujours en croissant à mesure qu'on i avance dans la progression.
Soient a, b, c, trois termes consécutifs de la progression, et q la raison, qui est supposée plus grande que 1 ; on aura, en vertu de la définition même des progressions :
b = aq, c=bq;
retranchons la première égalité do la seconde; nous aurons :
c — b—bq —aq = {b — a]q;
PROGRESSIONS
PROGRESSIONS
ce qui montre que la différence c — b est plus grande que la différence b — a, puisque la première est égale au produit de la seconde par un nombre q plus grand que l ; c'est ce qu'il fallait démontrer.
On voit de plus que les différences successives des termes consécutifs forment une progression géométrique, dont la raison est q, c'est-à-dire la môme que celle de la progression donnée.
Théorème. — Dans une progression géométrique croissante indéfinie, les termes augmentent indéfiniment et peuvent dépasser toute limite.
Si la différence de deux termes consécutifs était constante, il est clair qu'en formant les termes successifs par l'addition de cette quantité constante, on pourrait arriver à un nombre aussi grand qu'on voudrait. Il en sera de même, à plus forte raison, si la quantité qu'on ajoute à un terme pour former le suivant, au lieu de rester constante, va elle-même en croissant ; or c'est ce qui a lieu dans une progression géométrique croissante, comme nous l'avons démontré dans le précédent théorème.
Corollaire. — Les jouissances successives d'un nombre plus grand quel vont en croisscmt et peuvent dépasser toute limite. Car ces puissances sont les termes d'une progression géométrique, ■dont le premier terme et la raison sont égaux au nombre donne, et qui, par conséquent, est croissante, puisque ce nombre est plus grand que I .
13. — Théorème. — Dans une progression géométrique décroissante indéfinie, les termes successifs décroissent indéfiniment et peuvent devenir plus petits que toute quantité donnée.
Nous rappellerons d'abord quelques propriétés connues des nombres inverses. On sait qu'on appelle inverse iïwa nombre le quotient obtenu en divisant l'unité par ce nombre; ainsi, l'inverse de 2 est |, l'inverse de | est 3, l'inverse de | est |. Il résulte de cette définition que le produit d'un nombre par son inverse est égal à l, et, par suite, que si un nombre est plus grand que 1, son inverse est plus petit que I, et réciproquement. Enfin, si l'on divise l'unité par des nombres de plus en plus grands, les quotients sont de plus en plus petits et peuvent devenir aussi petits qu'on voudra ; en d'autres termes, les inverses de nombres qui croissent sans limite, décroissent eux-mêmes indéfiniment.
Cela posé, considérons une progression géométrique décroissante indéfinie :
tt a : b : c : d '. ;
désignons parc la raison qui est plus petite que 1. On aura les égalités :
à = aq, c = bq, d=cq, on en déduit :
6~aX9' c 3X^ 3— cX7'*"
égaillés qui montrent que -, -, -, -,... sont les
a b c d termes d'une progression géométrique dont la
raison est - ?
mais cette progression est croissante, puisque sa raison est le nombre -, qui est plus grand que 1. Donc, en vertu du théorème précédent, les ter-
mes de cette seconde progression croissent indéfiniment et peuvent dépasser toute limite ; par suite, leurs inverses, c'est-à-dire les termes de la progression donnée, décroissent indéfiniment et peuvent devenir aussi petits qu'on voudra.
14. — Limite de la somme des termes d'une progression GÉOMÉTRIQUE DÉCROISSANTE INDÉFINIE. —
Si, dans une progression géométrique décroissante indéfinie, on prend un nombre de plus en plus grand de termes et qu'on les ajoute, la somme va en augmentant; mais elle reste toujours inférieure à une limite que nous allons déterminer.
Soit a le premier terme de la progression, q sa raison; la somme S de tous les termes jusqu'à un terme quelconque l est donnée par la formule établie ci-dessus:
Iq
que l'on peut écrire :
a lq
Si l'on prend dans la progression un nombre de plus en plus grand de termes à partir de a, le dernier terme l décroîtra indéfiniment et tendra vers zéro, ainsi que nous l'avons démontré; il en sera de même du produit de ce terme par la
quantité constante — - — ; par conséquent, la
somme S ira en croissant et se rapprochera autant
qu'on le voudra de Eu d'autres termes,
— — est la limite vers laquelle tend la somme S
quand le nombre des termes de la progression augmente indéfiniment.
Ex. : 1° Trouver la limite de la fraction décimale périodique 0,48484848
Cette expression peut se mettre sous la forme d'une progression géométrique décroissante indéfinie :
*ii£ ,48 .48. 48 .
Le premier terme est — — et la raison est — : 1 100 100'
donc la limite do la fraction périodique est :
l(JO
on retrouve ainsi la valeur donnée on arithmétique (V. Fractions).
2" Trouver la limite de la somme des termes de la progression géométrique décroissante :
L'application
de la formule donne :
Rem. Les propriétés des progressions servent de base à la théorie des logarithmes, et à celle des annuités et de l'amortissement (V. ces mots).
[H. Bos.]
PRONOM
PRONOM
PRONOM. —Grammaire, XII. — I.e pronom est un mot qui tient la place du nom. Dans cette phrase : « Paul est espiègle, mais il deviendra raisonnable, » il, que l'on met à la place de Paul, est un pronom. Pronom vient du latin pronomen (qui se met à la place du nom).
Le pronom prend le genre et le nombre du nom dont il tient la place. Ex. : « Les hirondelles partent ; elles vont dans les pays chauds. » Elles est féminin et pluriel, parce que hirondelles est du féminin et du pluriel. « Votre maison est grande, la mienne est plus petite. » La mienne est du féminin et du singulier comme le mot remplacé : maison.
Il y a cinq sortes de pronoms : les pronoms personnels, démonstratifs, possessifs, relatifs et indéfinis.
